Matrisalar və təyinedicilər XVIII-XIX əsrlərdə kəşf edilmişdir. Əvvəlcə onların inkişafı həndəsi cisimlərin çevrilməsi və xətti tənliklər sistemlərinin həlli ilə bağlı idi. Tarixən ilkin vurğu determinant üzərində olub. Müasir xətti cəbr emal üsullarında ilk növbədə matrislər nəzərə alınır. Bir müddət bu sual üzərində düşünməyə dəyər.
Bu bilik sahəsindən cavablar
Matrisalar bir çox problemləri həll etmək üçün nəzəri və praktiki cəhətdən faydalı bir yol təqdim edir, məsələn:
- xətti tənliklər sistemləri;
- bərk cisimlərin tarazlığı (fizikada);
- qraf nəzəriyyəsi;
- Leontief-in iqtisadi modeli;
- meşə təsərrüfatı;
- kompüter qrafikası və tomoqrafiya;
- genetika;
- kriptoqrafiya;
- elektrik şəbəkələri;
- fraktal.
Əslində, "dummies" üçün matris cəbrinin sadələşdirilmiş tərifi var. Bu, aşağıdakı kimi ifadə edilir: bu, elmi bilik sahəsidirsözügedən dəyərlər öyrənilir, təhlil edilir və tam tədqiq edilir. Cəbrin bu bölməsində tədqiq olunan matrislər üzərində müxtəlif əməliyyatlar öyrənilir.
Matrisalarla necə işləmək olar
Bu dəyərlər eyni ölçülərə malik olduqda və birinin hər bir elementi digərinin müvafiq elementinə bərabər olduqda bərabər sayılır. Bir matrisi istənilən sabitə vurmaq mümkündür. Bu verilən skalyar vurma adlanır. Nümunə: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Eyni ölçülü matrislər daxiletmələrlə əlavə və çıxıla bilər və uyğun ölçülərin dəyərləri çoxalda bilər. Misal: iki A və B əlavə edin: A=[21−10]B=[1423]. Bu mümkündür, çünki A və B iki sıra və eyni sayda sütunlu matrislərdir. A-dakı hər bir elementi B-dəki uyğun elementə əlavə etmək lazımdır: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Cəbrdə matrislər eyni şəkildə çıxarılır.
Matrisin vurulması bir az fərqli işləyir. Üstəlik, bir çox hallar və variantlar, eləcə də həll yolları ola bilər. Apq və Bmn matrisini çoxalsaq, onda Ap×q+Bm×n=[AB]p×n hasil edilir. AB-nin g-ci sətir və h-ci sütunundakı qeyd g A və h B-də müvafiq qeydlərin hasilinin cəmidir. Birinci sütunun və ikincidəki sətirlərin sayı yalnız o halda iki matrisi çox altmaq olar. bərabərdirlər. Nümunə: nəzərə alınan A və B üçün şərti yerinə yetirin: A=[1−130]B=[2−11214]. Bu mümkündür, çünki birinci matrisin 2 sütunu, ikincisi isə 2 sətirdən ibarətdir. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Matrisalar haqqında əsas məlumat
Sözügedən dəyərlər dəyişənlər və sabitlər kimi məlumatları təşkil edir və onları adətən C adlanan sətir və sütunlarda saxlayır. Matrisdəki hər mövqe element adlanır. Misal: C=[1234]. İki sətir və iki sütundan ibarətdir. Element 4 2-ci sətirdə və 2-ci sütundadır. Siz adətən matrisi ölçülərindən sonra adlandıra bilərsiniz, Cmk adlı matrisin m sətri və k sütunu var.
Genişləndirilmiş matrislər
Mülahizələr bir çox fərqli tətbiq sahələrində ortaya çıxan inanılmaz faydalı şeylərdir. Matrislər əvvəlcə xətti tənliklər sistemlərinə əsaslanırdı. Bərabərsizliklərin aşağıdakı strukturunu nəzərə alaraq, aşağıdakı tamamlanmış matrisin nəzərə alınması lazımdır:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Əmsalları yazın və bütün mənfi işarələr daxil olmaqla qiymətlərə cavab verin. Mənfi nömrəli element varsa, o, "1"ə bərabər olacaqdır. Yəni (xətti) tənliklər sistemi nəzərə alınmaqla, onunla bir matrisi (mötərizədə olan ədədlər şəbəkəsi) əlaqələndirmək olar. Yalnız xətti sistemin əmsallarını ehtiva edən biridir. Buna "genişlənmiş matris" deyilir. Hər bir tənliyin sol tərəfindəki əmsalları ehtiva edən şəbəkə hər bir tənliyin sağ tərəfindəki cavablarla "dolduruldu".
