Matrisalar: Qauss üsulu. Gauss matrisinin hesablanması: Nümunələr

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 05:16

Universitetlərdə müxtəlif ixtisaslar üzrə tədris olunan xətti cəbr özündə bir çox mürəkkəb mövzuları birləşdirir. Onlardan bəziləri matrislərlə, eləcə də xətti tənliklər sistemlərinin Qauss və Gauss-Jordan üsulları ilə həlli ilə əlaqədardır. Bu mövzuları, müxtəlif məsələlərin həlli alqoritmlərini bütün tələbələr başa düşə bilmirlər. Gəlin Gauss və Gauss-Jordan matrislərini və üsullarını birlikdə anlayaq.

Əsas anlayışlar

Xətti cəbrdə matris elementlərdən ibarət düzbucaqlı massivdir (cədvəl). Aşağıda mötərizə içərisində verilmiş elementlər dəsti verilmişdir. Bunlar matrislərdir. Yuxarıdakı misaldan görmək olar ki, düzbucaqlı massivlərdəki elementlər təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil. Matris riyazi funksiyalardan, cəbri simvollardan ibarət ola bilər.

Bəzi anlayışları başa düşmək üçün a_ij elementlərindən A matrisini yaradaq. İndekslər sadəcə hərflər deyil: i cədvəldəki sətirin nömrəsi, j isə elementin kəsişdiyi ərazidəki sütunun nömrəsidir.a_ij. Beləliklə, biz görürük ki, a₁₁, a₂₁, a₁₂, a kimi elementlər matrisi var. ₂₂ və s.. n hərfi sütunların sayını, m hərfi isə sətirlərin sayını bildirir. m × n simvolu matrisin ölçüsünü bildirir. Bu, düzbucaqlı elementlər massivində sətir və sütunların sayını müəyyən edən konsepsiyadır.

İstəyə görə, matrisin bir neçə sütun və sətri olmalıdır. 1 × n ölçüsü ilə elementlər massivi bir sıra, m × 1 ölçüsü ilə isə tək sütunlu massivdir. Satırların sayı və sütunların sayı bərabər olduqda, matris kvadrat adlanır. Hər kvadrat matrisin müəyyənedicisi var (det A). Bu termin A matrisinə təyin edilmiş nömrəyə aiddir.

Matrisaları uğurla həll etmək üçün yadda saxlamaq lazım olan daha bir neçə vacib anlayış əsas və ikinci dərəcəli diaqonallardır. Matrisin əsas diaqonalı yuxarı sol küncdən cədvəlin sağ küncünə enən diaqonaldır. Yan diaqonal aşağıdan sol küncdən yuxarı sağ küncə keçir.

Addımlı matris görünüşü

Aşağıdakı şəklə baxın. Bunun üzərində bir matris və diaqram görəcəksiniz. Əvvəlcə matrislə məşğul olaq. Xətti cəbrdə bu cür matrisa pilləli matris deyilir. Onun bir xassəsi var: əgər a_ij i-ci cərgədə sıfırdan fərqli ilk elementdirsə, o zaman a_{ij matrisinin aşağıdakı və solundakı bütün digər elementlər} , boşdur (yəni a_kl hərf təyinatı verilə bilən bütün elementlər, burada k>i vəl<j).

İndi diaqramı nəzərdən keçirin. Matrisin pilləli formasını əks etdirir. Sxemdə 3 növ hüceyrə göstərilir. Hər növ müəyyən elementləri bildirir:

boş xanalar - matrisin sıfır elementi;
kölgələnmiş xanalar həm sıfır, həm də sıfır ola bilən ixtiyari elementlərdir;
qara kvadratlar sıfırdan fərqli elementlərdir, onlara künc elementləri, “addımlar” deyilir (onların yanında göstərilən matrisdə belə elementlər –1, 5, 3, 8 rəqəmləridir).

Matrisləri həll edərkən bəzən nəticədə addımın "uzunluğu" 1-dən böyük olur. Buna icazə verilir. Yalnız addımların "hündürlüyü" vacibdir. Addım matrisində bu parametr həmişə birinə bərabər olmalıdır.

