Loqarifmlər: nümunələr və həllər

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Bildiyiniz kimi, ifadələri güclərlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a^ba^c=a^{b+ c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplamaya çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu yazını oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dil.}

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log_ab=c c" nəhayət dəyərini əldə etmək üçün "a" əsasını yüksəltməlisiniz. b". Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, _{28 ifadəsi var. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir dərəcə tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan dərəcəyə qədər 8-i alırsınız. Fikrinizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və doğrudur, çünki2-nin 3-ün qüvvəsinə yüksəldilməsi 8 cavabını verir.}

Loqarifm növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Üç ayrı növ loqarifmik ifadə var:

1. Natural loqarifm ln a, burada əsas Eyler nömrəsidir (e=2, 7).
2. Onluq loqarifmi lg a, burada əsas 10 ədəddir.
3. A>1 əsasına görə istənilən b ədədinin loqarifmi.

Onların hər biri loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, reduksiya və sonradan bir loqarifmə endirmə daxil olmaqla standart şəkildə həll edilir. Loqarifmlərin düzgün qiymətlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və həlli zamanı hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda bir neçə qayda-məhdudiyyət var ki, onlar aksiom kimi qəbul edilir, yəni müzakirə oluna bilməz və doğrudur. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərdən cüt kök almaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

• "a"-nın əsası həmişə sıfırdan böyük olmalı və eyni zamanda 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə mənasını itirəcək, çünki "1" və "0" istənilən dərəcədə həmişə onların dəyərlərinə bərabərdir;
• əgər > 0, onda ab>0,belə çıxır ki, "c" də sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10^x=100 tənliyinin cavabını tapmaq tapşırığı verildikdə. Çox asandır, on rəqəmini qaldıraraq belə bir güc seçmək lazımdır, biz 100 alın. Bu, əlbəttə ki, kvadrat güc! 10^2=100.

İndi bu ifadəni loqarifmik kimi təqdim edək. Biz log_{10100=2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən bütün hərəkətlər praktiki olaraq verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasının daxil edilməli olduğu gücü tapmaq üçün birləşir.}

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün siz dərəcə cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Belə görünür:

Gördüyünüz kimi, texniki təfəkkürünüz və vurma cədvəli haqqında biliyiniz varsa, bəzi göstəriciləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər bir güc masası tələb edəcəkdir. Onu hətta mürəkkəb riyazi mövzularda ümumiyyətlə heç nə başa düşməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Kəsişmədə xanalar cavab olan ədədlərin dəyərlərini təyin edir (ac=b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratına çevirək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən real humanist belə başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, nə vaxtMüəyyən şərtlərdə eksponent loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik tənlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3⁴=81 dörddür (log₃81=4) əsas 3-ə 81-in loqarifmi kimi yazıla bilər. Mənfi dərəcələr üçün qaydalar eynidir: 2^-5=1/32 loqarifm kimi yazılır, log_{2 (1/32) alırıq)=-5. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Tənliklərin nümunələrini və həllərini xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra bir az aşağı nəzərdən keçirəcəyik. Hələlik gəlin bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə fərqləndirəcəyinə baxaq.}

Aşağıdakı ifadə verilir: log_{2(x-1) > 3 - bu, loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum qiymət "x" işarəsinin işarəsi altındadır. loqarifm. İfadə həmçinin iki dəyəri müqayisə edir: istədiyiniz ədədin əsas iki loqarifmi üç rəqəmdən böyükdür.}

Loqarifmik tənliklərlə bərabərsizliklər arasında ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (misal - loqarifm₂x=√9) _{nəzərdə tutur cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyər, bərabərsizliyi həll edərkən həm məqbul dəyərlər diapazonu, həm də bu funksiyanın kəsilmə nöqtələri müəyyən edilir. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi sadə fərdi ədədlər toplusu deyil, davamlı seriya və ya ədədlər toplusudur.}

Loqarifmlər üzrə əsas teoremlər

Loqarifmin qiymətlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xassələrini bilmirsiniz. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmanın bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələri ilə daha sonra tanış olacağıq, gəlin əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı təhlil edək.