Qeydlər, yənimatrisin B dəyərləri orijinal sistemdəki x-, y- və z qiymətlərinə uyğundur. Düzgün qurulubsa, ilk növbədə onu yoxlayın. Bəzən öyrənilən və ya tədqiq edilən matrisdə yer tutanlar kimi şərtləri yenidən tənzimləmək və ya sıfırlar daxil etmək lazımdır.
Aşağıdakı tənliklər sistemini nəzərə alaraq, dərhal əlaqədar artırılmış matrisi yaza bilərik:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
İlk olaraq sistemi aşağıdakı kimi yenidən təşkil etdiyinizə əmin olun:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Sonra əlaqədar matrisi belə yazmaq olar: [11000113-1012]. Genişləndirilmiş birini formalaşdırarkən xətti tənliklər sistemində müvafiq nöqtənin boş olduğu istənilən qeyd üçün sıfırdan istifadə etməyə dəyər.
Matrix Cəbri: Əməliyyatların Xüsusiyyətləri
Yalnız əmsal qiymətlərindən elementlər yaratmaq lazımdırsa, onda nəzərdən keçirilən qiymət belə görünəcək: [110011-101]. Bu "əmsal matrisi" adlanır.
Aşağıdakı genişləndirilmiş matris cəbrini nəzərə alaraq, onu təkmilləşdirmək və əlaqəli xətti sistemi əlavə etmək lazımdır. Bununla yanaşı, dəyişənlərin yaxşı təşkili və səliqəli olmasını tələb etdiyini xatırlamaq vacibdir. Və adətən üç dəyişən olduqda, bu ardıcıllıqla x, y və z istifadə edin. Beləliklə, əlaqəli xətti sistem belə olmalıdır:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrisin ölçüsü
Sözügedən elementlər tez-tez performanslarına görə istinad edilir. Cəbrdə matrisin ölçüsü kimi verilirölçülər, çünki otaq fərqli adlandırıla bilər. Dəyərlərin ölçülən ölçüləri eni və uzunluğu deyil, sətirlər və sütunlardır. Məsələn, A matrisi:
[1234]
[2345]
[3456].
A üç sıra və dörd sütundan ibarət olduğundan, A ölçüsü 3 × 4-dür.
→
↓
Xətlər yan tərəfə keçir. Sütunlar yuxarı və aşağı enir. "Sətr" və "sütun" spesifikasiyalardır və bir-birini əvəz edə bilməzlər. Matris ölçüləri həmişə sətirlərin, sonra isə sütunların sayı ilə müəyyən edilir. Bu konvensiyadan sonra aşağıdakı B:
[123]
[234] 2 × 3-dür. Əgər matrisin sütunlarla eyni sayda sətirləri varsa, o zaman "kvadrat" adlanır. Məsələn, yuxarıdakı əmsal dəyərləri:
[110]
[011]
[-101] 3×3 kvadrat matrisdir.
Matrisin qeydi və formatı
Formatlama qeydi: Məsələn, matris yazmaq lazım olduqda, mötərizədə istifadə etmək vacibdir. Mütləq dəyər çubuqları || istifadə edilmir, çünki onlar bu kontekstdə fərqli istiqamətə malikdirlər. Mötərizələr və ya əyri mötərizələrdən {} heç vaxt istifadə edilmir. Və ya başqa qruplaşdırma simvolu və ya heç biri yoxdur, çünki bu təqdimatların heç bir mənası yoxdur. Cəbrdə matris həmişə kvadrat mötərizə içərisində olur. Yalnız düzgün qeyddən istifadə edilməlidir, əks halda cavablar səhv hesab edilə bilər.
