Ehtimal nəzəriyyəsinin öyrənilməsi ehtimalların toplanması və vurulması məsələlərinin həllindən başlayır. Dərhal qeyd etmək lazımdır ki, bu bilik sahəsini mənimsəyərkən tələbə problemlə qarşılaşa bilər: fiziki və ya kimyəvi prosesləri əyani şəkildə təmsil etmək və empirik şəkildə başa düşmək olarsa, riyazi abstraksiya səviyyəsi çox yüksəkdir və burada anlayış yalnız təcrübə.
Bununla belə, oyun şam etməyə dəyər, çünki həm bu məqalədə nəzərdən keçirilən, həm də daha mürəkkəb düsturlar bu gün hər yerdə istifadə olunur və işdə faydalı ola bilər.
Mənşə
Qəribədir ki, riyaziyyatın bu bölməsinin inkişafına təkan … qumar oyunu idi. Həqiqətən, zar, sikkə atma, poker, rulet ehtimalların toplanması və vurulmasından istifadə edən tipik nümunələrdir. Hər hansı bir dərslikdəki tapşırıqların nümunəsində bunu aydın görmək olar. İnsanlar qalib olmaq şanslarını necə artırmağı öyrənməklə maraqlanırdılar və deməliyəm ki, bəziləri buna müvəffəq oldular.
Məsələn, artıq 21-ci əsrdə adını açıqlamayacağımız bir şəxs,əsrlər boyu toplanmış bu bilikdən kazinonu sözün əsl mənasında "təmizləmək" üçün istifadə etdi və ruletdə bir neçə on milyonlarla dollar qazandı.
Lakin bu mövzuya marağın artmasına baxmayaraq, yalnız 20-ci əsrə qədər “nəzəriyyə”ni riyaziyyatın tam hüquqlu komponentinə çevirən nəzəri baza işlənib hazırlanmadı. Bu gün demək olar ki, istənilən elmdə ehtimal metodlarından istifadə edərək hesablamalar tapa bilərsiniz.
Tətbiq qabiliyyəti
Ehtimalların toplanması və vurulması düsturlarından istifadə edərkən vacib məqam, şərti ehtimal mərkəzi limit teoreminin təmin olunmasıdır. Əks halda, tələbə tərəfindən həyata keçirilməsə də, nə qədər inandırıcı görünsə də, bütün hesablamalar yanlış olacaq.
Bəli, yüksək motivasiyaya malik olan şagird hər fürsətdə yeni biliklərdən istifadə etməyə həvəslənir. Ancaq bu halda, bir az yavaşlamalı və tətbiq dairəsini ciddi şəkildə təsvir etməlisiniz.
Ehtimal nəzəriyyəsi təcrübələrin nəticələri olan təsadüfi hadisələrlə məşğul olur: biz altı tərəfli qəlibi yuvarlaya, göyərtədən kart çəkə, partiyadakı qüsurlu hissələrin sayını proqnozlaşdıra bilərik. Ancaq bəzi suallarda riyaziyyatın bu bölməsindən düsturlardan istifadə etmək qətiyyən mümkün deyil. Biz məqalənin sonunda hadisənin ehtimallarının nəzərə alınmasının xüsusiyyətlərini, hadisələrin toplanması və vurulması teoremlərini müzakirə edəcəyik, lakin hələlik nümunələrə keçək.
Əsas anlayışlar
Təsadüfi hadisə görünə bilən və ya görünməyən bəzi proses və ya nəticə deməkdirtəcrübə nəticəsində. Məsələn, bir sendviç atırıq - o, kərə yağı və ya yağı aşağı düşə bilər. İki nəticədən hər biri təsadüfi olacaq və onlardan hansının baş verəcəyini əvvəlcədən bilmirik.
Ehtimalların toplama və vurma üsullarını öyrənərkən bizə daha iki anlayış lazımdır.
Birgə hadisələr o hadisələrdir ki, onlardan birinin baş verməsi digərinin baş verməsini istisna etmir. Tutaq ki, iki nəfər eyni anda hədəfə atəş açır. Onlardan biri uğurlu atəş alsa, bu, digərinin vurma və ya qaçırma qabiliyyətinə təsir etməyəcək.
Baş verməsi eyni vaxtda qeyri-mümkün olan belə hadisələr uyğunsuz olacaq. Məsələn, qutudan yalnız bir topu çıxarmaqla eyni anda həm mavi, həm də qırmızı əldə edə bilməzsiniz.
