Riyaziyyat elmində tez-tez bir sıra çətinliklər və suallar olur və cavabların çoxu həmişə aydın olmur. Dəstlərin kardinallığı kimi bir mövzu da istisna deyildi. Əslində bu, obyektlərin sayının ədədi ifadəsindən başqa bir şey deyil. Ümumi mənada çoxluq aksiomdur, onun tərifi yoxdur. O, boş, sonlu və ya sonsuz ola bilən hər hansı obyektlərə, daha doğrusu onların çoxluğuna əsaslanır. Bundan əlavə, o, tam və ya natural ədədləri, matrisləri, ardıcıllığı, seqmentləri və xətləri ehtiva edir.
Mövcud dəyişənlər haqqında
Daxili dəyəri olmayan null və ya boş çoxluq alt çoxluq olduğu üçün əsas element hesab olunur. Boş olmayan S çoxluğunun bütün alt çoxluqlarının toplusu çoxluqlar toplusudur. Beləliklə, verilmiş çoxluğun güc çoxluğu çoxlu, düşünülə bilən, lakin tək hesab olunur. Bu çoxluq S-in səlahiyyətlər çoxluğu adlanır və P (S) ilə işarələnir. Əgər S N elementdən ibarətdirsə, onda P(S) 2^n alt çoxluq ehtiva edir, çünki P(S) alt çoxluğu ya ∅, ya da S-dən r elementi ehtiva edən alt çoxluqdur, r=1, 2, 3, … Sonsuz hər şeydən ibarətdir. M çoxluğu güc kəmiyyəti adlanır və simvolik olaraq P (M) ilə işarələnir.
Çoxluq nəzəriyyəsinin elementləri
Bu bilik sahəsi Corc Kantor (1845-1918) tərəfindən işlənib hazırlanmışdır. Bu gün riyaziyyatın demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur və onun əsas hissəsi kimi xidmət edir. Çoxluq nəzəriyyəsində elementlər siyahı şəklində təqdim edilir və növlərlə (boş çoxluq, təkli, sonlu və sonsuz çoxluqlar, bərabər və ekvivalent, universal), birləşmə, kəsişmə, fərq və ədədlərin toplanması ilə verilir. Gündəlik həyatda biz tez-tez bir dəstə açar, bir quş sürüsü, bir dəst kart və s. kimi obyektlər toplusundan danışırıq. Riyaziyyatın 5-ci və ondan sonrakı siniflərində təbii, tam, sadə və mürəkkəb ədədlər var.
Aşağıdakı dəstlər nəzərdən keçirilə bilər:
- təbii ədədlər;
- əlifbanın hərfləri;
- əsas əmsallar;
- müxtəlif tərəfləri olan üçbucaqlar.
Görülə bilər ki, bu göstərilən nümunələr yaxşı müəyyən edilmiş obyektlər dəstidir. Daha bir neçə nümunəyə nəzər salın:
- dünyanın ən məşhur beş alimi;
- cəmiyyətdə yeddi gözəl qız;
- üç ən yaxşı cərrah.
Bu kardinallıq nümunələri obyektlərin dəqiq müəyyən edilmiş kolleksiyaları deyil, çünki "ən məşhur", "ən gözəl", "ən yaxşı" meyarları insandan insana dəyişir.
Dəstlər
Bu dəyər müxtəlif obyektlərin dəqiq müəyyən edilmiş sayıdır. Fərz edək ki:
- sözlər dəsti sinonimdir, məcmudur, sinifdir və elementləri ehtiva edir;
- obyektlər, üzvlər bərabər şərtlərdir;
- dəstlər adətən böyük A, B, C hərfləri ilə işarələnir;
- dəst elementləri kiçik a, b, c hərfləri ilə təmsil olunur.
Əgər “a” A çoxluğunun elementidirsə, o zaman “a”-nın A-ya aid olduğu deyilir. “Aid” ifadəsini yunanca “∈” (epsilon) hərfi ilə işarə edək. Beləliklə, məlum olur ki, a ∈ A. Əgər 'b' A-ya aid olmayan elementdirsə, bu, b ∉ A kimi təmsil olunur. 5-ci sinif riyaziyyatında istifadə olunan bəzi mühüm çoxluqlar aşağıdakı üç üsuldan istifadə etməklə təmsil olunur:
- tətbiqlər;
- registrlər və ya cədvəl;
- formasiya yaratmaq qaydası.
