2-ci dərəcəli səthlər: nümunələr

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Tələbə ən çox birinci ildə 2-ci dərəcəli səthlərlə qarşılaşır. Əvvəlcə bu mövzuda tapşırıqlar sadə görünə bilər, lakin ali riyaziyyatı öyrəndikcə və elmi tərəfə dərinləşdikcə, nəhayət, baş verənlərə yönəlməyi dayandıra bilərsiniz. Bunun baş verməməsi üçün təkcə yadda saxlamaq deyil, həm də bu və ya digər səthin necə alındığını, əmsalların dəyişməsinin ona və ilkin koordinat sisteminə nisbətən yerləşməsinə necə təsir etdiyini və yeni sistemin necə tapılacağını başa düşmək lazımdır. (onun mərkəzi başlanğıc koordinatları ilə üst-üstə düşür və simmetriya oxu koordinat oxlarından birinə paraleldir). Gəlin əvvəldən başlayaq.

Tərif

GMT 2-ci dərəcəli səth adlanır, onun koordinatları aşağıdakı formanın ümumi tənliyini təmin edir:

F(x, y, z)=0.

Aydındır ki, səthə aid olan hər bir nöqtə müəyyən edilmiş əsasda üç koordinata malik olmalıdır. Baxmayaraq ki, bəzi hallarda nöqtələrin yeri, məsələn, bir müstəviyə çevrilə bilər. Bu o deməkdir ki, koordinatlardan biri sabitdir və bütün məqbul dəyərlər diapazonunda sıfıra bərabərdir.

Yuxarıda qeyd olunan bərabərliyin tam rənglənmiş forması belə görünür:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – bəzi sabitlər, x, y, z – bəzi nöqtənin afin koordinatlarına uyğun dəyişənlər. Bu halda, sabit amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olmamalıdır, yəni heç bir nöqtə tənliyə uyğun gəlməyəcək.}

Nümunələrin böyük əksəriyyətində bir çox ədədi amillər hələ də eyni şəkildə sıfıra bərabərdir və tənlik xeyli sadələşdirilmişdir. Təcrübədə nöqtənin səthə aid olub-olmadığını müəyyən etmək çətin deyil (tənlikdə onun koordinatlarını əvəz etmək və eyniliyin müşahidə olunub-olunmadığını yoxlamaq kifayətdir). Belə işdə əsas məqam sonuncunun kanonik formaya gətirilməsidir.

Yuxarıda yazılmış tənlik 2-ci dərəcəli hər hansı (aşağıda sadalanan) səthləri müəyyən edir. Aşağıda nümunələri nəzərdən keçirəcəyik.

2-ci dərəcəli səthlərin növləri

2-ci dərəcəli səthlərin tənlikləri yalnız A_{nm əmsallarının qiymətlərində fərqlənir. Ümumi baxımdan, sabitlərin müəyyən dəyərləri üçün aşağıdakı kimi təsnif edilən müxtəlif səthlər əldə edilə bilər:}

1. Silindrlər.
2. Eliptik tip.
3. Hiperbolik tip.
4. Konusvari tip.
5. Parabolik tip.
6. Təyyarələr.

Sadalanan növlərin hər birinin təbii və xəyali forması var: xəyali formada real nöqtələrin yeri ya daha sadə fiqura çevrilir, ya da ümumiyyətlə yoxdur.

Silindrlər

Bu ən sadə növdür, çünki nisbətən mürəkkəb əyri yalnız əsasda yerləşir və bələdçi rolunu oynayır. Generatorlar təməlin yerləşdiyi müstəviyə perpendikulyar düz xətlərdir.

Qrafikdə dairəvi silindr, eliptik silindrin xüsusi halı göstərilir. Generatorlar Z oxuna paralel olduğundan XY müstəvisində onun proyeksiyası ellips (bizim halda dairə) - bələdçi, XZ-də isə düzbucaqlı olacaq. Onu ümumi tənlikdən almaq üçün sizə lazımdır. əmsallara aşağıdakı qiymətlər verilsin:

Adi simvolların əvəzinə seriya nömrəsi olan x, y, z, x istifadə olunur - fərqi yoxdur.

Əslində, 1/a2və burada göstərilən digər sabitlər ümumi tənlikdə göstərilən eyni əmsallardır, lakin onları bu formada yazmaq adətdir - bu kanonik təmsil. Bundan əlavə, yalnız belə qeyd istifadə olunacaq.

Hiperbolik silindr belə müəyyən edilir. Sxem eynidir - hiperbola bələdçi olacaq.

y2=2px

Parabolik silindr bir qədər fərqli müəyyən edilir: onun kanonik formasına parametr adlanan p əmsalı daxildir. Əslində, əmsal q=2p-ə bərabərdir, lakin onu təqdim olunan iki amilə bölmək adətdir.

