Polyhedra hətta qədim zamanlarda riyaziyyatçıların və alimlərin diqqətini cəlb edirdi. Misirlilər piramidaları tikdilər. Yunanlar isə "müntəzəm çoxyüzlüləri" öyrəndilər. Onlara bəzən Platonik bərk cisimlər deyilir. "Ənənəvi polihedra" düz üzlərdən, düz kənarlardan və təpələrdən ibarətdir. Ancaq əsas sual həmişə bu ayrı-ayrı hissələrin hansı qaydaları yerinə yetirməli olduğu, eləcə də bir cismin çoxüzlü olması üçün hansı əlavə qlobal şərtlərin yerinə yetirilməli olduğu olub. Bu sualın cavabı məqalədə təqdim olunacaq.
Tərifdə problemlər
Bu rəqəm nədən ibarətdir? Polihedron düz üzləri və düz kənarları olan qapalı bərk formadır. Buna görə də, onun tərifinin ilk problemini dəqiq şəkildə fiqurun tərəfləri adlandırmaq olar. Təyyarələrdə uzanan bütün üzlər həmişə çoxbucaqlının əlaməti deyil. Nümunə olaraq "üçbucaqlı silindr"i götürək. Nədən ibarətdir? Səthinin bir hissəsi üç cütdürkəsişən şaquli müstəviləri çoxbucaqlı hesab etmək olmaz. Səbəb onun təpələrinin olmamasıdır. Belə bir fiqurun səthi bir nöqtədə görüşən üç şüa əsasında formalaşır.
Daha bir problem - təyyarələr. "Üçbucaqlı silindr" vəziyyətində, onların qeyri-məhdud hissələrində yerləşir. Çoxluğun hər hansı iki nöqtəsini birləşdirən xətt seqmenti də onun içindədirsə, fiqur qabarıq sayılır. Onların mühüm xüsusiyyətlərindən birini təqdim edək. Qabarıq çoxluqlar üçün çoxluq üçün ümumi nöqtələr çoxluğunun eyni olmasıdır. Başqa cür rəqəmlər var. Bunlar çentikləri və ya deşikləri olan qeyri-qabarıq 2D polihedralardır.
Çoxüzlü olmayan formalar
Nöqtələrin düz dəsti fərqli ola bilər (məsələn, qabarıq olmayan) və çoxüzlülərin adi tərifinə uyğun gəlmir. Onun vasitəsilə belə, xətlərin bölmələri ilə məhdudlaşır. Qabarıq çoxbucaqlının xətləri qabarıq fiqurlardan ibarətdir. Lakin tərifə bu yanaşma sonsuzluğa gedən rəqəmi istisna edir. Buna misal olaraq eyni nöqtədə görüşməyən üç şüa ola bilər. Ancaq eyni zamanda, onlar başqa bir fiqurun təpələri ilə əlaqələndirilir. Ənənəvi olaraq, polihedron üçün onun düz səthlərdən ibarət olması vacib idi. Lakin zaman keçdikcə konsepsiya genişləndi və bu, çoxüzlülərin ilkin "dar" sinfini başa düşməkdə əhəmiyyətli təkmilləşdirməyə, eləcə də yeni, daha geniş tərifin yaranmasına səbəb oldu.
Düzgün
Daha bir tərif təqdim edək. Müntəzəm çoxüzlü, hər üzün konqruent nizamlı olduğu bir çoxüzlüdürqabarıq çoxbucaqlılar və bütün təpələr "eynidir". Bu o deməkdir ki, hər təpənin eyni sayda müntəzəm çoxbucaqlıları var. Bu tərifdən istifadə edin. Beləliklə, siz beş müntəzəm çoxüzlü tapa bilərsiniz.
Çoxüzlülər üçün Eyler teoreminə ilk addımlar
Yunanlar bu gün pentaqram adlanan çoxbucaqlı haqqında bilirdilər. Bu çoxbucaqlı düzgün adlandırıla bilər, çünki onun bütün tərəfləri bərabər uzunluqdadır. Başqa bir vacib qeyd də var. Ardıcıl iki tərəf arasındakı bucaq həmişə eynidir. Bununla belə, bir müstəvidə çəkildikdə, qabarıq çoxluğu müəyyən etmir və çoxüzlü tərəflər bir-biri ilə kəsişir. Lakin bu, həmişə belə deyildi. Riyaziyyatçılar uzun müddət "qeyri-qabarıq" müntəzəm çoxüzlülər ideyasını nəzərdən keçirdilər. Pentaqram onlardan biri idi. “Ulduz poliqonlarına” da icazə verildi. Bir neçə yeni "müntəzəm çoxüzlü" nümunələri aşkar edilmişdir. İndi onları Kepler-Poinsot polihedrası adlandırırlar. Daha sonra G. S. M. Kokseter və Branko Qrünbaum qaydaları genişləndirdilər və digər "müntəzəm çoxüzlüləri" kəşf etdilər.