Daha yaxından araşdırıldıqda ərizə forması aşağıdakılara əsaslanır. Bu zaman çoxluğun elementlərinin aydın təsviri verilir. Onların hamısı qıvrımlı mötərizələrə bağlanmışdır. Məsələn:
- 7-dən kiçik tək ədədlər toplusu - {7-dən az} kimi yazılır;
- 30-dan çox və 55-dən kiçik ədədlər toplusu;
- müəllimdən daha ağır olan sinifdəki şagirdlərin sayı.
Reyestr (cədvəl) formasında çoxluğun elementləri mötərizədə {} cütü daxilində verilmiş və vergüllə ayrılmışdır. Məsələn:
- N ilk beş natural ədədin çoxluğunu işarələsin. Buna görə, N=→ qeydiyyat forması
- İngilis əlifbasının bütün saitlərinin toplusu. Beləliklə, V={a, e, i, o, u, y} → qeydiyyat forması
- Bütün tək ədədlər çoxluğu 9-dan kiçikdir. Buna görə də X={1, 3, 5, 7} → formareyestr
- "Riyaziyyat" sözündəki bütün hərflər toplusu. Beləliklə, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Reyestr Forması
- W ilin son dörd ayının dəstidir. Buna görə də, W={Sentyabr, Oktyabr, Noyabr, Dekabr} → registr.
Qeyd edək ki, elementlərin sıralanma sırası əhəmiyyət kəsb etmir, lakin onlar təkrarlanmamalıdır. Quraşdırmanın müəyyən edilmiş forması, müəyyən bir halda, qayda, düstur və ya operator çoxluğun düzgün müəyyən edilməsi üçün mötərizədə yazılır. Sözügedən dəyərə üzv olmaq üçün set qurucu formasında bütün elementlər eyni xüsusiyyətə malik olmalıdır.
Çoxluq təmsilinin bu formasında çoxluğun elementi "x" simvolu və ya hər hansı digər dəyişəndən sonra iki nöqtə ilə təsvir olunur (":" və ya "|" işarələmək üçün istifadə olunur). Məsələn, P 12-dən böyük hesablana bilən ədədlər toplusu olsun. Çoxluq quran formada P - {sayılan ədəd və 12-dən böyük} kimi yazılır. Müəyyən bir şəkildə oxuyacaq. Yəni, "P x elementləri toplusudur ki, x hesablana bilər və 12-dən böyükdür."
Üç dəst təqdimetmə metodundan istifadə etməklə həll edilmiş nümunə: -2 və 3 arasındakı tam ədədlərin sayı. Aşağıda müxtəlif növ dəstlərə nümunələr verilmişdir:
- Heç bir elementi olmayan və ∅ simvolu ilə işarələnən və phi kimi oxunan boş və ya sıfır çoxluq. Siyahı formasında ∅ {} yazılır. Sonlu çoxluq boşdur, çünki elementlərin sayı 0-dır. Məsələn, tam ədədlər dəsti 0-dan azdır.
- Aydındır ki, <0 olmamalıdır. Buna görə də, buboş dəst.
- Tərkibində yalnız bir dəyişən olan çoxluğa təkton çoxluğu deyilir. Nə sadə, nə də mürəkkəbdir.
Sonlu dəst
Tərkibində müəyyən sayda element olan çoxluğa sonlu və ya sonsuz çoxluq deyilir. Boş birinciyə aiddir. Məsələn, göy qurşağındakı bütün rənglərin dəsti.
Sonsuzluq çoxluqdur. Onun içindəki elementləri sadalamaq mümkün deyil. Yəni oxşar dəyişənləri ehtiva edən sonsuz çoxluq adlanır. Nümunələr:
- müstəvidəki bütün nöqtələr dəstinin gücü;
- bütün sadə ədədlər toplusu.
Lakin siz başa düşməlisiniz ki, çoxluğun birləşməsinin bütün əsas cəhətləri siyahı şəklində ifadə edilə bilməz. Məsələn, həqiqi ədədlər, çünki onların elementləri heç bir xüsusi nümunəyə uyğun gəlmir.
Bir çoxluğun əsas nömrəsi verilmiş A kəmiyyətindəki müxtəlif elementlərin sayıdır. O, n (A) ilə işarələnir.
Məsələn:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Beləliklə, n (A)=4.
- B=CƏBRƏ sözündəki hərflər toplusu.
Dəstlərin müqayisəsi üçün ekvivalent dəstlər
A və B dəstlərinin iki kardinallığı, onların əsas sayı eyni olarsa, belədir. Ekvivalent çoxluğun simvolu "↔"-dir. Məsələn: A ↔ B.
