Universitet riyaziyyatının ən çətin və anlaşılmaz mövzularından biri inteqrasiya və diferensial hesablamalardır. Siz bu anlayışları bilməli və başa düşməlisiniz, həmçinin onları tətbiq etməyi bacarmalısınız. Bir çox universitet texniki fənləri diferensiallar və inteqrallarla əlaqələndirilir.
Tənliklər haqqında qısa məlumat
Bu tənliklər təhsil sistemində ən vacib riyazi anlayışlardan biridir. Diferensial tənlik müstəqil dəyişənləri, tapılacaq funksiyanı və bu funksiyanın törəmələrini müstəqil hesab edilən dəyişənlərlə əlaqələndirən tənlikdir. Bir dəyişənin funksiyasını tapmaq üçün diferensial hesaba adi deyilir. İstədiyiniz funksiya bir neçə dəyişəndən asılıdırsa, onda biri qismən diferensial tənlikdən danışır.
Əslində tənliyə müəyyən cavab tapmaq inteqrasiyadan keçir və həll üsulu tənliyin növü ilə müəyyən edilir.
Birinci dərəcəli tənliklər
Birinci dərəcəli diferensial tənlik dəyişəni, arzu olunan funksiyanı və onun birinci törəməsini təsvir edə bilən tənlikdir. Belə tənliklər üç formada verilə bilər: açıq, gizli, diferensial.
Həll etmək üçün lazım olan konsepsiyalar
İlkin şərt - müstəqil olan dəyişənin verilmiş dəyəri üçün istədiyiniz funksiyanın dəyərinin təyin edilməsi.
Diferensial tənliyin həlli - ilkin tənliyə tam olaraq əvəz edilmiş hər hansı diferensiallanan funksiya onu eyni bərabərliyə çevirir. Əldə edilən, aydın olmayan həll tənliyin inteqralıdır.
Diferensial tənliklərin ümumi həlli aşağıdakı mühakimələri təmin edə bilən y=y(x;C) funksiyasıdır:
- Funksiyanın yalnız bir ixtiyari sabiti ola bilər С.
- Nəticədə funksiya ixtiyari sabitin istənilən ixtiyari qiymətləri üçün tənliyin həlli olmalıdır.
- Verilmiş ilkin şərtlə, ixtiyari sabit unikal şəkildə müəyyən edilə bilər ki, nəticədə alınan xüsusi həll verilmiş ilkin ilkin şərtlə uyğun olsun.
Praktikada tez-tez Koşi problemindən istifadə olunur - xüsusi olan və başlanğıcda qoyulmuş şərtlə müqayisə oluna bilən həll yolu tapmaq.
Koşi teoremi diferensial hesablamada xüsusi həllin mövcudluğunu və unikallığını vurğulayan teoremdir.
Həndəsi məna:
- Ümumi həll y=y(x;C)tənlik inteqral əyrilərin ümumi sayıdır.
- Diferensial hesablama sizə XOY müstəvisində nöqtənin koordinatlarını və inteqral əyriyə çəkilmiş tangensi birləşdirməyə imkan verir.
- İlkin şərtin qurulması təyyarədə nöqtənin təyin edilməsi deməkdir.
- Koşi məsələsini həll etmək o deməkdir ki, tənliyin eyni həllini təmsil edən bütün inteqral əyrilər dəstindən yeganə mümkün nöqtədən keçəni seçmək lazımdır.
- Bir nöqtədə Koşi teoreminin şərtlərinin yerinə yetirilməsi o deməkdir ki, inteqral əyri (üstəlik, yalnız bir) müstəvidə seçilmiş nöqtədən mütləq şəkildə keçir.
Ayrılan dəyişən tənliyi
Tərifə görə, diferensial tənlik onun sağ tərəfinin biri yalnız "x"dən, digəri isə yalnız "y"dən asılı olaraq iki funksiyanın hasilini (bəzən nisbət) təsvir etdiyi və ya əks etdirdiyi tənlikdir. ". Bu növ üçün aydın nümunə: y'=f1(x)f2(y).
Müəyyən formalı tənlikləri həll etmək üçün əvvəlcə y'=dy/dx törəməsini çevirməlisiniz. Sonra, tənliyi manipulyasiya edərək, onu tənliyin iki hissəsini birləşdirə biləcəyiniz bir formaya gətirməlisiniz. Lazımi dəyişikliklərdən sonra biz hər iki hissəni birləşdirir və nəticəni sadələşdiririk.
Homojen tənliklər
Tərifə görə, diferensial tənlik aşağıdakı formaya malik olarsa, homojen adlandırıla bilər: y'=g(y/x).
Bu halda y/x=əvəzlənməsi ən çox istifadə olunurt(x).
