Məktəblilərin ən böyük çətinliklərin öhdəsindən gəldiyi riyaziyyat sahələrindən biri də triqonometriyadır. Təəccüblü deyil: bu bilik sahəsini sərbəst mənimsəmək üçün sizə fəza təfəkkürü, düsturlardan istifadə edərək sinusları, kosinusları, tangensləri, kotangentləri tapmaq, ifadələri sadələşdirmək və hesablamalarda pi sayından istifadə etmək bacarığı lazımdır. Bundan əlavə, teoremləri sübut edərkən triqonometriyanı tətbiq etməyi bacarmalısınız və bunun üçün ya inkişaf etmiş riyazi yaddaş, ya da mürəkkəb məntiqi zəncirləri çıxarmaq bacarığı tələb olunur.
Triqonometriyanın Mənşəyi
Bu elmə giriş bucağın sinusunun, kosinusunun və tangensinin tərifindən başlamalıdır, lakin əvvəlcə triqonometriyanın ümumiyyətlə nə etdiyini anlamaq lazımdır.
Tarixən düzbucaqlı üçbucaqlar riyaziyyat elminin bu bölməsində əsas tədqiqat obyekti olmuşdur. 90 dərəcə bir açının olması ikiyə imkan verən müxtəlif əməliyyatları həyata keçirməyə imkan verirtərəfləri və bir künc və ya iki künc və bir tərəfi, söz mövzusu rəqəmin bütün parametrlərinin dəyərlərini müəyyən etmək üçün. Keçmişdə insanlar bu nümunəni görüb binaların tikintisində, naviqasiyada, astronomiyada və hətta incəsənətdə fəal şəkildə istifadə etməyə başladılar.
Başlanğıc
İlk olaraq insanlar bucaqların və tərəflərin əlaqəsindən yalnız düzbucaqlı üçbucaqlar timsalında danışırdılar. Sonra riyaziyyatın bu bölməsinin gündəlik həyatda istifadə sərhədlərini genişləndirməyə imkan verən xüsusi düsturlar kəşf edildi.
Bu gün məktəbdə triqonometriyanın öyrənilməsi düzbucaqlı üçbucaqlardan başlayır, bundan sonra əldə olunan biliklər şagirdlər tərəfindən fizikada və abstrakt triqonometrik tənliklərin həllində istifadə olunur, onunla işləmək orta məktəbdə başlayır.
Sferik triqonometriya
Daha sonra elm növbəti inkişaf səviyyəsinə çatanda sinus, kosinus, tangens, kotangens olan düsturlar sferik həndəsədə istifadə olunmağa başladı, burada başqa qaydaların tətbiq olunduğu və üçbucağın bucaqlarının cəminin həmişə daha çox olduğu 180 dərəcədən çox. Bu bölmə məktəbdə öyrənilmir, lakin onun mövcudluğu haqqında bilmək lazımdır, ən azı ona görə ki, yerin səthi və hər hansı digər planetin səthi qabarıqdır, yəni səthin hər hansı bir işarəsi "qövsvari" olacaqdır. " üçölçülü məkanda.
Qlobus və ip götürün. İpi dünyanın istənilən iki nöqtəsinə bərkidin ki, dartılsın. Diqqət yetirin - o, qövs formasını alıb. Bu cür formalarla məşğul olurgeodeziya, astronomiya və digər nəzəri və tətbiqi sahələrdə istifadə edilən sferik həndəsə.
Düzbucaq
Triqonometriyadan istifadə yolları haqqında bir az öyrəndikdən sonra sinus, kosinus, tangensin nə olduğunu, onların köməyi ilə hansı hesablamaların aparıla biləcəyini və hansı düsturlardan istifadə olunacağını daha ətraflı başa düşmək üçün əsas triqonometriyaya qayıdaq.
İlk növbədə düz üçbucaqla bağlı anlayışları başa düşməlisiniz. Birincisi, hipotenuza 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfdir. O, ən uzundur. Xatırlayırıq ki, Pifaqor teoreminə görə onun ədədi dəyəri digər iki tərəfin kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir.
Məsələn, əgər iki tərəf müvafiq olaraq 3 və 4 santimetrdirsə, hipotenuzanın uzunluğu 5 santimetr olacaq. Yeri gəlmişkən, qədim misirlilər bunu təxminən dörd min yarım il əvvəl bilirdilər.
Düz bucaq təşkil edən qalan iki tərəfə ayaqlar deyilir. Bundan əlavə, düzbucaqlı koordinat sistemində üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcə olduğunu xatırlamalıyıq.
