Hər hansı piramidanın tipik xətti parametrləri onun əsasının kənarlarının uzunluqları, hündürlüyü, yan kənarları və apotemləridir. Buna baxmayaraq, qeyd olunan parametrlərlə əlaqəli başqa bir xüsusiyyət var - bu dihedral açıdır. Bunun nə olduğunu və necə tapılacağını məqalədə nəzərdən keçirin.
Məkan fiqurlu piramida
Hər bir tələbə "piramida" sözünü eşidəndə təhlükənin nə olduğu barədə yaxşı təsəvvürə malikdir. O, həndəsi şəkildə aşağıdakı kimi qurula bilər: müəyyən bir çoxbucaqlı seçin, sonra kosmosda bir nöqtəni düzəldin və onu poliqonun hər küncünə birləşdirin. Yaranan üç ölçülü rəqəm ixtiyari tipli bir piramida olacaq. Onu təşkil edən çoxbucaqlı əsas adlanır və onun bütün künclərinin birləşdirildiyi nöqtə fiqurun təpə nöqtəsidir. Aşağıdakı rəqəm sxematik olaraq beşbucaqlı piramidanı göstərir.
Onun səthinin təkcə beşbucaqlı deyil, həm də beş üçbucaqdan əmələ gəldiyini görmək olar. Ümumiyyətlə, bu üçbucaqların sayı ədədə bərabər olacaqçoxbucaqlı əsasın tərəfləri.
Şəklin dihedral bucaqları
Müstəvidə həndəsi məsələlərə baxıldıqda istənilən bucaq kəsişən iki düz xətt və ya seqmentdən əmələ gəlir. Kosmosda iki müstəvinin kəsişməsindən əmələ gələn bu xətti bucaqlara dihedral bucaqlar əlavə edilir.
Əgər fəzada bucağın işarələnmiş tərifi sözügedən fiqura tətbiq edilərsə, onda iki növ bucaqların olduğunu deyə bilərik:
- Ehramanın təməlində. Əsasın müstəvisi və hər hansı bir yan üz (üçbucaq) ilə formalaşır. Bu o deməkdir ki, piramidanın əsas bucaqları n-dir, burada n çoxbucaqlının tərəflərinin sayıdır.
- Tərəflər arasında (üçbucaqlar). Bu dihedral bucaqların sayı da n ədəddir.
Qeyd edək ki, nəzərdən keçirilən bucaqların birinci növü bazanın kənarlarında, ikinci növ isə yan kənarlarda qurulur.
Piramidanın bucaqlarını necə hesablamaq olar?
Dihedral bucağın xətti bucağı sonuncunun ölçüsüdür. Onu hesablamaq asan deyil, çünki piramidanın üzləri prizmanın üzlərindən fərqli olaraq ümumi halda düz bucaq altında kəsişmir. Ümumi formada müstəvi tənliklərindən istifadə edərək dihedral bucaqların qiymətlərini hesablamaq ən etibarlıdır.
Üçölçülü fəzada müstəvi aşağıdakı ifadə ilə verilir:
Ax + By + Cz + D=0
A, B, C, D bəzi real ədədlərdir. Bu tənliyin rahatlığı ondan ibarətdir ki, ilk üç işarələnmiş rəqəm vektorun koordinatlarıdır,verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan, yəni:
n¯=[A; B; C]
Müstəviyə aid üç nöqtənin koordinatları məlumdursa, bu nöqtələr üzərində qurulmuş iki vektorun vektor hasilini götürməklə n¯ koordinatlarını əldə etmək olar. n¯ vektoru təyyarə üçün bələdçi adlanır.
Tərifə görə, iki müstəvinin kəsişməsindən yaranan dihedral bucaq onların istiqamət vektorları arasındakı xətti bucağa bərabərdir. Tutaq ki, normal vektorları bərabər olan iki təyyarəmiz var:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Onlar arasında φ bucağı hesablamaq üçün skalyar hasil xassəsindən istifadə edə bilərsiniz, onda müvafiq düstur belə olur:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Və ya koordinat şəklində:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Gəlin həndəsi məsələləri həll edərkən dihedral bucaqların hesablanması üçün yuxarıdakı üsuldan necə istifadə edəcəyimizi göstərək.
Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın bucaqları
Fərz edək ki, düz piramida var, onun təməlində tərəfi 10 sm olan kvadrat var. Şəklin hündürlüyü12 sm. Piramidanın təməlində və onun tərəfləri üçün dihedral bucaqların nə olduğunu hesablamaq lazımdır.
Məsələnin şərtində verilən rəqəm düzgün olduğundan, yəni yüksək simmetriyaya malik olduğundan, əsasdakı bütün bucaqlar bir-birinə bərabərdir. Yan üzlərin yaratdığı bucaqlar da eynidir. Lazım olan dihedral bucaqları hesablamaq üçün əsas və iki yan təyyarə üçün istiqamət vektorlarını tapırıq. Baza tərəfinin uzunluğunu a hərfi və hündürlüyü h ilə işarələyin.
Yuxarıdakı şəkildə dördbucaqlı müntəzəm piramida göstərilir. Daxil edilmiş koordinat sisteminə uyğun olaraq A, B, C və D nöqtələrinin koordinatlarını yazaq:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
İndi biz yuxarıdakı paraqrafda təsvir edilən metoda uyğun olaraq ABC əsas müstəviləri və ABD və BCD iki tərəfi üçün istiqamət vektorlarını tapırıq:
ABC üçün:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD üçün:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD üçün:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
İndi φ bucağı üçün uyğun düstur tətbiq etmək və problem bəyanatından yan və hündürlük dəyərlərini əvəz etmək qalır:
ABC ilə arasındakı bucaqABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
ABD və BDC arasındakı bucaq:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Problemin şərti ilə tapılmalı olan bucaqların qiymətlərini hesabladıq. Məsələnin həllində əldə edilən düsturlardan istənilən a və h qiymətləri olan dördbucaqlı nizamlı piramidaların dihedral bucaqlarını təyin etmək üçün istifadə edilə bilər.
Üçbucaqlı nizamlı piramidanın bucaqları
Aşağıdakı şəkildə əsası düzgün üçbucaq olan piramida göstərilir. Məlumdur ki, tərəflər arasındakı dihedral bucaq düzgündür. Fiqurun hündürlüyünün 15 sm olduğu məlumdursa, təməlin sahəsini hesablamaq lazımdır.
90o-ə bərabər olan dihedral bucaq şəkildə ABC kimi işarələnmişdir. Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək problemi həll edə bilərsiniz, lakin bu halda biz bunu daha asan edəcəyik. Üçbucağın tərəfini a, fiqurun hündürlüyünü - h, apotema - hb və tərəfini qeyd edəkqabırğa - b. İndi aşağıdakı düsturları yaza bilərsiniz:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Piramidadakı iki yan üçbucaq eyni olduğundan, AB və CB tərəfləri bərabərdir və ABC üçbucağının ayaqlarıdır. Onların uzunluğunu x ilə işarə edək, onda:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Kənar üçbucaqların sahələrini bərabərləşdirib apotemi müvafiq ifadə ilə əvəz etməklə bizdə:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi aşağıdakı kimi hesablanır:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Problemin şərtindən hündürlük dəyərini əvəz edin, cavabı alırıq: S=584, 567 sm2.
