Xət və müstəvi 2D və 3D məkanında müxtəlif formalar yaratmaq üçün istifadə oluna bilən ən vacib iki həndəsi elementdir. Paralel xətlər və paralel müstəvilər arasındakı məsafəni necə tapmağı nəzərdən keçirin.
Riyaziyyat tapşırığı düz xətt
Məktəb həndəsə kursundan məlumdur ki, iki ölçülü düzbucaqlı koordinat sistemində xətti aşağıdakı formada təyin etmək olar:
y=kx + b.
Burada k və b ədədlərdir (parametrlər). Müstəvidə xətti təmsil etməyin yazılı forması üçölçülü fəzada z oxuna paralel olan müstəvidir. Bunu nəzərə alaraq, bu məqalədə düz xəttin riyazi təyinatı üçün daha rahat və universal formadan - vektordan istifadə edəcəyik.
Fərz edək ki, xəttimiz u¯(a, b, c) vektoruna paraleldir və P(x0,nöqtəsindən keçir.y0, z0). Bu halda vektor şəklində onun tənliyi aşağıdakı kimi təqdim olunacaq:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Burada λ istənilən ədəddir. Yazılı ifadəni genişləndirməklə koordinatları açıq şəkildə təmsil etsək, onda düz xəttin yazılmasının parametrik formasını alacağıq.
Paralel xətlər arasındakı məsafəni təyin etmək lazım olan müxtəlif məsələləri həll edərkən vektor tənliyi ilə işləmək rahatdır.
Xətlər və onlar arasındakı məsafə
Xətlər arasındakı məsafədən yalnız onlar paralel olduqda danışmaq məna kəsb edir (üçölçülü halda əyri xətlər arasında sıfırdan fərqli məsafə də var). Əgər xətlər kəsişirsə, o zaman onların bir-birindən sıfır məsafədə olduğu aydındır.
Paralel xətlər arasındakı məsafə onları birləşdirən perpendikulyarın uzunluğudur. Bu göstəricini müəyyən etmək üçün xətlərdən birində ixtiyari nöqtə seçmək və ondan digərinə perpendikulyar çəkmək kifayətdir.
İstədiyiniz məsafənin tapılması prosedurunu qısaca təsvir edək. Tutaq ki, biz aşağıdakı ümumi formada təqdim olunan iki xəttin vektor tənliklərini bilirik:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Bu xətlər üzərində elə paraleloqram qurun ki, tərəflərdən biri PQ, digəri isə, məsələn, u olsun. Aydındır ki, P nöqtəsindən çəkilmiş bu fiqurun hündürlüyü tələb olunan perpendikulyarın uzunluğudur. Onu tapmaq üçün aşağıdakı sadə üsula müraciət edə bilərsinizdüstur:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Düz xətlər arasındakı məsafə onların arasındakı perpendikulyar seqmentin uzunluğu olduğundan, yazılı ifadəyə görə PQ¯ və u¯ vektor məhsulunun modulunu tapmaq və nəticəni ona bölmək kifayətdir. u¯ vektorunun uzunluğu.
Düz xətlər arasındakı məsafəni təyin etmək üçün tapşırıq nümunəsi
İki düz xətt aşağıdakı vektor tənlikləri ilə verilmişdir:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Yazılı ifadələrdən aydın olur ki, iki paralel xəttimiz var. Həqiqətən, əgər birinci sətrin istiqamət vektorunun koordinatlarını -1-ə vursaq, ikinci xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını alarıq ki, bu da onların paralelliyini göstərir.
Düz xətlər arasındakı məsafə məqalənin əvvəlki bəndində yazılmış düsturla hesablanacaq. Bizdə:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Sonra alırıq:
|u¯|=√14sm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 sm.
Qeyd edək ki, problemi həll etmək üçün P və Q nöqtələri əvəzinə bu xətlərə aid olan hər hansı nöqtələrdən istifadə etmək olar. Bu halda, biz eyni məsafəni alacağıq d.
Həndəsədə müstəvi qurmaq
Xətlər arasındakı məsafə məsələsi yuxarıda ətraflı müzakirə olundu. İndi paralel müstəvilər arasındakı məsafəni necə tapacağımızı göstərək.