Matrisin addım formasına endirilməsi

İstənilən düzbucaqlı matris pilləli formaya çevrilə bilər. Bu elementar transformasiyalar vasitəsilə həyata keçirilir. Bunlara daxildir:

sətirlərin yenidən təşkili;
Bir sətirə başqa sətir əlavə etmək, lazım gələrsə, hansısa ədədə vurulur (çıxma əməliyyatı da edə bilərsiniz).

Gəlin konkret problemin həllində elementar çevrilmələri nəzərdən keçirək. Aşağıdakı rəqəm pilləli formaya salınmalı olan A matrisini göstərir.

Matrisin pilləli formaya endirilməsi problemi

Problemi həll etmək üçün biz alqoritmə əməl edəcəyik:

Matrisa üzərində transformasiyaları yerinə yetirmək rahatdıryuxarı sol küncdəki ilk element (yəni, "aparıcı" element) 1 və ya -1-dir. Bizim vəziyyətimizdə yuxarı cərgədəki ilk element 2-dir, ona görə də birinci və ikinci sətirləri dəyişdirək.
2, 3 və 4-cü sətirlərə təsir edən çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirək. "Aparıcı" elementin altındakı birinci sütunda sıfır almalıyıq. Bu nəticəyə nail olmaq üçün: 2-ci sətirin elementlərindən ardıcıl olaraq 1-ci sətrin elementlərini 2-yə vururuq; 3-cü sətrin elementlərindən ardıcıl olaraq 1-ci sətirin elementlərini 4-ə vururuq; 4-cü sətirin elementlərindən ardıcıl olaraq 1-ci sətirin elementlərini çıxarırıq.
Sonra, biz kəsilmiş matrislə işləyəcəyik (sütun №1 və sətir №1). İkinci sütunla ikinci sıranın kəsişməsində dayanan yeni "aparıcı" element -1-ə bərabərdir. Sətirləri yenidən təşkil etməyə ehtiyac yoxdur, buna görə də birinci sütunu və birinci və ikinci sətirləri dəyişmədən yenidən yazırıq. “Aparıcı” elementin altında ikinci sütunda sıfırları əldə etmək üçün çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirək: üçüncü sətrin elementlərindən ardıcıl olaraq ikinci sətrin elementlərini 3-ə vururuq; dördüncü sətrin elementlərindən 2-yə vurulan ikinci sətrin elementlərini çıxarın.
Son sətri dəyişmək qalır. Onun elementlərindən ardıcıl olaraq üçüncü sıranın elementlərini çıxarırıq. Beləliklə, pilləli matris əldə etdik.

Matrisaların pilləli formaya endirilməsi Gauss üsulu ilə xətti tənliklər sistemlərinin (SLE) həllində istifadə olunur. Bu üsula nəzər salmazdan əvvəl gəlin SLN ilə əlaqəli bəzi terminləri anlayaq.

Matrisalar və xətti tənliklər sistemləri

Matrislər müxtəlif elmlərdə istifadə olunur. Rəqəm cədvəllərindən istifadə edərək, məsələn, Gauss metodundan istifadə edərək bir sistemə birləşdirilən xətti tənlikləri həll edə bilərsiniz. Əvvəlcə bir neçə termin və onların tərifləri ilə tanış olaq, həmçinin bir neçə xətti tənliyi birləşdirən sistemdən matrisin necə əmələ gəldiyinə baxaq.

SLU – ilk gücü naməlum olan və hasil şərtləri olmayan bir neçə birləşmiş cəbri tənliklər.

SLE həlli – sistemdəki tənliklərin eyniliyə çevrildiyi naməlumların tapılmış dəyərləri.

Birgə SLE ən azı bir həlli olan tənliklər sistemidir.

Uyğunsuz SLE həlli olmayan tənliklər sistemidir.