1. Əsas şəxsiyyət belə görünür: alogaB=B. Bu, yalnız a 0-dan böyük, birə bərabər deyil və B sıfırdan böyük olduqda tətbiq edilir.
2. Məhsulun loqarifmi aşağıdakı düsturla təmsil oluna bilər: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Bu halda məcburi şərt: d, s}1 _{və s}2 _{> 0; a≠1. Bu loqarifm düsturuna misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. Qoy log}a_s1 _=f1 _{və log}a_s 2_=f2_{, sonra a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Alırıq ki, s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(dərəcə xüsusiyyətləri) və daha sonra tərifə görə: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{sübut edilməli idi.}
3. Bölmənin loqarifmi belə görünür: log_a(s_1/s₂)=qeyd _as₁- log_as_2.
4. Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Bu düstur "loqarifmin dərəcə xassəsi" adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat müntəzəm postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Qoy log_ab=t, biz a^t=b alırıq. Hər iki tərəfi m gücünə qaldırsanız: a^tn=b^;

amma ona görə ki, a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, buna görə də log}aq _bn=(nt)/t, sonra log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorem sübut edilmişdir.

Problem və bərabərsizlik nümunələri

Loqarifm məsələlərinin ən çox yayılmış növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və riyaziyyatdan imtahanların məcburi hissəsinə də daxildir. Universitetə daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür problemləri necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum qiymətinin həlli və təyini üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq oluna bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin onlarla tezliklə tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən,qarşımızda hansı növ loqarifm olduğunu müəyyən etmək lazımdır: ifadə nümunəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.

Budur, onluq loqarifmlərin nümunələri: ln100, ln1026. Onların həlli ondan ibarətdir ki, 10-cu bazanın müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağını müəyyən etmək lazımdır. Təbii loqarifmlərin həlli üçün loqarifmik eyniliklər və ya onların xassələri tətbiq edilməlidir. Müxtəlif növ loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm düsturlarından necə istifadə olunur: nümunələr və həllər ilə

Beləliklə, gəlin loqarifmlərlə bağlı əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

1. Məhsulun loqarifminin xassəsindən b ədədinin böyük qiymətini daha sadə amillərə parçalamaq lazım olan tapşırıqlarda istifadə oluna bilər. Məsələn, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Cavab 9-dur.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - gördüyünüz kimi loqarifmin dərəcəsinin dördüncü xassəsini tətbiq etməklə biz ilk baxışdan həll edə bildik mürəkkəb və həll olunmayan ifadədir. Sizə lazım olan tək şey əsası faktorlara ayırmaq və sonra loqarifmin işarəsindən gücü çıxarmaqdır.}

İmtahandan verilən tapşırıqlar

Loqarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən də Vahid Dövlət İmtahanında bir çox loqarifmik problemə rast gəlinir (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı). Adətən bu vəzifələr təkcə A hissəsində deyil (ən çoximtahanın asan test hissəsi), həm də C hissəsində (ən çətin və həcmli tapşırıqlar). İmtahan "Təbii loqarifmlər" mövzusunda dəqiq və mükəmməl bilik tələb edir.

Nümunələr və problem həlləri imtahanın rəsmi versiyalarından götürülüb. Gəlin görək belə tapşırıqlar necə həll olunur.

Verilən jurnal₂(2x-1)=4. Həll yolu:

ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazın log_2(2x-1)=22^{, loqarifmin tərifindən əldə edirik ki, 2x-1=2}4^{, buna görə də 2x=17; x=8, 5.}

Bir neçə təlimata əməl etməklə, siz loqarifmin işarəsi altında olan ifadələri ehtiva edən bütün tənlikləri asanlıqla həll edə bilərsiniz.

• Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
• Loqarifm işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, ona görə də loqarifm işarəsi altında olan ifadənin eksponentini və əsasını vurarkən loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.