Başqa bir silindr növü var: xəyali. Belə bir silindrə heç bir real nöqtə aid deyil. tənliyi ilə təsvir olunurelliptik silindr, lakin vahid əvəzinə -1-dir.

Eliptik tip

Elipsoid oxlardan biri boyunca uzana bilər (bununla birlikdə yuxarıda göstərilən a, b, c sabitlərinin qiymətlərindən asılıdır; daha böyük əmsalın daha böyük oxa uyğun olacağı açıqdır.).

Xəyali ellipsoid də var - bir şərtlə ki, koordinatların əmsallara vurulan cəmi -1 olsun:

Hiperboloidlər

Sabitlərdən birində mənfi görünəndə ellipsoid tənliyi tək vərəqli hiperboloid tənliyinə çevrilir. Anlamaq lazımdır ki, bu mənfi x₃ koordinatından əvvəl yerləşməlidir! O, yalnız oxlardan hansının hiperboloidin (və ya ona paralel) fırlanma oxu olacağını müəyyən edir, çünki kvadratda əlavə terminlər görünəndə (məsələn, (x-2)^{2) fiqurun mərkəzi dəyişir, nəticədə səth koordinat oxlarına paralel hərəkət edir). Bu, bütün 2-ci dərəcəli səthlərə aiddir.}

Bundan başqa, başa düşməlisiniz ki, tənliklər kanonik formada təqdim olunur və onlar sabitləri dəyişdirməklə (işarəsi qorunub saxlanılmaqla!) dəyişdirilə bilər; onların forması (hiperboloid, konus və s.) isə eyni qalacaq.

Bu tənlik artıq iki vərəqli hiperboloid tərəfindən verilmişdir.

Konusvari səth

Konus tənliyində vahid yoxdur - sıfıra bərabərlik.

Yalnız məhdud konusvari səth konus adlanır. Aşağıdakı şəkil göstərir ki, əslində diaqramda iki sözdə konus olacaq.

Vacib qeyd: bütün nəzərdən keçirilən kanonik tənliklərdə sabitlər standart olaraq müsbət qəbul edilir. Əks halda, işarə son qrafikə təsir edə bilər.

Koordinat müstəviləri konusun simmetriya müstəviləri olur, simmetriya mərkəzi başlanğıcda yerləşir.

Xəyali konus tənliyində yalnız müsbət cəhətlər var; onun bir real nöqtəsi var.

Paraboloidlər

Kosmosda 2-ci dərəcəli səthlər oxşar tənliklərlə belə müxtəlif formalar ala bilər. Məsələn, iki növ paraboloid var.

x²/a²+y²/b^2=2z

Eliptik paraboloid, Z oxu rəsmə perpendikulyar olduqda, ellipsə proyeksiya ediləcək.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hiperbolik paraboloid: ZY-yə paralel müstəviləri olan kəsiklər parabolalar, XY-yə paralel müstəviləri olan kəsiklər isə hiperbolalar əmələ gətirəcək.

Kəsişan təyyarələr

2-ci dərəcəli səthlərin müstəviyə keçməsi halları var. Bu təyyarələr müxtəlif yollarla yerləşdirilə bilər.

İlk olaraq kəsişən müstəviləri nəzərdən keçirin:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Kanonik tənliyin bu modifikasiyası yalnız iki kəsişən müstəvi ilə nəticələnir (xəyali!); bütün real nöqtələr tənlikdə çatışmayan koordinat oxundadır (kanonikdə - Z oxu).

Paralel təyyarələr

y²=a²

Yalnız bir koordinat olduqda, 2-ci dərəcəli səthlər bir cüt paralel müstəviyə çevrilir. Unutmayın ki, hər hansı digər dəyişən Y-nin yerini tuta bilər; sonra digər oxlara paralel təyyarələr alınacaq.

y²=−a²

Bu halda onlar xəyali olurlar.

Üst-üstə düşən təyyarələr

y2=0

Belə sadə bir tənliklə, bir cüt təyyarə birinə çevrilir - üst-üstə düşür.

Unutmayın ki, üçölçülü baza vəziyyətində yuxarıdakı tənlik y=0 düz xəttini təyin etmir! Onun digər iki dəyişəni yoxdur, lakin bu sadəcə onların dəyərinin sabit və sıfıra bərabər olması deməkdir.

Bina

Tələbə üçün ən çətin işlərdən biri 2-ci dərəcəli səthlərin qurulmasıdır. Əyrinin oxlara nisbətən bucaqlarını və mərkəzin ofsetini nəzərə alsaq, bir koordinat sistemindən digərinə keçmək daha çətindir. Analitik ilə rəsmin gələcək görünüşünü ardıcıl olaraq necə təyin edəcəyimizi təkrarlayaqyol.

