Altıbucaqlı prizma və onun əsas xüsusiyyətləri

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Məkan həndəsəsi prizmaların tədqiqidir. Onların mühüm xüsusiyyətləri onlarda olan həcm, səth sahəsi və tərkib elementlərinin sayıdır. Məqalədə altıbucaqlı prizma üçün bütün bu xüsusiyyətləri nəzərdən keçirəcəyik.

Hansı prizmadan danışırıq?

Altıbucaqlı prizma altı tərəfi və altı bucağı olan iki çoxbucaqlı və işarələnmiş altıbucaqlıları vahid həndəsi formada birləşdirən altı paraleloqramdan əmələ gələn fiqurdur.

Şəkil bu prizmanın nümunəsini göstərir.

Qırmızı ilə işarələnmiş altıbucaqlı fiqurun əsası adlanır. Aydındır ki, onun əsaslarının sayı ikiyə bərabərdir və hər ikisi eynidir. Prizmanın sarı-yaşıl üzlərinə onun tərəfləri deyilir. Şəkildə onlar kvadratlarla göstərilib, lakin ümumilikdə paraleloqramlardır.

Altıbucaqlı prizma maili və düz ola bilər. Birinci halda, əsas və tərəflər arasındakı bucaqlar düz deyil, ikincidə 90o bərabərdir. Həmçinin, bu prizma düzgün və yanlış ola bilər. Adi altıbucaqlıprizma düz olmalıdır və əsasda müntəzəm altıbucaqlı olmalıdır. Şəkildəki yuxarıdakı prizma bu tələbləri ödəyir, ona görə də düzgün adlanır. Məqalənin sonrakı hissəsində ümumi hal kimi yalnız onun xassələrini öyrənəcəyik.

Elementlər

İstənilən prizma üçün onun əsas elementləri kənarlar, üzlər və təpələrdir. Altıbucaqlı prizma da istisna deyil. Yuxarıdakı rəqəm bu elementlərin sayını hesablamağa imkan verir. Beləliklə, biz 8 üz və ya tərəf alırıq (iki əsas və altı yan paraleloqram), təpələrin sayı 12 (hər əsas üçün 6 təpə), altıbucaqlı prizmanın kənarlarının sayı 18 (bazalar üçün altı yan və 12).

1750-ci illərdə Leonhard Euler (İsveçrəli riyaziyyatçı) prizma daxil olan bütün çoxüzlülər üçün göstərilən elementlərin nömrələri arasında riyazi əlaqə yaratdı. Bu əlaqə belə görünür:

kənarların sayı=üzlərin sayı + təpələrin sayı - 2.

Yuxarıdakı rəqəmlər bu düstura cavab verir.

Prizma diaqonalları

Altıbucaqlı prizmanın bütün diaqonalları iki növə bölünə bilər:

• üzlərinin müstəvisində yatanlar;
• şəklin bütün həcminə aid olanlar.

Aşağıdakı şəkil bütün bu diaqonalları göstərir.

Görünür ki, D₁ yan diaqonaldır, D₂ və D₃ diaqonallar bütün prizma, D₄ və D_{5 - təməlin diaqonalları.}

Tərəflərin diaqonallarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Məşhur Pifaqor teoremindən istifadə edərək onları hesablamaq asandır. Altıbucaqlının kənarının uzunluğu a, yan kənarının uzunluğu b olsun. Sonra diaqonal uzunluğa malikdir:

D₁=√(a² + b^2).

Diaqonal D₄ də müəyyən etmək asandır. Normal altıbucaqlının a radiuslu çevrəyə oturduğunu xatırlasaq, D_{4 bu çevrənin diametridir, yəni aşağıdakı düsturu alırıq:}

D_4=2a.

Diaqonal D₅əsasları tapmaq bir qədər çətindir. Bunun üçün ABC bərabərtərəfli üçbucağını nəzərdən keçirək (şək. bax). Onun üçün AB=BC=a, ABC bucağı 120^{o-dir. Hündürlüyü bu bucaqdan aşağı salsaq (o da bissektrisa və median olacaq), onda AC əsasının yarısı bərabər olacaq:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC tərəfi D_{5 diaqonalıdır, ona görə də əldə edirik:}

D_5=AC=√3a.

İndi adi altıbucaqlı prizmanın D₂ və D_{3 diaqonallarını tapmaq qalır. Bunu etmək üçün onların müvafiq düzbucaqlı üçbucaqların hipotenusları olduğunu görmək lazımdır. Pifaqor teoremindən istifadə edərək əldə edirik:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Beləliklə, a və b-nin istənilən dəyəri üçün ən böyük diaqonaldırD_2.

Səth sahəsi

Nəyin təhlükə altında olduğunu başa düşmək üçün ən asan yol bu prizmanın inkişafını nəzərdən keçirməkdir. Şəkildə göstərilib.

Görünür ki, baxılan fiqurun bütün tərəflərinin sahəsini təyin etmək üçün dördbucağın sahəsini və altıbucaqlının sahəsini ayrıca hesablamaq, sonra onları çox altmaq lazımdır. prizmadakı hər bir n-qonşunun sayına bərabər müvafiq tam ədədlərlə hesablayın və nəticələri əlavə edin. Altıbucaqlılar 2, düzbucaqlılar 6.

Dördbucaqlının sahəsi üçün alırıq:

S_1=ab.

Onda yanal səth sahəsi:

S_2=6ab.

Altıbucaqlının sahəsini təyin etmək üçün ən asan yol uyğun düsturdan istifadə etməkdir:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Bu ifadədə 6-ya bərabər olan n ədədini əvəz etməklə, bir altıbucaqlının sahəsini alırıq:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Prizmanın əsaslarının sahəsini almaq üçün bu ifadə ikiyə vurulmalıdır:

S_os=3√3a^2.

Şəklin ümumi səth sahəsini almaq üçün S_os və S_{2 əlavə etmək qalır:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizmanın həcmi

Formulundan sonra altıbucaqlı bazanın sahəsi ilə bağlı prizmada olan həcmi hesablamaq armudu atəşə tutmaq qədər asandır. Bunu etmək üçün, yalnız bir bazanın (altıbucaqlı) sahəsini uzunluğu yan kənarın uzunluğuna bərabər olan fiqurun hündürlüyünə vurmaq lazımdır. Formulu alırıq:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Qeyd edək ki, əsas və hündürlüyün hasilinin əyri prizma da daxil olmaqla tamamilə istənilən prizmanın həcminin qiymətini verir. Bununla belə, sonuncu halda hündürlüyün hesablanması mürəkkəbdir, çünki artıq yan qabırğanın uzunluğuna bərabər olmayacaqdır. Müntəzəm altıbucaqlı prizmaya gəldikdə, onun həcminin qiyməti iki dəyişənin funksiyasıdır: a və b tərəfləri.