Təyinat
Ehtimal anlayışı Latın böyük P hərfi ilə işarələnir. Sonra mötərizədə bəzi hadisələri bildirən arqumentlər verilir.
Əlavə teoreminin, şərti ehtimalın, vurma teoreminin düsturlarında mötərizədə ifadələr görəcəksiniz, məsələn: A+B, AB və ya A|B. Onlar müxtəlif yollarla hesablanacaq, indi onlara müraciət edəcəyik.
Əlavə
Toplama və vurma düsturlarının istifadə edildiyi halları nəzərdən keçirək.
Uyğun olmayan hadisələr üçün ən sadə əlavə düsturu uyğundur: təsadüfi nəticələrdən hər hansı birinin ehtimalı bu nəticələrin hər birinin ehtimallarının cəminə bərabər olacaq.
Fərz edək ki, içərisində 2 mavi, 3 qırmızı və 5 sarı şar olan qutu var. Qutuda cəmi 10 ədəd var. Mavi və ya qırmızı top çəkəcəyimiz ifadəsinin doğruluğu neçə faizdir? 2/10 + 3/10, yəni əlli faizə bərabər olacaq.
Uyğun olmayan hadisələr zamanı əlavə termin əlavə olunduğundan formula mürəkkəbləşir. Daha bir düsturu nəzərdən keçirdikdən sonra ona bir abzasda qayıdacağıq.
Çarpma
Müstəqil hadisələrin ehtimallarının toplanması və vurulmasından müxtəlif hallarda istifadə olunur. Təcrübənin şərtinə görə, iki mümkün nəticədən hər hansı biri bizi qane edərsə, cəmini hesablayacağıq; bir-birinin ardınca iki müəyyən nəticə əldə etmək istəsək, fərqli düsturdan istifadə edəcəyik.
Əvvəlki hissədən nümunəyə qayıdaraq, əvvəlcə mavi, sonra isə qırmızı topu çəkmək istəyirik. Bildiyimiz ilk rəqəm 2/10-dur. Sonra nə olacaq? 9 top qalıb, hələ də eyni sayda qırmızı top var - üç ədəd. Hesablamalara görə, 3/9 və ya 1/3 alırsınız. Bəs indi iki rəqəmlə nə etmək lazımdır? Düzgün cavab 2/30 almaq üçün çox altmaqdır.
Birgə Tədbirlər
İndi biz birgə tədbirlər üçün cəmi düsturuna yenidən baxa bilərik. Niyə mövzudan kənara çıxırıq? Ehtimalların necə vurulduğunu öyrənmək. İndi bu bilik lazımlı olacaq.
İlk iki şərtin nə olacağını artıq bilirik (əvvəllər nəzərdən keçirilən əlavə düsturunda olduğu kimi), indi çıxmaq lazımdıryenicə hesablamağı öyrəndiyimiz ehtimalların hasili. Aydınlıq üçün formula yazırıq: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Belə çıxır ki, ehtimalların həm toplanması, həm də vurulması bir ifadədə istifadə olunur.
Tutaq ki, kredit almaq üçün iki problemdən birini həll etməliyik. Birincini 0,3, ikincini isə 0,6 ehtimalla həll edə bilərik Həlli: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Qeyd edək ki, burada sadəcə rəqəmləri cəmləmək kifayət etməyəcək.
Şərti Ehtimal
Nəhayət, arqumentləri mötərizədə göstərilən və şaquli çubuqla ayrılan şərti ehtimal anlayışı var. P(A|B) girişi aşağıdakı kimi oxunur: “Verilmiş B hadisəsi A hadisəsinin ehtimalı”.
Bir misala baxaq: dostunuz sizə cihaz verir, qoy telefon olsun. Qırılmış (20%) və ya yaxşı (80%) ola bilər. Əlinizə düşən hər hansı bir cihazı 0,4 ehtimalla təmir edə bilirsiniz və ya edə bilmirsiniz (0,6). Nəhayət, əgər cihaz işlək vəziyyətdədirsə, siz 0,7 ehtimalla doğru insanla əlaqə saxlaya bilərsiniz.
Bu halda şərti ehtimalın necə işlədiyini görmək asandır: telefon xarab olsa, bir adamla əlaqə saxlaya bilməzsiniz, əgər o, yaxşıdırsa, onu düzəltməyə ehtiyac yoxdur. Beləliklə, "ikinci səviyyədə" hər hansı nəticə əldə etmək üçün birincidə hansı hadisənin həyata keçirildiyini bilməlisiniz.