Xətti tənlikləri birləşdirən sistem əsasında matris necə qurulur? Sistemin əsas və genişləndirilmiş matrisləri kimi anlayışlar var. Sistemin əsas matrisini əldə etmək üçün naməlumlar üçün bütün əmsalları cədvələ qoymaq lazımdır. Genişləndirilmiş matris əsas matrisə sərbəst şərtlər sütunu əlavə etməklə əldə edilir (buraya sistemdəki hər bir tənliyin bərabərləşdirildiyi məlum elementlər daxildir). Aşağıdakı şəkli öyrənməklə bütün bu prosesi başa düşə bilərsiniz.

Şəkildə gördüyümüz ilk şey xətti tənlikləri ehtiva edən sistemdir. Onun elementləri: a_ij – ədədi əmsallar, x_j – naməlum qiymətlər, b_i – sabit şərtlər (burada i=1, 2, …, m və j=1, 2, …, n). Şəkildəki ikinci element əmsalların əsas matrisidir. Hər bir tənlikdən əmsallar ardıcıl olaraq yazılır. Nəticə olaraq, sistemdə tənliklərin sayı qədər matrisdə cərgə var. Sütunların sayı istənilən tənlikdə ən çox əmsal sayına bərabərdir. Şəkildəki üçüncü element sərbəst şərtlər sütunu ilə artırılmış matrisdir.

Qauss metodu haqqında ümumi məlumat

Xətti cəbrdə Gauss metodu SLE-nin həllinin klassik üsuludur. 18-19-cu əsrlərdə yaşamış Karl Fridrix Qaussun adını daşıyır. Bu, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biridir. Qauss metodunun mahiyyəti xətti cəbri tənliklər sistemi üzərində elementar çevrilmələrin aparılmasıdır. Transformasiyaların köməyi ilə SLE bütün dəyişənlərin tapıla biləcəyi üçbucaqlı (pilləli) formanın ekvivalent sisteminə endirilir.

Qeyd etmək lazımdır ki, Karl Fridrix Qauss xətti tənliklər sisteminin klassik həlli metodunun kəşfçisi deyil. Metod çox əvvəllər icad edilmişdir. Onun ilk təsviri qədim Çin riyaziyyatçılarının "Riyaziyyat 9 kitabda" adlı ensiklopediyasında tapılıb.

SLE-nin Gauss metodu ilə həllinə nümunə

Sistemlərin Qauss üsulu ilə həllini konkret misal üzərində nəzərdən keçirək. Şəkildə göstərilən SLU ilə işləyəcəyik.

Həll alqoritmi:

Biz Gauss metodunun birbaşa hərəkəti ilə sistemi pilləli formaya endirərik, lakin əvvəlcəbiz ədədi əmsallardan və pulsuz üzvlərdən ibarət genişləndirilmiş matrisa yaradacağıq.
Qauss metodundan istifadə edərək matrisi həll etmək üçün (yəni onu pilləli formaya gətirin) ikinci və üçüncü cərgələrin elementlərindən ardıcıl olaraq birinci cərgənin elementlərini çıxarırıq. "Aparıcı" elementin altındakı birinci sütunda sıfırları alırıq. Sonra, rahatlıq üçün yerlərdə ikinci və üçüncü sətirləri dəyişdirəcəyik. Sonuncu cərgənin elementlərinə ardıcıl olaraq ikinci cərgənin elementlərini 3-ə əlavə edin.
Matrisin Qauss üsulu ilə hesablanması nəticəsində biz elementlərin pilləli massivi əldə etdik. Onun əsasında yeni xətti tənliklər sistemi quracağıq. Gauss metodunun tərs kursu ilə naməlum şərtlərin qiymətlərini tapırıq. Son xətti tənlikdən görünür ki, x₃ 1-ə bərabərdir. Biz bu dəyəri sistemin ikinci sətrində əvəz edirik. Siz x₂ – 4=–4 tənliyini alırsınız. Buradan belə çıxır ki, x₂ 0-a bərabərdir. Sistemin birinci tənliyində x₂ və x₃ əvəz edin: x1 _{+ 0 +3=2. Naməlum termin -1-dir.}

Cavab: matrisdən, Qauss metodundan istifadə edərək naməlumların qiymətlərini tapdıq; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan metodu

Xətti cəbrdə Gauss-Jordan metodu kimi bir şey də var. O, Qauss metodunun modifikasiyası hesab olunur və tərs matrisin tapılmasında, cəbri xətti tənliklərin kvadrat sistemlərinin naməlum şərtlərinin hesablanmasında istifadə olunur. Gauss-Jordan metodu rahatdır ki, SLE-ni bir mərhələdə həll etməyə imkan verir (birbaşa və tərs istifadə etmədən)hərəkət edir).