Bərabər çoxluqlar: eyni elementləri ehtiva edən A və B dəstlərinin iki kardinallığı. A-dan hər bir əmsal B-dən dəyişəndir və B-nin hər biri A-nın müəyyən edilmiş qiymətidir. Buna görə də, A=B. Kardinallıq birliklərinin müxtəlif növləri və onların tərifləri verilən nümunələrdən istifadə etməklə izah olunur.
Sonsuzluğun və sonsuzluğun mahiyyəti
Sonlu çoxluqla sonsuz çoxluğun kardinallığı arasında hansı fərqlər var?
Birinci dəyər boşdursa və ya məhdud sayda elementə malikdirsə, onun aşağıdakı adı var. Sonlu çoxluqda dəyişən məhdud saya malikdirsə təyin oluna bilər. Məsələn, 1, 2, 3 natural sayından istifadə etməklə. Və siyahı prosesi bəzi N ilə bitir. Sonlu S çoxluğunda hesablanan müxtəlif elementlərin sayı n (S) ilə işarələnir. Buna sifariş və ya kardinal da deyilir. Standart prinsipə uyğun olaraq simvolik olaraq işarələnir. Beləliklə, S çoxluğu rus əlifbasıdırsa, onda 33 element var. Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, element çoxluqda bir dəfədən çox baş vermir.
Setdə sonsuz
Elementləri sadalamaq mümkün deyilsə, çoxluq sonsuz adlanır. Əgər onun hər hansı n üçün qeyri-məhdud (yəni, sayılmayan) natural 1, 2, 3, 4 ədədi varsa. Sonlu olmayan çoxluğa sonsuz deyilir. İndi nəzərdən keçirilən ədədi dəyərlərin nümunələrini müzakirə edə bilərik. Son dəyər seçimləri:
- Q={25-dən kiçik natural ədədlər} olsun. Onda Q sonlu çoxluqdur və n (P)=24.
- Qoy R={5 ilə 45 arasındakı tam ədədlər}. Onda R sonlu çoxluqdur və n (R)=38.
- Qoy S={rəqəmlər modulu 9}. Sonra S={-9, 9} sonlu çoxluqdur və n (S)=2.
- Bütün insanlar toplusu.
- Bütün quşların sayı.
Sonsuz nümunələr:
- təyyarədə mövcud nöqtələrin sayı;
- xətt seqmentindəki bütün nöqtələrin sayı;
- 3-ə bölünən müsbət tam ədədlər çoxluğu sonsuzdur;
- bütün və natural ədədlər.
Beləliklə, yuxarıdakı əsaslandırmadan sonlu və sonsuz çoxluqları necə ayırd etmək aydın olur.
Davamlılıq dəstinin gücü
Əgər biz çoxluğu və digər mövcud dəyərləri müqayisə etsək, o zaman çoxluğa əlavə əlavə olunur. Əgər ξ universaldırsa və A ξ-in alt çoxluğudursa, onda A-nın tamamlayıcısı ξ-nin A elementi olmayan bütün elementlərinin sayıdır. Simvolik olaraq, A-nın ξ-ə nisbətən tamamlayıcısı A'-dir. Məsələn, 2, 4, 5, 6 ξ-nin A-ya aid olmayan yeganə elementləridir. Buna görə də, A'={2, 4, 5, 6}
Kardinallıq kontinuumu olan dəst aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
- universal kəmiyyətin tamamlayıcısı sözügedən boş dəyərdir;
- bu null çoxluq dəyişəni universaldır;
- miqdar və onun tamamlayıcısı ayrıdır.
Məsələn:
- Natural ədədlərin sayı universal çoxluq, A isə cüt olsun. Onda A '{x: x eyni rəqəmləri olan tək çoxluqdur}.
- Qoy ξ=əlifbadakı hərflər dəsti olsun. A=samitlər toplusu. Sonra A '=saitlərin sayı.
- Universal çoxluğun tamamlayıcısı boş kəmiyyətdir. ξ ilə işarələnə bilər. Sonra ξ '=ξ-ə daxil olmayan elementlərin çoxluğu. Boş φ çoxluğu yazılır və işarələnir. Buna görə də ξ=φ. Beləliklə, universal dəstin tamamlayıcısı boşdur.
