Düşünürəm ki, biz diferensial tənliklər kimi möhtəşəm riyazi alətin tarixindən başlamalıyıq. Bütün diferensial və inteqral hesablamalar kimi, bu tənliklər də 17-ci əsrin sonunda Nyuton tərəfindən icad edilmişdir. O, özünün bu kəşfini o qədər vacib hesab etdi ki, hətta bu gün belə tərcümə edilə bilən mesajı şifrələdi: "Bütün təbiət qanunları diferensial tənliklərlə təsvir edilmişdir." Bu, mübaliğə kimi görünə bilər, amma həqiqətdir. İstənilən fizika, kimya, biologiya qanunu bu tənliklərlə təsvir edilə bilər.
Riyaziyyatçılar Eyler və Laqranj diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafına və yaradılmasına böyük töhfə vermişlər. Artıq 18-ci əsrdə onlar indi universitetlərin yuxarı kurslarında öyrəndiklərini kəşf edib inkişaf etdirdilər.
Diferensial tənliklərin öyrənilməsində yeni mərhələ Henri Puankare sayəsində başladı. O, mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi ilə birlikdə topologiyanın - kosmos və onun elminin təməlinə mühüm töhfə verən "diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsi"ni yaratdı.xassələr.
Diferensial tənliklər nədir?
Bir çox insan "diferensial tənlik" ifadəsindən qorxur. Ancaq bu yazıda biz əslində adından göründüyü qədər mürəkkəb olmayan bu çox faydalı riyazi aparatın bütün mahiyyətini ətraflı izah edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər haqqında danışmağa başlamaq üçün əvvəlcə bu təriflə mahiyyətcə əlaqəli olan əsas anlayışlarla tanış olmalısınız. Və biz diferensialla başlayacağıq.
Diferensial
Çoxları bu anlayışı məktəbdən bilir. Bununla belə, gəlin buna daha yaxından nəzər salaq. Bir funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Onu o qədər artıra bilərik ki, onun hər hansı seqmenti düz xətt şəklini alsın. Bunun üzərinə bir-birinə sonsuz yaxın olan iki nöqtəni götürürük. Onların koordinatları (x və ya y) arasındakı fərq sonsuz kiçik bir dəyər olacaqdır. O, diferensial adlanır və dy (y-dən diferensial) və dx (x-dən diferensial) işarələri ilə işarələnir. Diferensialın sonlu dəyər olmadığını başa düşmək çox vacibdir və bu, onun mənası və əsas funksiyasıdır.
İndi isə diferensial tənlik anlayışını izah etməkdə bizim üçün faydalı olacaq növbəti elementi nəzərdən keçirməliyik. Bu törəmədir.
Törəmə
Biz yəqin ki, məktəbdə və bu anlayışı hamımız eşitmişik. Törəmə funksiyanın böyümə və ya azalma sürəti olduğu deyilir. Ancaq bu tərifdənçoxu anlaşılmaz olur. Törəməni diferensiallar baxımından izah etməyə çalışaq. Bir-birindən minimum məsafədə olan iki nöqtəsi olan funksiyanın sonsuz kiçik seqmentinə qayıdaq. Amma hətta bu məsafə üçün funksiya müəyyən miqdarda dəyişməyi bacarır. Və bu dəyişikliyi təsvir etmək üçün onlar diferensialların nisbəti kimi yazıla bilən törəmə ilə çıxış etdilər: f(x)'=df/dx.
İndi törəmənin əsas xassələrini nəzərə almağa dəyər. Onlardan yalnız üçü var:
- Cəmin və ya fərqin törəməsi törəmələrin cəmi və ya fərqi kimi göstərilə bilər: (a+b)'=a'+b' və (a-b)'=a'-b'.
- İkinci xassə vurma ilə bağlıdır. Məhsulun törəməsi bir funksiyanın hasilinin və digər funksiyanın törəməsinin cəmidir: (ab)'=a'b+ab'.
- Fərqin törəməsi aşağıdakı bərabərlik kimi yazıla bilər: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Bütün bu xassələr birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həlli üçün faydalı olacaq.
Qismən törəmələr də var. Tutaq ki, x və y dəyişənlərindən asılı olan z funksiyamız var. Bu funksiyanın qismən törəməsini hesablamaq üçün, məsələn, x-ə münasibətdə, y dəyişənini sabit kimi götürməli və sadəcə olaraq diferensiallaşdırmalıyıq.
İnteqral
Digər vacib anlayış inteqraldır. Əslində, bu, törəmənin birbaşa əksidir. Bir neçə növ inteqral var, lakin ən sadə diferensial tənlikləri həll etmək üçün bizə ən mənasız qeyri-müəyyən inteqrallar lazımdır.