Çoxüzlü düstur
Bu rəqəmlərin sistemli öyrənilməsi riyaziyyat tarixində nisbətən erkən başlamışdır. Leonhard Euler onların təpələrinin, üzlərinin və kənarlarının sayı ilə bağlı düsturun qabarıq 3D çoxüzlülər üçün uyğun olduğunu fərq edən ilk şəxs oldu.
O, belə görünür:
V + F - E=2, burada V çoxüzlü təpələrin sayı, F çoxüzlülərin kənarlarının sayı, E isə üzlərin sayıdır.
Leonhard Euler isveçrəlidirbütün zamanların ən böyük və ən məhsuldar alimlərindən biri hesab edilən riyaziyyatçı. O, ömrünün çox hissəsini kor olub, lakin görmə qabiliyyətinin itirilməsi ona daha da məhsuldar olmaq üçün əsas verdi. Onun adını daşıyan bir neçə düstur var və indicə baxdığımız düstur bəzən Eyler polihedra düsturu adlanır.
Bir aydınlaşdırma var. Eyler düsturu isə yalnız müəyyən qaydalara əməl edən çoxüzlülər üçün işləyir. Formada heç bir deşik olmamalıdır ki, yalan danışırlar. Özündən keçməsi isə qəbuledilməzdir. Çoxüzlü də birləşən iki hissədən, məsələn, eyni təpəsi olan iki kubdan ibarət ola bilməz. Euler araşdırmasının nəticəsini 1750-ci ildə Kristian Qoldbaxa yazdığı məktubda qeyd etdi. Daha sonra o, yeni kəşfinin sübutunu necə tapmağa çalışdığını təsvir edən iki məqalə dərc etdi. Əslində V + F - E fərqli cavab verən formalar var. F + V - E=X cəminə cavab Eyler xarakteristikası adlanır. Onun başqa cəhəti var. Bəzi formalar hətta mənfi olan Eyler xarakteristikasına malik ola bilər
Qrafik Nəzəriyyə
Bəzən Dekartın Eyler teoremini daha əvvəl törətdiyi iddia edilir. Bu alim üçölçülü çoxüzlülər haqqında istədiyi düsturu əldə etməyə imkan verəcək faktlar kəşf etsə də, bu əlavə addımı atmadı. Bu gün Eyler qrafik nəzəriyyəsinin "atası" hesab olunur. O, öz ideyalarından istifadə edərək Köniqsberq körpüsü problemini həll etdi. Amma alim çoxüzlüyə kontekstdə baxmadıqrafik nəzəriyyəsi. Eyler çoxüzlülərin daha sadə hissələrə parçalanmasına əsaslanan formulun sübutunu verməyə çalışdı. Bu cəhd sübut üçün müasir standartlara uyğun gəlmir. Eyler öz düsturu üçün ilk düzgün əsaslandırmanı verməsə də, irəli sürülməmiş fərziyyələri sübut etmək mümkün deyil. Lakin sonradan əsaslandırılan nəticələr Eyler teoremindən indiki dövrdə də istifadə etməyə imkan verir. İlk sübut riyaziyyatçı Adrian Marie Legendre tərəfindən əldə edilmişdir.