Hesablamalar
Əvvəlki abzasdakı məlumatlardan istifadə etməklə ehtimalların toplanması və vurulması ilə bağlı məsələlərin həlli nümunələrini nəzərdən keçirək.
İlk olaraq, siz olma ehtimalını tapaqsizə verilən cihazı təmir edin. Bunu etmək üçün, birincisi, nasaz olmalıdır, ikincisi, təmirin öhdəsindən gəlməlisiniz. Bu tipik vurma problemidir: biz 0,20,4=0,08 alırıq.
Dərhal doğru insana çatma ehtimalınız nədir? Sadədən daha asandır: 0,80,7=0,56. Bu halda, siz telefonun işlədiyini və uğurla zəng etdiyini tapdınız.
Nəhayət, bu ssenarini nəzərdən keçirin: xarab telefon aldınız, onu təmir etdiniz, sonra nömrəni yığdınız və qarşı tərəfdəki şəxs telefona cavab verdi. Burada üç komponentin vurulması artıq tələb olunur: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Bəs eyni anda iki işləməyən telefonunuz varsa necə? Onlardan ən azı birini düzəltmək ehtimalınız nə qədərdir? Birgə hadisələrdən istifadə edildiyi üçün bu ehtimalların toplanması və vurulması problemidir. Həlli: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Diqqətli istifadə
Məqalənin əvvəlində qeyd edildiyi kimi, ehtimal nəzəriyyəsindən istifadə düşünülmüş və şüurlu olmalıdır.
Təcrübələr seriyası nə qədər böyükdürsə, nəzəri olaraq proqnozlaşdırılan dəyər praktiki dəyərə bir o qədər yaxınlaşır. Məsələn, biz sikkə atırıq. Nəzəri olaraq ehtimalların toplanması və vurulması üçün düsturların mövcudluğunu bildiyimiz üçün təcrübəni 10 dəfə keçirsək, baş və quyruqların neçə dəfə düşəcəyini təxmin edə bilərik. Təcrübə etdik vəTəsadüfən, düşmüş tərəflərin nisbəti 3-dən 7-yə bərabər idi. Ancaq 100, 1000 və ya daha çox cəhdlər seriyası etsəniz, paylama qrafikinin nəzəri birinə getdikcə yaxınlaşdığı ortaya çıxır: 44-dən 56-ya, 482-ə 518 və s.
İndi təsəvvür edin ki, bu təcrübə sikkə ilə deyil, ehtimalını bilmədiyimiz hansısa yeni kimyəvi maddənin istehsalı ilə həyata keçirilir. 10 təcrübə keçirərdik və uğurlu nəticə əldə etməsək, ümumiləşdirə bilərdik: “maddə əldə edilə bilməz”. Bəs kim bilir, on birinci cəhdi etsəydik, məqsədə çatacaqdıq, ya yox?
Beləliklə, əgər naməlum, tədqiq edilməmiş sahəyə gedirsinizsə, ehtimal nəzəriyyəsi tətbiq olunmaya bilər. Bu halda hər bir sonrakı cəhd uğurlu ola bilər və "X mövcud deyil" və ya "X mümkün deyil" kimi ümumiləşdirmələr vaxtından əvvəl olacaq.
Bağlama sözü
Beləliklə, biz toplamanın iki növünə, vurma və şərti ehtimallara baxdıq. Bu sahənin daha da öyrənilməsi ilə hər bir xüsusi düsturdan istifadə edildikdə vəziyyətləri ayırd etməyi öyrənmək lazımdır. Bundan əlavə, ehtimal metodlarının probleminizin həlli üçün ümumiyyətlə uyğun olub olmadığını başa düşməlisiniz.
Əgər məşq etsəniz, bir müddət sonra sırf beyninizdə lazım olan bütün əməliyyatları həyata keçirməyə başlayacaqsınız. Kart oyunlarını sevənlər üçün bu bacarıq hesab edilə bilərson dərəcə qiymətli - yalnız müəyyən bir kartın və ya kostyumun düşmə ehtimalını hesablayaraq, qazanmaq şansınızı əhəmiyyətli dərəcədə artıracaqsınız. Bununla belə, əldə edilmiş biliklər digər fəaliyyət sahələrində asanlıqla tətbiq oluna bilər.