Əvvəlcə qeyd edildiyi kimi, matrisin tərkibində olan qiymətlərə qeydlər deyilir. Hansı səbəbdən olursa olsun, sözügedən elementlər adətən yazılırA və ya B kimi böyük hərflər və qeydlər müvafiq kiçik hərflərdən istifadə etməklə, lakin alt işarələrlə müəyyən edilir. A matrisində qiymətlər adətən "ai, j" adlanır, burada i A-nın sətri və j A sütunudur. Məsələn, a3, 2=8. a1, 3 üçün giriş 3-dür.
Daha kiçik matrislər üçün, on sətirdən və sütundan az olanlar üçün bəzən alt işarə vergülü buraxılır. Məsələn, "a1, 3=3" "a13=3" kimi yazıla bilər. Aydındır ki, bu, böyük matrislər üçün işləməyəcək, çünki a213 qaranlıq olacaq.
Matris növləri
Bəzən qeyd konfiqurasiyalarına görə təsnif edilir. Məsələn, diaqonal yuxarı-sol-aşağı-sağ "diaqonal"ın altında bütün sıfır girişləri olan belə bir matris yuxarı üçbucaq adlanır. Digər şeylər arasında başqa növlər və növlər də ola bilər, lakin onlar çox faydalı deyil. Ümumiyyətlə, daha çox üst üçbucaq kimi qəbul edilir. Sıfır olmayan eksponentləri yalnız üfüqi olan dəyərlərə diaqonal qiymətlər deyilir. Oxşar növlərin hamısının 1 olduğu sıfırdan fərqli girişlər var, belə cavablar eyni adlanır (sözügedən dəyərləri necə çox altmaq öyrənildikdə və başa düşüləndə aydın olacaq səbəblərə görə). Bir çox oxşar tədqiqat göstəriciləri var. 3 × 3 eyniliyi I3 ilə işarələnir. Eynilə, 4 × 4 eyniliyi I4-dür.
Matrisa Cəbri və Xətti Məkanlar
Qeyd edək ki, üçbucaqlı matrislər kvadratdır. Ancaq diaqonallar üçbucaqlıdır. Bunu nəzərə alaraq, onlarkvadrat. Və eyniliklər diaqonal və buna görə də üçbucaq və kvadrat hesab olunur. Bir matrisi təsvir etmək tələb olunduqda, adətən, sadəcə olaraq, öz ən spesifik təsnifatını təyin edir, çünki bu, bütün digərlərini nəzərdə tutur. Aşağıdakı tədqiqat variantlarını təsnif edin:3 × 4. Bu halda onlar kvadrat deyillər. Ona görə də dəyərlər başqa bir şey ola bilməz. Aşağıdakı təsnifat:3 × 3 kimi mümkündür. Ancaq kvadrat hesab olunur və burada xüsusi bir şey yoxdur. Aşağıdakı məlumatların təsnifatı:3 × 3 yuxarı üçbucaq kimi, lakin diaqonal deyil. Düzdür, nəzərdən keçirilən dəyərlərdə yerləşən və göstərilən boşluqda və ya yuxarıda əlavə sıfırlar ola bilər. Tədqiq olunan təsnifat daha da davam edir: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], burada o, diaqonal olaraq təmsil olunur və üstəlik, qeydlərin hamısı 1-dir. Sonra bu, 3 × 3 eynilikdir., I3.
Analoji matrislər tərifinə görə kvadrat olduğundan, onların ölçülərini tapmaq üçün yalnız bir indeksdən istifadə etməlisiniz. İki matrisin bərabər olması üçün onlar eyni parametrə malik olmalı və eyni yerlərdə eyni qeydlərə malik olmalıdırlar. Məsələn, fərz edək ki, nəzərdən keçirilən iki element var: A=[1 3 0] [-2 0 0] və B=[1 3] [-2 0]. Ölçüləri fərqli olduğu üçün bu dəyərlər eyni ola bilməz.
A və B belə olsalar belə: A=[3 6] [2 5] [1 4] və B=[1 2 3] [4 5 6] - onlar hələ də eyni deyillər Eyni şey. A və B hər biri var altı giriş və eyni nömrələrə malikdir, lakin bu matrislər üçün kifayət deyil. A 3×2-dir. B isə 2×3 matrisidir.3×2 üçün A 2×3 deyil. A və B-nin eyni miqdarda məlumat və ya hətta qeydlərlə eyni nömrələrə malik olmasının fərqi yoxdur. A və B eyni ölçüdə və formada deyilsə, lakin oxşar yerlərdə eyni dəyərlərə malikdirsə, onlar bərabər deyillər.
