Həndəsədə fiqurları öyrənmək üçün iki mühüm xüsusiyyətdən istifadə olunur: tərəflərin uzunluqları və aralarındakı bucaqlar. Məkan fiqurları vəziyyətində bu xüsusiyyətlərə dihedral bucaqlar əlavə olunur. Gəlin bunun nə olduğunu nəzərdən keçirək, həmçinin piramida nümunəsindən istifadə edərək bu bucaqları təyin etmək üsulunu təsvir edək.
Dihedral bucaq anlayışı
Hər kəs bilir ki, kəsişən iki xəttin kəsişmə nöqtəsində təpə ilə bucaq əmələ gətirir. Bu bucaq iletki ilə ölçülə bilər və ya onu hesablamaq üçün triqonometrik funksiyalardan istifadə edə bilərsiniz. İki düz bucağın əmələ gətirdiyi bucaq xətti adlanır.
İndi təsəvvür edin ki, üçölçülü fəzada düz xəttlə kəsişən iki müstəvi var. Onlar şəkildə göstərilib.
Dihedral bucaq iki kəsişən müstəvi arasındakı bucaqdır. Xətti kimi, dərəcə və ya radyanla ölçülür. Təyyarələrin kəsişdiyi xəttin hər hansı bir nöqtəsinə iki perpendikulyar bərpa edin,bu müstəvilərdə yatarkən, aralarındakı bucaq istədiyiniz dihedral olacaqdır. Bu bucağı təyin etməyin ən asan yolu təyyarələrin ümumi tənliklərindən istifadə etməkdir.
Müyyarların tənliyi və onlar arasındakı bucaq düsturu
Kosmosda istənilən müstəvi tənliyi ümumi olaraq aşağıdakı kimi yazılır:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Burada x, y, z müstəviyə aid nöqtələrin koordinatları, A, B, C, D əmsalları bəzi məlum ədədlərdir. Bu bərabərliyin dihedral bucaqların hesablanması üçün rahatlığı ondan ibarətdir ki, müstəvinin istiqamət vektorunun koordinatlarını açıq şəkildə ehtiva edir. Biz onu n¯ ilə işarə edəcəyik. Sonra:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ müstəviyə perpendikulyardır. İki təyyarə arasındakı bucaq onların n1¯ və n2¯ istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir. Riyaziyyatdan məlumdur ki, iki vektorun əmələ gətirdiyi bucaq onların skalyar hasilindən unikal şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki müstəvi arasında dihedral bucağı hesablamaq üçün düstur yazmağa imkan verir:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Vektorların koordinatlarını əvəz etsək, düstur açıq şəkildə yazılacaq:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Saydırıcıdakı modul işarəsi yalnız kəskin bucağı təyin etmək üçün istifadə olunur, çünki dihedral bucaq həmişə 90o-dən kiçik və ya ona bərabərdir.
Piramida və onun küncləri
Piramida bir n-bucaqlı və n üçbucaqdan əmələ gələn fiqurdur. Burada n piramidanın əsası olan çoxbucaqlının tərəflərinin sayına bərabər tam ədəddir. Bu məkan fiqur çoxüzlü və ya çoxüzlüdür, çünki düz üzlərdən (yanlardan) ibarətdir.
Piramida-polihedronun dihedral bucaqları iki növ ola bilər:
- əsas və yan arasında (üçbucaq);
- iki tərəf arasında.
Əgər piramida nizamlı hesab edilirsə, onun üçün adlandırılmış bucaqları müəyyən etmək asandır. Bunun üçün məlum olan üç nöqtənin koordinatlarından istifadə edərək müstəvilərin tənliyini tərtib etməli və sonra φ bucağı üçün yuxarıdakı paraqrafda verilmiş düsturdan istifadə edilməlidir.
Aşağıda dördbucaqlı nizamlı piramidanın əsasında dihedral bucaqları necə tapacağımızı göstərən bir nümunə veririk.
Dördbucaqlı müntəzəm piramida və onun əsasında bucaq
Fərz edək ki, bazası kvadrat olan müntəzəm piramida verilmişdir. Kvadratın tərəfinin uzunluğu a, fiqurun hündürlüyü h-dir. Piramidanın əsası ilə tərəfi arasındakı bucağı tapın.
Koordinat sisteminin başlanğıcını kvadratın mərkəzinə yerləşdirək. Sonra nöqtələrin koordinatlarıŞəkildə göstərilən A, B, C, D olacaq:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
ACB və ADB təyyarələrini nəzərdən keçirək. Aydındır ki, ACB müstəvisi üçün n1¯ istiqamət vektoru belə olacaq:
1¯=(0; 0; 1).
ADB müstəvisinin n2¯ istiqamət vektorunu təyin etmək üçün aşağıdakı kimi hərəkət edin: ona aid olan iki ixtiyari vektoru tapın, məsələn, AD¯ və AB¯, sonra vektor işini hesablayın. Onun nəticəsi n2¯ koordinatlarını verəcəkdir. Bizdə:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Vektorun ədədə vurulması və bölünməsi onun istiqamətini dəyişmədiyinə görə, nəticədə n2¯-ni çevirərək onun koordinatlarını -a-a böldükdən sonra əldə edirik:
2¯=(h; 0; a/2).
ACB bazası və ADB yan təyyarələri üçün n1¯ və n2¯ vektor bələdçilərini müəyyən etdik. φ bucağı üçün düsturdan istifadə etmək qalır:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arkkos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Nəticədə ifadəni çevirin və bu şəkildə yenidən yazın:
φ=arkkos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Müntəzəm dördbucaqlı piramida üçün bazada ikihedral bucaq üçün düstur əldə etdik. Fiqurun hündürlüyünü və tərəfinin uzunluğunu bilərək, φ bucağını hesablaya bilərsiniz. Məsələn, əsas tərəfi 230,4 metr və ilkin hündürlüyü 146,5 metr olan Xeops piramidası üçün φ bucağı 51,8o olacaq.
Dördbucaqlı nizamlı piramida üçün həndəsi üsulla dihedral bucağı təyin etmək də mümkündür. Bunun üçün hündürlüyü h, bünövrənin yarısı uzunluğunun a/2 və ikitərəfli üçbucağın apotemindən əmələ gələn düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirmək kifayətdir.