Beləliklə, inteqral nədir? Tutaq ki, bizdə bir qədər asılılıq var fx-dən. Ondan inteqral alırıq və törəməsi ilkin funksiyaya bərabər olan F (x) funksiyasını (çox vaxt antitörəmə adlanır) alırıq. Beləliklə, F(x)'=f(x). Buradan da belə nəticə çıxır ki, törəmənin inteqralı ilkin funksiyaya bərabərdir.
Diferensial tənlikləri həll edərkən inteqralın mənasını və funksiyasını başa düşmək çox vacibdir, çünki həllini tapmaq üçün onları çox tez-tez götürməli olacaqsınız.
Tənliklər təbiətindən asılı olaraq müxtəlifdir. Növbəti bölmədə biz birinci dərəcəli diferensial tənliklərin növlərini nəzərdən keçirəcəyik və sonra onların həllini öyrənəcəyik.
Diferensial tənliklərin sinifləri
"Diffury" onlara daxil olan törəmələrin sırasına görə bölünür. Beləliklə, birinci, ikinci, üçüncü və daha çox sıra var. Onlar həmçinin bir neçə sinfə bölünə bilər: adi və qismən törəmələr.
Bu məqalədə birinci dərəcəli adi diferensial tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik. Növbəti bölmələrdə nümunələri və onların həlli yollarını da müzakirə edəcəyik. Biz yalnız ODE-ləri nəzərdən keçirəcəyik, çünki bunlar ən çox yayılmış tənlik növləridir. Adi alt növlərə bölünür: ayrıla bilən dəyişənlərlə, homojen və heterojen. Sonra onların bir-birindən necə fərqləndiyini öyrənəcək və onları necə həll edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.
Bundan əlavə, bu tənliklər birləşdirilə bilər ki, biz birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemini əldə etdikdən sonra. Bu cür sistemləri də nəzərdən keçirəcəyik və onları necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.
Niyə biz yalnız birinci sifarişi nəzərdən keçiririk? Çünki sadə birindən başlamaq və diferensialla bağlı hər şeyi təsvir etmək lazımdırbir məqalədə tənliklər sadəcə mümkün deyil.
Ayrılan dəyişən tənliklər
Bunlar bəlkə də ən sadə birinci dərəcəli diferensial tənliklərdir. Bunlara belə yazıla bilən misallar daxildir: y'=f(x)f(y). Bu tənliyi həll etmək üçün törəməni diferensialların nisbəti kimi təqdim etmək üçün düstur lazımdır: y'=dy/dx. Ondan istifadə edərək aşağıdakı tənliyi əldə edirik: dy/dx=f(x)f(y). İndi standart misalların həlli metoduna keçə bilərik: dəyişənləri hissələrə böləcəyik, yəni y dəyişəni ilə hər şeyi dy-nin yerləşdiyi hissəyə köçürəcəyik və x dəyişəni ilə də eyni şeyi edəcəyik. Hər iki hissənin inteqrallarını götürməklə həll olunan dy/f(y)=f(x)dx formasının tənliyini alırıq. İnteqral götürdükdən sonra təyin edilməli olan sabit haqqında unutmayın.
Hər hansı “diffurasiya”nın həlli x-in y-dən asılılığının funksiyasıdır (bizim vəziyyətimizdə) və ya ədədi şərt varsa, cavab ədəd şəklindədir. Gəlin konkret misaldan istifadə edərək həllin bütün gedişatını təhlil edək:
y'=2ysin(x)
Dəyişənləri müxtəlif istiqamətlərə köçürün:
dy/y=2sin(x)dx
İndi biz inteqralları götürürük. Onların hamısını xüsusi inteqral cədvəlində tapmaq olar. Və əldə edirik:
ln(y)=-2cos(x) + C
Tələb olunarsa, "y"-ni "x" funksiyası kimi ifadə edə bilərik. İndi heç bir şərt verilmədiyi təqdirdə diferensial tənliyimizin həll olunduğunu deyə bilərik. Şərt verilə bilər, məsələn, y(n/2)=e. Sonra biz sadəcə olaraq bu dəyişənlərin qiymətini həlldə əvəz edirik vəsabitin qiymətini tapın. Bizim nümunəmizdə 1-ə bərabərdir.