Euler düsturunun sübutu
Euler ilk dəfə çoxüzlü düsturu çoxüzlülər haqqında teorem kimi formalaşdırdı. Bu gün tez-tez əlaqəli qrafiklərin daha ümumi kontekstində müalicə olunur. Məsələn, eyni hissədə olan nöqtələrdən və onları birləşdirən xətt seqmentlərindən ibarət strukturlar kimi. Bu mühüm əlaqəni ilk tapan şəxs Augustin Louis Cauchy idi. Eyler teoreminin sübutu kimi xidmət edirdi. O, mahiyyət etibarilə qabarıq çoxbucaqlının (və ya bu gün belə adlandırılan) qrafikinin topoloji cəhətdən sferaya homeomorf olduğunu, planar əlaqəli qrafikə malik olduğunu qeyd etdi. Bu nədir? Müstəvi qrafik, müstəvidə kənarları yalnız təpə nöqtəsində birləşəcək və ya kəsişəcək şəkildə çəkilmiş qrafikdir. Eyler teoremi ilə qrafiklər arasında əlaqə burada tapıldı.
Nəticənin əhəmiyyətinin bir göstəricisi David Epstein-in on yeddi müxtəlif dəlil toplaya bilməsidir. Eylerin çoxüzlü düsturunu əsaslandırmağın bir çox yolu var. Müəyyən mənada ən bariz sübutlar riyazi induksiyadan istifadə edən üsullardır. Nəticə sübut edilə biləronu qrafikin kənarlarının, üzlərinin və ya təpələrinin sayı boyunca çəkmək.
Rademacher və Toeplitz sübutu
Von Staudtun yanaşmasına əsaslanan Rademacher və Toeplitz-in aşağıdakı sübutu xüsusilə cəlbedicidir. Eyler teoremini əsaslandırmaq üçün fərz edək ki, G müstəvidə yerləşdirilmiş əlaqəli qrafikdir. Sxemləri varsa, bağlı qaldığı xüsusiyyəti qorumaq üçün hər birindən bir kənarı istisna etmək olar. Bağlanmadan bağlı qrafikə keçmək üçün çıxarılan hissələrlə sonsuz kənar olmayanlar arasında təkbətək uyğunluq var. Bu tədqiqat Eyler xarakteristikasına görə "səmərələndirilən səthlərin" təsnifatına gətirib çıxardı.
İordaniya əyrisi.teorem
Qrafiklər üçün Eyler teoreminin çoxüzlü düsturunun isbatında birbaşa və ya dolayısı ilə istifadə olunan əsas tezis İordan əyrisindən asılıdır. Bu fikir ümumiləşdirmə ilə bağlıdır. Burada deyilir ki, istənilən sadə qapalı əyri təyyarəni üç dəstəyə bölür: üzərindəki nöqtələr, onun daxilində və xaricində. Eylerin çoxüzlü düsturuna maraq XIX əsrdə inkişaf etdikcə, onu ümumiləşdirmək üçün çoxlu cəhdlər edildi. Bu tədqiqat cəbri topologiyanın inkişafının əsasını qoydu və onu cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi ilə əlaqələndirdi.
Moebius qrupu
Tezliklə məlum oldu ki, bəzi səthlər qlobal miqyasda deyil, yalnız yerli olaraq ardıcıl şəkildə "yönləndirilə" bilər. Tanınmış Möbius qrupu belə bir nümunə kimi xidmət edirsəthlər. Bir qədər əvvəl Johann Listing tərəfindən kəşf edilmişdir. Bu konsepsiya qrafikin cins anlayışını ehtiva edir: deskriptorların ən az sayı g. O, kürənin səthinə əlavə edilməlidir və kənarların yalnız təpələrdə birləşdiyi şəkildə uzadılmış səthə daxil edilə bilər. Belə çıxır ki, Evklid fəzasında istənilən istiqamətləndirilən səth müəyyən sayda tutacaqları olan kürə hesab edilə bilər.
Euler diaqramı
Alim bu gün də istifadə olunan daha bir kəşf etdi. Bu Euler diaqramı adlanan dairələrin qrafik təsviridir və adətən dəstlər və ya qruplar arasındakı əlaqələri təsvir etmək üçün istifadə olunur. Diaqramlara adətən dairələrin üst-üstə düşdüyü yerlərdə qarışan rənglər daxildir. Dəstlər dəqiq şəkildə dairələr və ya ovallarla təmsil olunur, baxmayaraq ki, onlar üçün başqa rəqəmlər də istifadə edilə bilər. Daxiletmə Eyler dairələri adlanan ellipslərin üst-üstə düşməsi ilə təmsil olunur.
