Fırlanma hərəkətinin riyazi təsvirində sistemin ox haqqında ətalət momentini bilmək vacibdir. Ümumi halda bu kəmiyyətin tapılması proseduru inteqrasiya prosesinin həyata keçirilməsini nəzərdə tutur. Steiner teoremi adlanan teoremi hesablamağı asanlaşdırır. Bunu məqalədə daha ətraflı nəzərdən keçirək.
Ətalət anı nədir?
Ştayner teoreminin tərtibini verməzdən əvvəl ətalət momenti anlayışının özü ilə məşğul olmaq lazımdır. Tutaq ki, müəyyən bir kütlə və ixtiyari formada bir cisim var. Bu cisim ya maddi nöqtə, ya da hər hansı iki ölçülü və ya üç ölçülü obyekt (çubuq, silindr, top və s.) ola bilər. Sözügedən obyekt sabit bucaq sürəti α olan hansısa ox ətrafında dairəvi hərəkət edirsə, onda aşağıdakı tənlik yazıla bilər:
M=Iα
Burada M dəyəri qüvvələrin ümumi momentini təmsil edir və bu, bütün sistemə α sürətlənməsini verir. Aralarındakı mütənasiblik əmsalı - I, adlanırətalət anı. Bu fiziki kəmiyyət aşağıdakı ümumi düsturla hesablanır:
I=∫m (r2dm)
Burada r kütləsi dm olan element ilə fırlanma oxu arasındakı məsafədir. Bu ifadə o deməkdir ki, r2 kvadrat məsafələrinin hasillərinin cəmini və elementar kütlə dm-ni tapmaq lazımdır. Yəni ətalət anı cismin onu xətti ətalətdən fərqləndirən xalis xüsusiyyəti deyil. Bu, fırlanan cisim boyunca kütlənin paylanmasından, eləcə də oxa olan məsafədən və bədənin ona nisbətən oriyentasiyasından asılıdır. Məsələn, çubuq kütlə mərkəzi və uc ətrafında fırlanırsa, fərqli I olacaq.
Ətalət anı və Ştayner teoremi
Məşhur İsveçrə riyaziyyatçısı Yakob Ştayner paralel oxlar haqqında teoremi və indi onun adını daşıyan ətalət momentini sübut etdi. Bu teorem müəyyən bir fırlanma oxuna nisbətən ixtiyari həndəsənin mütləq hər hansı bir sərt cismi üçün ətalət momentinin cismin kütlə mərkəzini kəsən və birinciyə paralel olan ox haqqında ətalət momentinin cəminə bərabər olduğunu irəli sürür., və bədən kütləsinin hasilini bu oxlar arasındakı məsafənin kvadratına çarpdırır. Riyazi olaraq bu formula aşağıdakı kimi yazılır:
IZ=IO + ml2
IZ və IO - keçən Z oxuna və ona paralel O oxuna aid ətalət anları bədənin kütlə mərkəzi vasitəsilə, l - Z və O xətləri arasındakı məsafə.
Teorem IO dəyərini bilməklə hesablamağa imkan verirhər hansı digər an O ilə paralel olan ox haqqında Z.
Teoremin sübutu
Ştayner teorem düsturunu özünüz asanlıqla əldə edə bilərsiniz. Bunun üçün xy müstəvisində ixtiyari cismi nəzərdən keçirək. Koordinatların başlanğıcı bu cismin kütlə mərkəzindən keçsin. xy müstəvisinə perpendikulyar başlanğıcdan keçən IO ətalət momentini hesablayaq. Bədənin hər hansı bir nöqtəsinə qədər olan məsafə r=√ (x2 + y2) düsturu ilə ifadə edildiyi üçün inteqralı alırıq:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
İndi oxunu x oxu boyunca paralel l məsafəsi ilə, məsələn, müsbət istiqamətdə hərəkət etdirək, onda ətalət anının yeni oxu üçün hesablama belə görünəcək:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Mötərizədə tam kvadratı genişləndirin və inteqralları bölün, əldə edirik:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Bu şərtlərdən birincisi IO dəyəridir, üçüncü termin inteqrasiyadan sonra l2m terminini verir, və burada ikinci termin sıfırdır. Göstərilən inteqralın sıfırlanması onun x və dm kütlə elementlərinin hasilindən götürülməsi ilə bağlıdır ki, bu daorta sıfır verir, çünki kütlə mərkəzi başlanğıcdadır. Nəticədə Ştayner teoreminin düsturu alınır.
Təyyarədə nəzərdən keçirilən hal üçölçülü bədən üçün ümumiləşdirilə bilər.
Çubuq nümunəsində Ştayner düsturunun yoxlanılması
Yuxarıdakı teoremdən necə istifadə olunacağını nümayiş etdirmək üçün sadə bir misal verək.
Məlumdur ki, uzunluğu L və kütləsi m olan çubuq üçün ətalət momenti IO (ox kütlənin mərkəzindən keçir) m-ə bərabərdir. L2 /12 və IZ (ox çubuqun ucundan keçir) anı mL-ə bərabərdir 2/3. Ştayner teoremindən istifadə edərək bu məlumatları yoxlayaq. İki ox arasındakı məsafə L/2 olduğundan, biz anı əldə edirik IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Yəni, biz Ştayner düsturunu yoxladıq və mənbədəki kimi IZ üçün eyni dəyəri aldıq.
Oxşar hesablamalar digər cisimlər (silindr, top, disk) üçün lazımi ətalət anlarını əldə etməklə və inteqrasiya etmədən də aparıla bilər.
Ətalət anı və perpendikulyar oxlar
Baxılan teorem paralel oxlara aiddir. Məlumatın tamlığı üçün perpendikulyar oxlar üçün teorem vermək də faydalıdır. Aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: ixtiyari formalı düz bir cisim üçün ona perpendikulyar olan ox ətrafında ətalət anı iki qarşılıqlı perpendikulyar və yatan iki ətalət anının cəminə bərabər olacaqdır.b altalar obyektinin müstəvisində, hər üç ox eyni nöqtədən keçir. Riyazi olaraq bu belə yazılır:
Iz=Ix + Iy
Burada z, x, y üç qarşılıqlı perpendikulyar fırlanma oxudur.
Bu teoremlə Ştayner teoremi arasındakı əsas fərq ondan ibarətdir ki, o, yalnız düz (iki ölçülü) bərk cisimlərə şamil edilir. Buna baxmayaraq, praktikada bədəni zehni olaraq ayrı-ayrı təbəqələrə kəsərək və sonra əldə edilmiş ətalət anlarını əlavə edərək geniş istifadə olunur.