Birinci dərəcəli homojen diferensial tənliklər
İndi isə daha çətin hissəyə keçək. Birinci dərəcəli bircinsli diferensial tənlikləri ümumi formada aşağıdakı kimi yazmaq olar: y'=z(x, y). Qeyd etmək lazımdır ki, iki dəyişənin düzgün funksiyası bircinslidir və onu iki asılılığa bölmək olmaz: x-də z və y-də z. Tənliyin homojen olub olmadığını yoxlamaq olduqca sadədir: biz x=kx və y=ky əvəzetməsini edirik. İndi biz bütün k ləğv edirik. Bütün bu hərflər azaldılıbsa, tənlik homojendir və onu həll etməyə etibarlı şəkildə davam edə bilərsiniz. İrəliyə baxaraq deyək: bu misalların həlli prinsipi də çox sadədir.
Əvəz etməliyik: y=t(x)x, burada t x-dən də asılı olan bəzi funksiyadır. Onda törəməni ifadə edə bilərik: y'=t'(x)x+t. Bütün bunları ilkin tənliyimizlə əvəz edərək və sadələşdirərək, ayrıla bilən t və x dəyişənləri ilə nümunə əldə edirik. Onu həll edib t(x) asılılığını alırıq. Onu əldə etdikdə, sadəcə olaraq y=t(x)x-i əvvəlki dəyişdirməmizlə əvəz edirik. Onda y-nin x-dən asılılığını alırıq.
Daha aydın olmaq üçün bir nümunəyə baxaq: xy'=y-xey/x.
Əvəz etməklə yoxlayarkən hər şey azalır. Beləliklə, tənlik həqiqətən homojendir. İndi haqqında danışdığımız başqa əvəzetməni edirik: y=t(x)x və y'=t'(x)x+t(x). Sadələşdirmədən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirik: t'(x)x=-et. Nəticə nümunəni ayrılmış dəyişənlərlə həll edirik və əldə edirik: e-t=ln(Cx). Bizə yalnız t-ni y/x ilə əvəz etməliyik (axı, əgər y=tx, onda t=y/x) və biz alırıq.cavab: e-y/x=ln(xC).
Birinci Sıralı Xətti Diferensial Tənliklər
Başqa böyük mövzunun vaxtıdır. Birinci dərəcəli qeyri-homogen diferensial tənlikləri təhlil edəcəyik. Onlar əvvəlki ikisindən nə ilə fərqlənir? Gəlin bunu anlayaq. Ümumi formada birinci tərtibli xətti diferensial tənlikləri aşağıdakı kimi yazmaq olar: y' + g(x)y=z(x). z(x) və g(x) sabit ola biləcəyini aydınlaşdırmağa dəyər.
İndi isə misal: y' - yx=x2.
Bunu həll etməyin iki yolu var və biz hər ikisini ardıcıllıqla həll edəcəyik. Birincisi ixtiyari sabitlərin dəyişmə üsuludur.
Tənliyi bu şəkildə həll etmək üçün əvvəlcə sağ tərəfi sıfıra bərabərləşdirməli və hissələr hərəkət etdikdən sonra aşağıdakı formanı alacaq nəticə tənliyini həll etməlisiniz:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
İndi biz C1 sabitini tapmalı olduğumuz v(x) funksiyası ilə əvəz etməliyik.
y=vex2/2.
Törəməni dəyişək:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Və bu ifadələri orijinal tənliklə əvəz edin:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Sol tərəfdə iki şərtin ləğv edildiyini görə bilərsiniz. Əgər hansısa misalda bu baş verməyibsə, deməli səhv bir şey etmisiniz. Davam edin:
v'ex2/2 =x2.
İndi dəyişənləri ayırmaq lazım olan adi tənliyi həll edirik:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
İnteqralı çıxarmaq üçün burada hissələrə görə inteqrasiya tətbiq etməliyik. Ancaq bu, məqaləmizin mövzusu deyil. Əgər maraqlanırsınızsa, bu cür hərəkətləri özünüz necə yerinə yetirəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Bu çətin deyil və kifayət qədər bacarıq və diqqət ilə çox vaxt tələb etmir.
Bircins olmayan tənliklərin həllinin ikinci üsuluna: Bernulli üsuluna keçək. Hansı yanaşmanın daha sürətli və asan olması sizə bağlıdır.
Beləliklə, tənliyi bu üsulla həll edərkən biz əvəz etməliyik: y=kn. Burada k və n bəzi x-dən asılı funksiyalardır. Onda törəmə belə görünəcək: y'=k'n+kn'. Hər iki əvəzetməni tənliyə əvəz edin:
k'n+kn'+xkn=x2.