2-ci dərəcəli səth qurmaq üçün sizə lazımdır:

• tənliyi kanonik formaya gətirin;
• tədqiq olunan səthin növünü təyin edin;
• əmsal dəyərlərinə əsaslanaraq qurun.

Aşağıda bütün növlər nəzərdən keçirilir:

Birləşdirmək üçün gəlin bu növ tapşırığın bir nümunəsini ətraflı təsvir edək.

Nümunələr

Fərz edək ki, bir tənlik var:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Gəlin onu kanonik formaya gətirək. Tam kvadratları ayıraq, yəni mövcud şərtləri elə düzürük ki, onlar cəmin və ya fərqin kvadratının genişlənməsi olsun. Məsələn: (a+1)²=a²+2a+1, onda a²+2a +1=(a+1)^{2. İkinci əməliyyatı həyata keçirəcəyik. Bu halda, mötərizələri açmaq lazım deyil, çünki bu, yalnız hesablamaları çətinləşdirəcək, lakin ümumi əmsal 6-nı (Y-nin tam kvadratı olan mötərizədə) çıxarmaq lazımdır:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Z dəyişəni bu halda yalnız bir dəfə baş verir - onu hələlik tək buraxa bilərsiniz.

Bu mərhələdə tənliyi təhlil edirik: bütün naməlumlardan əvvəl artı işarəsi qoyulur; altıya bölünəndə biri qalır. Buna görə də, ellipsoidi təyin edən tənliyimiz var.

Qeyd edək ki, 144 150-6-ya bölündü, bundan sonra -6 sağa köçürüldü. Niyə bunu belə etmək lazım idi? Aydındır ki, bu nümunədəki ən böyük bölən -6-dır, ona görə də bölündükdən sonrabiri sağda qalıb, 144-dən tam olaraq 6-nı “təxirə salmaq” lazımdır (sağda olması sərbəst terminin olması ilə göstərilir - naməlumla vurulmayan sabit).

Hər şeyi altıya bölün və ellipsoidin kanonik tənliyini əldə edin:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

2-ci dərəcəli səthlərin əvvəllər istifadə olunan təsnifatında, fiqurun mərkəzi koordinatların başlanğıcında olduqda xüsusi hal nəzərə alınır. Bu nümunədə o, ofsetdir.

Naməlum olan hər bir mötərizənin yeni dəyişən olduğunu güman edirik. Yəni: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda ellipsoidin mərkəzi (0, 0, 0) nöqtəsi ilə üst-üstə düşür, buna görə də a=b=c=0, buradan: x=1, y=-5, z=0. İlkin koordinatlarda fiqurun mərkəzi (1, -5, 0) nöqtəsində yerləşir.

Elipsoid iki ellipsdən alınacaq: birincisi XY müstəvisində, ikincisi isə XZ müstəvisində (və ya YZ - fərqi yoxdur). Dəyişənlərin bölündüyü əmsallar kanonik tənlikdə kvadratlaşdırılır. Buna görə də yuxarıdakı misalda iki, bir və üç kökü ilə bölmək daha düzgün olardı.

Y oxuna paralel olan birinci ellipsin kiçik oxu ikidir. X oxuna paralel olan böyük ox ikinin iki köküdür. Y oxuna paralel olan ikinci ellipsin kiçik oxu eyni qalır - ikiyə bərabərdir. Z oxuna paralel olan əsas ox isə üçünün iki kökünə bərabərdir.

Orijinal tənlikdən kanonik formaya çevrilərək əldə edilən məlumatların köməyi ilə ellipsoid çəkə bilərik.

Xülasə

Bu məqalədə əhatə olunubmövzu kifayət qədər genişdir, amma əslində indi gördüyünüz kimi çox mürəkkəb deyil. Onun inkişafı, əslində, səthlərin adlarını və tənliklərini (və təbii ki, onların necə göründüyünü) yadda saxladığınız anda başa çatır. Yuxarıdakı nümunədə biz hər bir addımı ətraflı müzakirə etdik, lakin tənliyi kanonik formaya gətirmək ali riyaziyyat üzrə minimal bilik tələb edir və tələbə üçün heç bir çətinlik yaratmamalıdır.

Mövcud bərabərlik üzrə gələcək cədvəlin təhlili artıq daha çətin məsələdir. Lakin onun uğurlu həlli üçün müvafiq ikinci dərəcəli əyrilərin necə qurulduğunu başa düşmək kifayətdir - ellipslər, parabolalar və başqaları.

Degenerasiya halları - daha sadə bölmə. Bəzi dəyişənlərin olmaması səbəbindən əvvəllər qeyd edildiyi kimi təkcə hesablamalar deyil, həm də tikintinin özü sadələşdirilir.

Bütün növ səthləri inamla adlandıra bildiyiniz kimi, sabitləri dəyişdirin, qrafiki bu və ya digər şəklə çevirin - mövzu mənimsəniləcək.

Dərslərində uğurlar!