Riyaziyyatda "davamlılıq" bəzən real xətti təmsil etmək üçün istifadə olunur. Və daha çox oxşar obyektləri təsvir etmək üçün:
- davamlılıq (dəstlər nəzəriyyəsində) - real xətt və ya müvafiq kardinal rəqəm;
- xətti - real xəttin müəyyən xassələrini paylaşan istənilən sifarişli çoxluq;
- continuum (topologiyada) - boş olmayan kompakt bağlı metrik fəza (bəzən Hausdorff);
- sonsuz çoxluğun tam ədədlərdən böyük, lakin həqiqi ədədlərdən kiçik olmadığı fərziyyəsi;
- kontinuumun gücü həqiqi ədədlər çoxluğunun ölçüsünü əks etdirən əsas ədəddir.
Əslində heç bir kəskin dəyişiklik olmadan bir vəziyyətdən digərinə tədricən keçidi izah edən kontinuum (ölçmə), nəzəriyyələr və ya modellərdir.
Birləşmə və kəsişmə problemləri
Məlumdur ki, iki və ya daha çox çoxluğun kəsişməsi bu qiymətlərdə ümumi olan bütün elementləri ehtiva edən ədəddir. Çoxluqların birləşmə və kəsişmə xassələrindən necə istifadə ediləcəyi haqqında əsas fikirlər əldə etmək üçün çoxluqlardakı söz tapşırıqları həll edilir. Üzərindəki sözlərin əsas problemlərini həll etdidəstlər belə görünür:
Qoy A və B iki sonlu çoxluq olsun. Onlar elədir ki, n (A)=20, n (B)=28 və n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) tapın
Venn diaqramından istifadə edərək dəstlərdə əlaqə:
- İki çoxluğun birliyi A ∪ B-ni təmsil edən kölgəli sahə ilə təmsil oluna bilər. A və B ayrı çoxluq olduqda A ∪ B.
- İki çoxluğun kəsişməsi Venn diaqramı ilə göstərilə bilər. A ∩ B-ni təmsil edən kölgəli sahə ilə.
- İki dəst arasındakı fərq Venn diaqramları ilə göstərilə bilər. A - B-ni təmsil edən kölgəli sahə ilə.
- Venn diaqramından istifadə edərək üç dəst arasında əlaqə. Əgər ξ universal kəmiyyəti ifadə edirsə, onda A, B, C üç alt çoxluqdur. Burada hər üç dəst üst-üstə düşür.
Dəstə məlumatının ümumiləşdirilməsi
Bir çoxluğun kardinallığı dəstdəki ayrı-ayrı elementlərin ümumi sayı kimi müəyyən edilir. Və son göstərilən dəyər bütün alt çoxluqların sayı kimi təsvir edilir. Belə məsələləri öyrənərkən üsul, üsul və həll yolları tələb olunur. Beləliklə, dəstin kardinallığı üçün aşağıdakı nümunələr ola bilər:
Qoy A={0, 1, 2, 3}| |=4, burada | A | A dəstinin kardinallığını təmsil edir.
İndi enerji paketinizi tapa bilərsiniz. Bu da olduqca sadədir. Artıq deyildiyi kimi, güc dəsti verilmiş nömrənin bütün alt çoxluqlarından müəyyən edilir. Beləliklə, əsas olaraq A-nın bütün dəyişənlərini, elementlərini və digər dəyərlərini təyin etmək lazımdır,bunlar {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
İndi güc hesablaması P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 16 elementi olan 0, 1, 2, 3}}. Beləliklə, çoxluğun kardinallığı A=16. Aydındır ki, bu, bu problemin həlli üçün yorucu və çətin bir üsuldur. Bununla birlikdə, verilmiş bir nömrənin güc dəstindəki elementlərin sayını birbaşa bilə biləcəyiniz sadə bir düstur var. | P |=2 ^ N, burada N bəzi A-dakı elementlərin sayıdır. Bu düstur sadə kombinatorikadan istifadə etməklə əldə edilə bilər. Beləliklə, sual 2^11-dir, çünki A dəstindəki elementlərin sayı 11-dir.
Beləliklə, çoxluq istənilən mümkün obyekt ola bilən hər hansı ədədi ifadə edilən kəmiyyətdir. Məsələn, maşınlar, insanlar, nömrələr. Riyazi mənada bu anlayış daha geniş və ümumiləşdirilmişdir. Əgər ilkin mərhələlərdə onların həlli üçün nömrələr və variantlar sıralanırsa, orta və yuxarı mərhələlərdə şərtlər və vəzifələr mürəkkəbləşir. Əslində çoxluğun birləşməsinin kardinallığı obyektin hər hansı qrupa aid olması ilə müəyyən edilir. Yəni bir element sinfə aiddir, lakin bir və ya bir neçə dəyişənə malikdir.