Qrup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
İndi mötərizədə olanları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır. İndi, iki nəticə tənliyini birləşdirsəniz, həll etməli olduğunuz birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemi alırsınız:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Birinci bərabərlik normal tənlik kimi həll edilir. Bunu etmək üçün dəyişənləri ayırmalısınız:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
İnteqralı götürün və alın: ln(n)=x2/2. Sonra n ifadə etsək:
n=ex2/2.
İndi alınan bərabərliyi sistemin ikinci tənliyinə əvəz edirik:
k'ex2/2=x2.
Və transformasiya edərək, birinci üsulda olduğu kimi eyni bərabərliyi əldə edirik:
dk=x2/ex2/2.
Biz də əlavə addımlara getməyəcəyik. İlk növbədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin əhəmiyyətli çətinliklərə səbəb olduğunu söyləmək lazımdır. Bununla belə, siz mövzuya daha dərindən baxdıqca, mövzu daha da yaxşılaşmağa başlayır.
Diferensial tənliklər harada istifadə olunur?
Fizikada diferensial tənliklərdən çox fəal istifadə olunur, çünki demək olar ki, bütün əsas qanunlar diferensial formada yazılır və gördüyümüz düsturlar bu tənliklərin həllidir. Kimyada onlar eyni səbəbdən istifadə olunur: əsas qanunlar onlardan alınır. Biologiyada diferensial tənliklərdən yırtıcı-yırtıcı kimi sistemlərin davranışını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Onlar həmçinin mikroorqanizmlərin koloniyasının çoxalma modellərini yaratmaq üçün istifadə edilə bilər.
Diferensial tənliklər həyatda necə kömək edəcək?
Bu sualın cavabı sadədir: heç cür. Əgər siz alim və ya mühəndis deyilsinizsə, onların sizə faydalı olma ehtimalı azdır. Ancaq ümumi inkişaf üçün diferensial tənliyin nə olduğunu və necə həll edildiyini bilmək zərər vermir. Və sonra bir oğul və ya qızın sualı "diferensial tənlik nədir?" sizi çaşdırmayacaq. Yaxşı, əgər alim və ya mühəndissinizsə, o zaman özünüz bu mövzunun hər hansı bir elmdə əhəmiyyətini başa düşürsünüz. Amma ən əsası odur ki, indi "birinci dərəcəli diferensial tənliyi necə həll etmək olar?" hər zaman cavab verə bilərsiniz. Razılaşın, həmişə gözəldirinsanların anlamaqdan belə qorxduqlarını başa düşəndə.
Əsas öyrənmə problemləri
Bu mövzunun başa düşülməsində əsas problem funksiyaların inteqrasiyası və fərqləndirilməsi bacarıqlarının zəif olmasıdır. Əgər törəmələri və inteqralları qəbul etməkdə pissinizsə, o zaman yəqin ki, daha çox öyrənməli, müxtəlif inteqrasiya və diferensiallaşdırma üsullarını mənimsəməli və yalnız bundan sonra məqalədə təsvir olunan materialı öyrənməyə başlamalısınız.
Bəzi insanlar dx-in köçürülə biləcəyini biləndə təəccüblənirlər, çünki əvvəllər (məktəbdə) dy/dx kəsirinin bölünməz olduğu bildirilirdi. Burada siz törəmə haqqında ədəbiyyatı oxumalı və başa düşməlisiniz ki, bu, tənliklərin həlli zamanı manipulyasiya edilə bilən sonsuz kiçik kəmiyyətlərin nisbətidir.
Bir çoxları birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin çox vaxt alına bilməyən funksiya və ya inteqral olduğunu dərhal dərk etmir və bu aldatma onlara çoxlu problem yaradır.
Daha yaxşı başa düşmək üçün başqa nə öyrənilə bilər?
İxtisaslaşdırılmış dərsliklərlə, məsələn, qeyri-riyaziyyat ixtisaslarının tələbələri üçün hesablama ilə diferensial hesablama dünyasına daha çox dalmağa başlamaq daha yaxşıdır. Sonra daha xüsusi ədəbiyyata keçə bilərsiniz.
Demək lazımdır ki, diferensial tənliklərlə yanaşı, inteqral tənliklər də var, ona görə də hər zaman səy göstərməli və öyrənməli bir şeyiniz olacaq.
Nəticə
Oxuduqdan sonra ümid edirikBu məqalə sizə diferensial tənliklərin nə olduğu və onları necə düzgün həll etmək barədə fikir verdi.
Hər halda riyaziyyat bizə həyatda bir növ faydalı olacaq. Məntiqi və diqqəti inkişaf etdirir, onsuz hər insan əlsiz kimidir.