Onlar çoxluqları və alt çoxluqları təmsil edir. İstisna üst-üstə düşməyən dairələrdir. Eyler diaqramları digər qrafik təsvirlərlə sıx bağlıdır. Çox vaxt qarışıq olurlar. Bu qrafik təsvir Venn diaqramları adlanır. Sözügedən dəstlərdən asılı olaraq hər iki versiya eyni görünə bilər. Bununla belə, Venn diaqramlarında üst-üstə düşən dairələr mütləq çoxluqlar arasında ümumiliyi ifadə etmir, ancaq onların etiketləri daxilində olmadıqda mümkün məntiqi əlaqəni göstərir.kəsişən dairə. Hər iki variant 1960-cı illərin yeni riyazi hərəkatının bir hissəsi kimi dəstlər nəzəriyyəsinin öyrədilməsi üçün qəbul edilmişdir.
Fermat və Eyler teoremləri
Euler riyaziyyat elmində nəzərəçarpacaq iz buraxdı. Cəbri ədədlər nəzəriyyəsi onun adını daşıyan teoremlə zənginləşdirilmişdir. Bu, həm də başqa bir mühüm kəşfin nəticəsidir. Bu ümumi cəbri Laqranj teoremi deyilən şeydir. Eylerin adı Fermatın kiçik teoremi ilə də əlaqələndirilir. Orada deyilir ki, əgər p sadə ədəddirsə və a p-yə bölünməyən tam ədəddirsə, onda:
ap-1 - 1 səh. ilə bölünür.
Bəzən eyni kəşfin başqa adı olur, ən çox xarici ədəbiyyatda rast gəlinir. Fermatın Milad teoreminə bənzəyir. Məsələ burasındadır ki, kəşf alimin 25 dekabr 1640-cı il ərəfəsində göndərdiyi məktub sayəsində məlum olub. Amma bəyanatın özü ilə əvvəllər də rastlaşıb. Albert Girard adlı başqa bir alim tərəfindən istifadə edilmişdir. Fermat yalnız nəzəriyyəsini sübut etməyə çalışdı. Müəllif başqa bir məktubunda sonsuz eniş üsulundan ilham aldığını eyham edir. Amma o, heç bir sübut təqdim etməyib. Sonralar Eyder də eyni üsula müraciət etdi. Və ondan sonra - Laqranj, Qauss və Minkoski də daxil olmaqla bir çox digər məşhur alimlər.
Şəxsiyyət xüsusiyyətləri
Fermatın Kiçik Teoreminə Eylerə görə ədədlər nəzəriyyəsindən teoremin xüsusi halı da deyilir. Bu nəzəriyyədə Eyler eynilik funksiyası verilmiş n tam ədədinə qədər müsbət tam ədədləri hesablayır. Onlara münasibətdə üstündürlərn. Ədədlər nəzəriyyəsində Eyler teoremi yunan φ hərfi ilə yazılır və φ(n) kimi görünür. Onu daha formal şəkildə 1 ≦ k ≦ n diapazonunda gcd(n, k) ən böyük ümumi böləninin 1 olduğu k tam ədədlərinin sayı kimi təyin etmək olar. φ(n) qeydini Eylerin phi funksiyası da adlandırmaq olar. Bu formanın k tam ədədlərinə bəzən ümumi deyilir. Ədədlər nəzəriyyəsinin mərkəzində Eyler eynilik funksiyası multiplikativdir, yəni iki ədəd m və n iki ədəddirsə, onda φ(mn)=φ(m)φ(n) olur. O, həmçinin RSA şifrələmə sisteminin müəyyən edilməsində əsas rol oynayır.
Eyler funksiyası 1763-cü ildə təqdim edilmişdir. Lakin o zaman riyaziyyatçı onun üçün heç bir xüsusi simvol seçməmişdi. 1784-cü il nəşrində Eyler bu funksiyanı daha ətraflı araşdırdı və onu təmsil etmək üçün yunan hərfini π seçdi. James Sylvester bu xüsusiyyət üçün "cəmi" ifadəsini işlətdi. Buna görə də Eylerin cəmi adlandırılır. 1-dən böyük n müsbət tam ədədinin cəmi φ(n) n-dən kiçik və n-ə qədər nisbətən sadə olan müsbət tam ədədlərin sayıdır.φ(1) 1 kimi müəyyən edilir. Eyler funksiyası və ya phi(φ) funksiyası çox mühüm ədəd - nəzəri sadə ədədlər və tam ədədlərin düzülüşü ilə dərindən əlaqəli funksiya.