Gəlin "tərs matris" termini ilə başlayaq. Tutaq ki, bizdə A matrisi var. Bunun tərsi A^-1 matrisi olacaq, halbuki şərt mütləq ödənilir: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, yəni bu matrislərin hasili eynilik matrisinə bərabərdir (identifikasiya matrisinin əsas diaqonalının elementləri birdir, qalan elementlər isə sıfırdır).}

Vacib bir nüans: xətti cəbrdə tərs matrisin mövcudluğu haqqında teorem var. A^-1 matrisinin mövcudluğu üçün kifayət və zəruri şərt A matrisinin qeyri-tək olmasıdır.

Qauss-Jordan metodunun əsaslandığı əsas addımlar:

Müəyyən matrisin birinci sırasına baxın. Əgər birinci qiymət sıfıra bərabər deyilsə, Gauss-Jordan metodu işə salına bilər. Əgər birinci yer 0-dırsa, o zaman cərgələri elə dəyişdirin ki, birinci element sıfırdan fərqli dəyərə malik olsun (rəqəmin birinə yaxın olması arzu edilir).
Birinci sıranın bütün elementlərini birinci rəqəmə bölün. Siz bir ilə başlayan sətirlə bitəcəksiniz.
İkinci sətirdən ikinci sətrin birinci elementinə vurulan birinci sətri çıxın, yəni sonda sıfırdan başlayan bir xətt alacaqsınız. Qalan xətlər üçün də eyni şeyi edin. Diaqonal olaraq 1 almaq üçün hər sətri sıfırdan fərqli ilk elementinə bölün.
Nəticədə Gauss - Jordan metodundan istifadə edərək yuxarı üçbucaqlı matrisi əldə edəcəksiniz. Burada əsas diaqonal vahidlərlə təmsil olunur. Aşağı künc sıfırlarla doldurulur vəyuxarı künc - müxtəlif dəyərlər.
Sondan əvvəlki sətirdən tələb olunan əmsala vurulan sonuncu sətri çıxın. Sıfır və bir sətir almalısınız. Qalan sətirlər üçün eyni hərəkəti təkrarlayın. Bütün çevrilmələrdən sonra şəxsiyyət matrisi əldə ediləcək.

Qauss-Jordan metodundan istifadə edərək tərs matrisin tapılması nümunəsi

Ters matrisi hesablamaq üçün artırılmış A|E matrisini yazmaq və lazımi çevrilmələri yerinə yetirmək lazımdır. Sadə bir misala baxaq. Aşağıdakı şəkildə A matrisi göstərilir.

Həll:

İlk olaraq Qauss metodundan istifadə edərək matrisin determinantını tapaq (det A). Əgər bu parametr sıfıra bərabər deyilsə, onda matris qeyri-sinqulyar hesab olunacaq. Bu, A-nın mütləq A^-1 olması qənaətinə gəlməyə imkan verəcək. Determinantı hesablamaq üçün matrisi elementar çevrilmələrlə mərhələli formaya çeviririk. Gəlin K ədədini sıra dəyişmələrinin sayına bərabər sayaq. Cəmi 1 dəfə xətləri dəyişdik. Determinantı hesablayaq. Onun dəyəri (–1)^K ilə vurulan əsas diaqonalın elementlərinin hasilinə bərabər olacaq. Hesablama nəticəsi: det A=2.
İdentifikasiya matrisini orijinal matrisə əlavə etməklə artırılmış matrisi tərtib edin. Alınan elementlər massivi Gauss-Jordan metodu ilə tərs matrisi tapmaq üçün istifadə olunacaq.
Birinci sıradakı ilk element birinə bərabərdir. Bu, bizə uyğundur, çünki xətləri yenidən düzəltməyə və verilmiş xətti müəyyən sayda bölməyə ehtiyac yoxdur. Gəlin işə başlayaqikinci və üçüncü sətirlərlə. İkinci sətirdəki birinci elementi 0-a çevirmək üçün ikinci cərgədən 3-ə vurulmuş birinci cərgəni çıxarın. Üçüncü cərgədən birinci cərgəni çıxarın (vurma tələb olunmur).
Nəticədə matrisdə ikinci cərgənin ikinci elementi -4, üçüncü sıranın ikinci elementi isə -1-dir. Rahatlıq üçün xətləri dəyişdirək. Üçüncü sıradan 4-ə vurulan ikinci cərgəni çıxarın. İkinci cərgəni -1-ə, üçüncü sıranı 2-yə bölün. Üst üçbucaqlı matrisi alırıq.
İkinci sətirdən 4-ə vurulan axırıncı sətri birinci sətirdən 5-ə vurulan sonuncu sətri çıxaq. Sonra birinci sətirdən 2-yə vurulan ikinci sətri çıxaraq. Sol tərəfdə əldə etdik. şəxsiyyət matrisi. Sağda tərs matrisdir.

SLE-nin Gauss-Jordan metodu ilə həlli nümunəsi

Şəkil xətti tənliklər sistemini göstərir. Gauss-Jordan metodundan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin qiymətlərini tapmaq tələb olunur.

Həll:

Gəlin artırılmış matris yaradaq. Bunun üçün əmsalları və sərbəst şərtləri cədvələ qoyacağıq.
Matrisi Gauss-Jordan metodundan istifadə edərək həll edin. 2-ci sətirdən 1-ci sətri çıxırıq. 3-cü sətirdən əvvəllər 2-yə vurulmuş 1-ci sətri çıxarırıq.
2 və 3-cü sətirləri dəyişin.
3-cü sətirdən 2-ci sətri çıxın 2-yə çarpın. Nəticədə üçüncü sətri –1-ə bölün.
2-ci sətirdən 3-cü sətri çıxarın.
1-ci sətirdən 1-ci sətri çıxarın2 dəfə -1. Yan tərəfdə 0, 1 və -1 nömrələrindən ibarət bir sütun aldıq. Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, x₁=0, x₂=1 və x₃ =–1.

İstəsəniz, hesablanmış dəyərləri tənliklərdə əvəz etməklə həllin düzgünlüyünü yoxlaya bilərsiniz:

0 – 1=–1, sistemdən ilk identifikasiya düzgündür;
0 + 1 + (–1)=0, sistemdən ikinci eynilik doğrudur;
0 – 1 + (–1)=–2, sistemdən üçüncü identifikasiya düzgündür.

Nəticə: Gauss-Jordan metodundan istifadə edərək, xətti cəbri tənlikləri birləşdirən kvadratik sistemin düzgün həllini tapdıq.

Onlayn kalkulyatorlar

Universitetlərdə oxuyan və xətti cəbri öyrənən müasir gənclərin həyatı xeyli sadələşdirilib. Bir neçə il əvvəl biz öz gücümüzlə Gauss və Gauss-Jordan metodundan istifadə edərək sistemlərin həlli yollarını tapmalı olduq. Bəzi tələbələr tapşırıqların öhdəsindən uğurla gəldi, bəziləri həllində çaşqın oldu, səhvlər etdi, sinif yoldaşlarından kömək istədi. Bu gün ev tapşırıqlarını yerinə yetirərkən onlayn kalkulyatorlardan istifadə edə bilərsiniz. Xətti tənliklər sistemlərini həll etmək, tərs matrisləri axtarmaq üçün təkcə düzgün cavabları deyil, həm də konkret məsələnin həllinin gedişatını göstərən proqramlar yazılmışdır.

İnternetdə daxili onlayn kalkulyatorları olan bir çox resurs var. Qauss matrisləri, tənliklər sistemləri bu proqramlar vasitəsilə bir neçə saniyə ərzində həll edilir. Tələbələr yalnız tələb olunan parametrləri (məsələn, tənliklərin sayı,dəyişənlərin sayı).