Tərif
Nəhayət, həndəsi bazanı yaxşı başa düşərək, bucağın sinusunun, kosinusunun və tangensinin tərifinə keçə bilərik.
Bucağın sinusu əks ayağın (yəni arzu olunan bucağa qarşı tərəfin) hipotenuzaya nisbətidir. Bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.
Unutmayın ki, nə sinus, nə də kosinus birdən böyük ola bilməz! Niyə?Çünki hipotenuza standart olaraq düzbucaqlı üçbucağın ən uzun tərəfidir. Ayağın nə qədər uzun olmasından asılı olmayaraq, hipotenuzdan daha qısa olacaq, yəni onların nisbəti həmişə birdən az olacaq. Beləliklə, problemin cavabında 1-dən çox dəyəri olan bir sinus və ya kosinus əldə etsəniz, hesablamalarda və ya əsaslandırmada səhv axtarın. Bu cavab açıq şəkildə səhvdir.
Nəhayət, bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir. Eyni nəticə sinusun kosinusla bölünməsini verəcəkdir. Baxın: düstura görə tərəfin uzunluğunu hipotenuzaya bölürük, bundan sonra ikinci tərəfin uzunluğuna bölürük və hipotenuzaya vururuq. Beləliklə, biz tangensin tərifində olduğu kimi eyni nisbəti əldə edirik.
Kotangent, müvafiq olaraq, küncə bitişik tərəfin əks tərəfə nisbətidir. Vahidi tangensə bölməklə eyni nəticəni əldə edirik.
Beləliklə, biz sinus, kosinus, tangens və kotangens nəyin təriflərini nəzərdən keçirdik və düsturlarla məşğul ola bilərik.
Sadə düsturlar
Triqonometriyada düsturlar olmadan etmək olmaz - onlarsız sinus, kosinus, tangens, kotangensi necə tapmaq olar? Lakin problemləri həll edərkən məhz bu tələb olunur.
Triqonometriyanı öyrənməyə başlayanda bilməli olduğunuz ilk düstur bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəminin birə bərabər olduğunu bildirir. Bu düstur Pifaqor teoreminin birbaşa nəticəsidir, lakin tərəfi deyil, bucağın qiymətini tapmaq lazım gələrsə, vaxta qənaət edir.
Bir çox tələbə ikinci düsturu da çox xatırlaya bilmirməktəb problemlərinin həllində məşhurdur: birinin cəmi və bucağın tangensinin kvadratı bucağın kosinusunun kvadratına bölünən birinə bərabərdir. Daha yaxından baxın: axı bu, birinci düsturdakı kimi eyni ifadədir, eyniliyin yalnız hər iki tərəfi kosinusun kvadratına bölündü. Belə çıxır ki, sadə riyazi əməliyyat triqonometrik düsturu tamamilə tanınmaz hala gətirir. Unutmayın: sinus, kosinus, tangens və kotangensin nə olduğunu, çevrilmə qaydalarını və bir neçə əsas düsturları bilməklə siz istənilən vaxt müstəqil olaraq bir kağız parçası üzərində daha mürəkkəb düsturları əldə edə bilərsiniz.
İkili bucaq düsturları və arqumentlərin əlavəsi
Öyrənmək üçün daha iki düstur bucaqların cəmi və fərqi üçün sinus və kosinus dəyərləri ilə bağlıdır. Onlar aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Nəzərə alın ki, birinci halda sinus və kosinus hər iki dəfə vurulur, ikinci halda isə sinus və kosinusun qoşa hasili əlavə edilir.
İki bucaq arqumentləri ilə əlaqəli düsturlar da var. Onlar tamamilə əvvəlkilərdən götürülüb - təcrübə olaraq, alfa bucağını beta bucağına bərabər götürərək, onları özünüz əldə etməyə çalışın.
Son olaraq qeyd edin ki, ikiqat bucaq düsturları sinus, kosinus, tangens alfa dərəcəsini az altmaq üçün çevrilə bilər.
Teoremlər
Əsas triqonometriyada iki əsas teorem sinus teoremi və kosinus teoremidir. Bu teoremlərin köməyi ilə sinus, kosinus və tangensi, deməli, fiqurun sahəsini və böyüklüyünü necə tapmaq lazım olduğunu asanlıqla başa düşə bilərsiniz.hər tərəf və s.
Sinus teoremində deyilir ki, üçbucağın hər tərəfinin uzunluğunu əks bucağın qiymətinə bölmək nəticəsində eyni ədədi alırıq. Üstəlik, bu ədəd məhdud dairənin iki radiusuna, yəni verilmiş üçbucağın bütün nöqtələrini ehtiva edən dairəyə bərabər olacaq.