Hər kəs təyyarənin nə olduğunu təmsil edir. Riyazi tərifə görə, göstərilən həndəsi element nöqtələr toplusudur. Bundan əlavə, bu nöqtələrdən istifadə edərək bütün mümkün vektorları tərtib etsəniz, onların hamısı bir vektora perpendikulyar olacaqdır. Sonuncu adətən təyyarə üçün normal adlanır.
Üçölçülü fəzada müstəvi tənliyini təyin etmək üçün ən çox tənliyin ümumi formasından istifadə olunur. Belə görünür:
Ax + By + Cz + D=0.
Böyük Latın hərfləri bəzi rəqəmlərdir. Bu cür müstəvi tənlikdən istifadə etmək rahatdır, çünki normal vektorun koordinatları orada açıq şəkildə verilmişdir. Bunlar A, B, C.
İki təyyarənin yalnız normalları paralel olduqda paralel olduğunu görmək asandır.
İki paralel müstəvi arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?
Göstərilən məsafəni müəyyən etmək üçün təhlükənin nə olduğunu aydın başa düşməlisiniz. Bir-birinə paralel olan təyyarələr arasındakı məsafə onlara perpendikulyar olan seqmentin uzunluğu kimi başa düşülür. Bu seqmentin ucları təyyarələrə aiddir.
Belə məsələlərin həlli alqoritmi sadədir. Bunun üçün iki müstəvidən birinə aid olan tamamilə istənilən nöqtənin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Sonra bu düsturdan istifadə etməlisiniz:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Məsafə müsbət dəyər olduğu üçün modul işarəsi paylayıcıdadır. Yazılı düstur universaldır, çünki təyyarədən tamamilə hər hansı bir həndəsi elementə qədər olan məsafəni hesablamağa imkan verir. Bu elementin bir nöqtəsinin koordinatlarını bilmək kifayətdir.
Tamlıq naminə qeyd edirik ki, əgər iki müstəvinin normalları bir-birinə paralel deyilsə, o zaman belə müstəvilər kəsişəcək. Onda onların arasındakı məsafə sıfır olacaq.
Təyyarələr arasındakı məsafənin təyini problemi
Məlumdur ki, iki təyyarə aşağıdakı ifadələrlə verilir:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Müyyarların paralel olduğunu sübut etmək, həmçinin onlar arasındakı məsafəni təyin etmək lazımdır.
Məsələnin birinci hissəsinə cavab vermək üçün birinci tənliyi ümumi formaya gətirmək lazımdır. Qeyd edək ki, o, seqmentlərdə tənlik deyilən formada verilir. Onun sol və sağ hissələrini 15-ə vurun və bütün şərtləri tənliyin bir tərəfinə köçürün, əldə edirik:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Təyyarənin iki normal vektorunun koordinatlarını yazaq:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Görünür ki, n2¯ 5-ə vurularsa, o zaman n1¯ koordinatlarını dəqiq alacağıq. Beləliklə, nəzərdə tutulan təyyarələrparalel.
Paralel müstəvilər arasındakı məsafəni hesablamaq üçün onlardan birincisinin ixtiyari nöqtəsini seçin və yuxarıdakı düsturdan istifadə edin. Məsələn, birinci müstəviyə aid olan nöqtəni (0, 0, 1) götürək. Sonra əldə edirik:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 sm.
Arzu olunan məsafə 31 mm-dir.
Təyyarə ilə xətt arasındakı məsafə
Təqdim olunan nəzəri biliklər düz xəttlə müstəvi arasındakı məsafənin təyini məsələsini də həll etməyə imkan verir. Artıq yuxarıda qeyd olundu ki, təyyarələr arasında hesablamalar üçün etibarlı olan düstur universaldır. Problemi həll etmək üçün də istifadə edilə bilər. Bunu etmək üçün sadəcə verilmiş xəttə aid olan istənilən nöqtəni seçin.
Baxılan həndəsi elementlər arasındakı məsafənin təyin edilməsində əsas problem onların paralelliyinin sübutudur (əgər belə deyilsə, onda d=0). Normalın skalyar hasilini və xəttin istiqamət vektorunu hesablasanız, paralelliyi sübut etmək asandır. Əgər nəzərdən keçirilən elementlər paraleldirsə, bu məhsul sıfıra bərabər olacaq.