Belə tənlikləri həll etmək üçün homojen tənliyi ayrıla bilən dəyişənlərə endirmək lazımdır. Bunu etmək üçün aşağıdakı əməliyyatları yerinə yetirməlisiniz:
- İstənilən orijinal funksiyadan orijinal funksiyanın törəməsini yeni tənlik kimi ifadə edən ekran.
- Növbəti addım alınan funksiyanı f(x;y)=g(y/x) formasına çevirməkdir. Daha sadə sözlərlə desək, tənliyi yalnız y/x nisbətini və sabitləri ehtiva edin.
- Aşağıdakı əvəzi edin: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Əvəzetmə tənlikdəki dəyişənləri bölməyə kömək edəcək və onu tədricən daha sadə formaya gətirəcək.
Xətti tənliklər
Belə tənliklərin tərifi aşağıdakı kimidir: xətti diferensial tənlik onun sağ tərəfinin orijinal funksiyaya münasibətdə xətti ifadə kimi ifadə edildiyi tənlikdir. Bu halda istədiyiniz funksiya: y'=a(x)y + b(x).
Tərifi aşağıdakı kimi təkrarlayaq: ilkin funksiya və onun törəməsi birinci dərəcəli tənliyə daxil edilərsə və bir-birinə vurulmazsa, 1-ci dərəcəli hər hansı tənlik öz formasında xətti olur. Xətti diferensial tənliyin "klassik forması" aşağıdakı quruluşa malikdir: y' + P(x)y=Q(x).
Belə bir tənliyi həll etməzdən əvvəl onu "klassik formaya" çevirmək lazımdır. Növbəti addım həll metodunun seçimi olacaq: Bernoulli metodu və ya Laqranj metodu.
Tənliyin həlliBernoulli tərəfindən təqdim edilən metoddan istifadə edərək, xətti diferensial tənliyin ilkin formada verilmiş U(x) və V(x) funksiyalarına nisbətən ayrı-ayrı dəyişənləri olan iki tənliyə əvəz edilməsini və azaldılmasını nəzərdə tutur.
Laqranj metodu orijinal tənliyin ümumi həllini tapmaqdır.
- Bircins tənliyin eyni həllini tapmaq lazımdır. Axtardıqdan sonra y=y(x, C) funksiyasına sahibik, burada C ixtiyari sabitdir.
- Biz eyni formada orijinal tənliyin həllini axtarırıq, lakin biz C=C(x) hesab edirik. İlkin tənliyə y=y(x, C(x)) funksiyasını qoyuruq, C(x) funksiyasını tapırıq və ümumi orijinal tənliyin həllini yazırıq.
Bernoulli tənliyi
Bernulli tənliyi - hesablamanın sağ tərəfi f(x;y)=a(x)y + b(x)yk formasını alırsa, burada k hər hansı mümkün rasional ədədi qiymətdir, k=0 və k=1 olduqda nümunə hallar.
Əgər k=1 olarsa, hesablama ayrıla bilən olur və k=0 olduqda tənlik xətti qalır.
Bu tip tənliyin həllinin ümumi halını nəzərdən keçirək. Bizdə standart Bernoulli tənliyi var. Onu xətti birinə endirmək lazımdır, bunun üçün tənliyi yk-ə bölmək lazımdır. Bu əməliyyatdan sonra z(x)=y1-k əvəz edin. Bir sıra transformasiyalardan sonra tənlik xətti birinə endiriləcək, əksər hallarda z=UV əvəzetmə üsulu ilə.
Cəmi diferensiallarda tənliklər
Tərif. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 quruluşlu tənliyə tam tənlik deyilir.diferensiallar, əgər aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə (bu şərtdə "d" qismən diferensialdır): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Əvvəllər nəzərdən keçirilən bütün birinci dərəcəli diferensial tənliklər diferensiallar kimi göstərilə bilər.
Belə hesablamalar bir neçə yolla həll olunur. Lakin, onların hamısı vəziyyətin yoxlanılması ilə başlayır. Şərt yerinə yetirilərsə, tənliyin ən sol bölgəsi hələ naməlum U(x;y) funksiyasının tam diferensialıdır. Sonra, tənliyə uyğun olaraq, dU (x; y) sıfıra bərabər olacaq və buna görə də ümumi diferensiallarda tənliyin eyni inteqralı U (x; y) u003d C şəklində göstəriləcəkdir. Buna görə də, tənliyin həlli U (x; y) funksiyasının tapılmasına endirilir.
İnteqrasiya faktoru
Tənlikdə dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx şərti təmin edilmirsə, tənliyin yuxarıda nəzərdən keçirdiyimiz forması yoxdur. Lakin bəzən M(x;y) funksiyasını seçmək mümkündür, ona vurulduqda tənlik tam “diffurs”da tənlik formasını alır. M (x;y) funksiyası inteqral əmsalı adlanır.
İnteqrator yalnız bir dəyişənin funksiyasına çevrildikdə tapıla bilər.