Kosinus teoremi Pifaqor teoremini ümumiləşdirir və onu istənilən üçbucaqlara proyeksiya edir. Belə çıxır ki, iki tərəfin kvadratlarının cəmindən onlara bitişik bucağın ikiqat kosinusu ilə vurulan məhsulu çıxarın - nəticədə alınan dəyər üçüncü tərəfin kvadratına bərabər olacaqdır. Beləliklə, Pifaqor teoremi kosinus teoreminin xüsusi halı olur.
Diqqətsizlik üzündən səhvlər
Sinus, kosinus və tangensin nə olduğunu bilə-bilə, diqqətsizlik və ya ən sadə hesablamalardakı səhv səbəbindən səhv etmək asandır. Bu cür səhvlərdən qaçmaq üçün gəlin ən populyarlarına nəzər salaq.
İlk növbədə, yekun nəticəni əldə etməmişdən əvvəl ümumi kəsrləri ondalığa çevirməyin - şərtdə başqa cür göstərilmədiyi təqdirdə cavabı ümumi kəsr kimi tərk edə bilərsiniz. Belə bir çevrilmə səhv adlandırıla bilməz, lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, tapşırığın hər mərhələsində müəllifin fikrinə görə, azaldılmalı olan yeni köklər yarana bilər. Bu zaman gərəksiz riyazi əməliyyatlara vaxt itirəcəksiniz. Bu, xüsusilə üç və ya ikinin kökü kimi dəyərlər üçün doğrudur, çünki onlar hər addımda tapşırıqlarda olur. Eyni şey yuvarlaqlaşdırmaya da aiddir."Çirkin" rəqəmlər.
Sonra qeyd edək ki, kosinus teoremi istənilən üçbucağa aiddir, lakin Pifaqor teoreminə deyil! Əgər səhvən tərəflərin məhsulunu iki dəfə aralarındakı bucağın kosinusuna vurmağı unutsanız, nəinki tamamilə səhv nəticə əldə edəcəksiniz, həm də mövzunun tam anlaşılmadığını nümayiş etdirəcəksiniz. Bu, ehtiyatsızlıqdan daha pisdir.
Üçüncü, sinuslar, kosinuslar, tangenslər, kotangentlər üçün 30 və 60 dərəcə bucaqlar üçün dəyərləri qarışdırmayın. Bu dəyərləri xatırlayın, çünki 30 dərəcə sinus 60 kosinusuna bərabərdir və əksinə. Onları qarışdırmaq asandır və qaçılmaz olaraq səhv nəticə əldə edəcəksiniz.
Tətbiq
Bir çox tələbə triqonometriyanı öyrənməyə tələsmir, çünki onlar onun tətbiqi mənasını başa düşmürlər. Mühəndis və ya astronom üçün sinus, kosinus, tangens nədir? Bunlar uzaq ulduzlara olan məsafəni hesablaya biləcəyiniz, meteoritin düşməsini proqnozlaşdıra biləcəyiniz, başqa bir planetə tədqiqat zondu göndərə biləcəyiniz anlayışlardır. Onlarsız bina tikmək, avtomobili layihələndirmək, səthdəki yükü və ya obyektin trayektoriyasını hesablamaq mümkün deyil. Və bunlar ən bariz nümunələrdir! Axı bu və ya digər formada triqonometriya musiqidən tutmuş tibbə qədər hər yerdə istifadə olunur.
Sonda
Deməli, siz sinusun, kosinusun, tangensin nə olduğunu bilirsiniz. Siz onlardan hesablamalarda istifadə edə və məktəb problemlərini uğurla həll edə bilərsiniz.
Bütün məqamtriqonometriya üçbucağın məlum parametrlərinə görə bilinməyənləri hesablamaq lazım olduğuna qədər azaldılır. Ümumilikdə altı parametr var: üç tərəfin uzunluğu və üç bucağın böyüklüyü. Tapşırıqlardakı bütün fərq müxtəlif giriş məlumatlarının verilməsindədir.
Bacakların və ya hipotenuzanın məlum uzunluqlarına əsaslanaraq sinusu, kosinusu, tangensi necə tapmaq olar, indi bilirsiniz. Bu terminlər nisbətdən başqa bir şey ifadə etmədiyindən və nisbət kəsr olduğundan, triqonometrik məsələnin əsas məqsədi adi tənliyin və ya tənliklər sisteminin köklərini tapmaqdır. Və burada adi məktəb riyaziyyatı sizə kömək edəcək.