Baxılan ərazidə oxşar əməliyyatlar
Matrisa bərabərliyinin bu xüsusiyyəti müstəqil tədqiqat üçün tapşırıqlara çevrilə bilər. Məsələn, iki matris verilir və onların bərabər olduğu göstərilir. Bu halda, siz dəyişənlərin dəyərlərini araşdırmaq və cavab almaq üçün bu bərabərlikdən istifadə etməli olacaqsınız.
Cəbrdə matrislərin nümunələri və həlləri müxtəlif ola bilər, xüsusən də söhbət bərabərliklərə gəldikdə. Aşağıdakı matrislərin nəzərə alındığını nəzərə alsaq, x və y qiymətlərini tapmaq lazımdır. A və B-nin bərabər olması üçün onlar eyni ölçüdə və formada olmalıdırlar. Əslində, onlar belədirlər, çünki onların hər biri 2 × 2 matrisdir. Və eyni yerlərdə eyni dəyərlərə sahib olmalıdırlar. Onda a1, 1 bərabər olmalıdır b1, 1, a1, 2 bərabər olmalıdır b1, 2 və s. onlara). Lakin, a1, 1=1 açıq şəkildə b1, 1=x-ə bərabər deyil. A-nın B ilə eyni olması üçün girişdə a1, 1=b1, 1 olmalıdır, ona görə də o, 1=x ola bilər. Eynilə, indekslər a2, 2=b2, 2, deməli, 4=y. Onda həll yolu belədir: x=1, y=4. Nəzərə alsaq ki, aşağıdakımatrislər bərabərdir, x, y və z dəyərlərini tapmaq lazımdır. A=B olması üçün əmsalların bütün qeydləri bərabər olmalıdır. Yəni a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 və s. Xüsusilə, olmalıdır:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Seçilmiş matrislərdən göründüyü kimi: 1, 1-, 2, 2- və 3, 1- elementlərlə. Bu üç tənliyi həll etməklə biz cavabı alırıq: x=4, y=-6 və z=9. Matris cəbri və matris əməliyyatları hamının öyrəşdiyindən fərqlidir, lakin onlar təkrarlana bilməz.
Bu sahədə əlavə məlumat
Xətti matris cəbri oxşar tənliklər toplusunun və onların çevrilmə xassələrinin tədqiqidir. Bu bilik sahəsi kosmosda fırlanmaları təhlil etməyə, ən kiçik kvadratları təxmin etməyə, əlaqəli diferensial tənlikləri həll etməyə, verilmiş üç nöqtədən keçən dairəni təyin etməyə və riyaziyyat, fizika və texnologiyanın bir çox başqa problemlərini həll etməyə imkan verir. Matrisin xətti cəbri əslində istifadə olunan sözün texniki mənası deyil, yəni f sahəsi üzərində v vektor fəzası və s.
Matrisa və determinant son dərəcə faydalı xətti cəbr alətləridir. Əsas vəzifələrdən biri x üçün Ax=b matris tənliyinin həllidir. Baxmayaraq ki, bu, nəzəri olaraq tərs x=A-1 b istifadə etməklə həll edilə bilər. Qauss eliminasiyası kimi digər üsullar say baxımından daha etibarlıdır.
Xətti tənlik dəstlərinin öyrənilməsini təsvir etmək üçün istifadə olunmaqla yanaşı, müəyyən edilmişyuxarıdakı termin müəyyən bir cəbr növünü təsvir etmək üçün də istifadə olunur. Xüsusilə, F sahəsi üzərindəki L, paylama qanunları ilə birlikdə daxili toplama və vurma üçün bütün adi aksiomaları olan bir halqa quruluşuna malikdir. Buna görə də ona üzükdən daha çox quruluş verir. Xətti matris cəbri həmçinin F sahəsinin elementləri olan skalerlərlə vurmanın xarici əməliyyatını qəbul edir. Məsələn, V vektor fəzasından F sahəsi üzərindən özünə doğru bütün hesablanmış çevrilmələrin çoxluğu F üzərində formalaşır. Xətti cəbrin başqa bir nümunəsi cəbr bir sahə üzərindəki bütün real kvadrat matrislər toplusudur R həqiqi ədədlər.
