Funksiya və onun xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi müasir riyaziyyatın əsas fəsillərindən biridir. İstənilən funksiyanın əsas komponenti təkcə onun xassələrini deyil, həm də bu funksiyanın törəməsinin parametrlərini əks etdirən qrafiklərdir. Gəlin bu çətin mövzuya nəzər salaq. Beləliklə, funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini tapmağın ən yaxşı yolu nədir?
Funksiya: Tərif
Hər hansı bir şəkildə başqa bir dəyərin dəyərlərindən asılı olan hər hansı dəyişən funksiya adlandırıla bilər. Məsələn, f(x2) funksiyası kvadratdır və bütün x dəstinin dəyərlərini təyin edir. Deyək ki, x=9, onda funksiyamızın dəyəri 92=81-ə bərabər olacaq.
Funksiyalar müxtəlif növlərdə olur: məntiqi, vektor, loqarifmik, triqonometrik, ədədi və s. Onların tədqiqatı ilə Lakroix, Laqranj, Leybniz və Bernulli kimi görkəmli ağıllar məşğul olurdu. Onların yazıları funksiyaların öyrənilməsinin müasir üsullarında dayaq rolunu oynayır. Minimum nöqtələri tapmazdan əvvəl funksiyanın və onun törəməsinin mənasını anlamaq çox vacibdir.
Törəmə və onun rolu
Bütün funksiyalar varonların dəyişən qiymətlərindən asılı olaraq, bu o deməkdir ki, onlar istənilən vaxt öz dəyərini dəyişə bilərlər. Qrafikdə bu, y oxu boyunca enən və ya yüksələn əyri kimi təsvir olunacaq (bu, qrafikin şaquli boyunca “y” ədədlərinin bütün dəstidir). Beləliklə, funksiyanın maksimum və minimum nöqtəsinin tərifi məhz bu “rəylənmələrlə” bağlıdır. Gəlin bu əlaqənin nə olduğunu izah edək.
Hər hansı bir funksiyanın törəməsi onun əsas xarakteristikalarını öyrənmək və funksiyanın nə qədər tez dəyişdiyini (yəni “x” dəyişənindən asılı olaraq dəyərini dəyişdirdiyini) hesablamaq üçün qrafik üzərində çəkilir. Funksiya artdığı anda onun törəməsinin qrafiki də artacaq, lakin istənilən saniyə funksiya azalmağa başlaya bilər, sonra isə törəmənin qrafiki azalacaq. Törəmənin mənfidən artıya keçdiyi nöqtələrə minimum nöqtələr deyilir. Minimum xalları necə tapacağınızı bilmək üçün törəmə anlayışını daha yaxşı başa düşməlisiniz.
Törəməni necə hesablamaq olar?
Funksiyanın törəməsinin müəyyən edilməsi və hesablanması diferensial hesablamadan bir neçə anlayışı nəzərdə tutur. Ümumiyyətlə, törəmənin tərifini belə ifadə etmək olar: bu, funksiyanın dəyişmə sürətini göstərən dəyərdir.
Bir çox tələbələr üçün bunu müəyyən etməyin riyazi yolu mürəkkəb görünsə də, əslində hər şey daha sadədir. Sadəcə izləmək lazımdırhər hansı bir funksiyanın törəməsinin tapılması üçün standart plan. Aşağıda diferensiallaşdırma qaydalarını tətbiq etmədən və törəmələr cədvəlini əzbərləmədən funksiyanın minimum nöqtəsini necə tapa biləcəyiniz təsvir edilir.
- Siz qrafikdən istifadə edərək funksiyanın törəməsini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün funksiyanın özünü təsvir etməli, sonra onun üzərində bir nöqtə götürməlisiniz (Şəkildə A nöqtəsi) Absis oxuna şaquli olaraq aşağı xətt çəkin (x0 nöqtəsi) və A nöqtəsində qrafik funksiyası üçün tangens çəkin. Absis oxu və tangens a bucağı əmələ gətirir. Funksiyanın nə qədər sürətlə artdığının dəyərini hesablamaq üçün bu bucağın a tangensini hesablamalısınız.
- Məlum olur ki, x oxunun tangensi ilə istiqaməti arasındakı bucağın tangensi funksiyanın A nöqtəsi olan kiçik sahədə törəməsidir. Bu üsul törəməni təyin etmək üçün həndəsi üsul hesab olunur..
Funksiyanın tədqiqi üsulları
Məktəb riyaziyyat kurikulumunda funksiyanın minimum nöqtəsini iki yolla tapmaq mümkündür. Biz artıq qrafikdən istifadə edərək birinci metodu təhlil etdik, lakin törəmənin ədədi dəyərini necə təyin etmək olar? Bunu etmək üçün siz törəmənin xassələrini təsvir edən və "x" kimi dəyişənləri ədədlərə çevirməyə kömək edən bir neçə düstur öyrənməli olacaqsınız. Aşağıdakı üsul universaldır, ona görə də o, demək olar ki, bütün növ funksiyalara (həm həndəsi, həm də loqarifmik) tətbiq edilə bilər.
- Funksiyanı törəmə funksiyaya bərabərləşdirmək, sonra isə qaydalardan istifadə edərək ifadəni sadələşdirmək lazımdırfərqləndirmə.
- sıfıra bölün).
- Bundan sonra siz bütün ifadəni sıfıra bərabərləşdirməklə funksiyanın orijinal formasını sadə tənliyə çevirməlisiniz. Məsələn, əgər funksiya belə görünürdüsə: f(x)=2x3+38x, onda diferensiasiya qaydalarına görə onun törəməsi f'(x)=3x-ə bərabərdir. 2 +1. Sonra bu ifadəni aşağıdakı formanın tənliyinə çeviririk: 3x2+1=0.
- Tənliyi həll edib "x" nöqtələrini tapdıqdan sonra onları x oxuna çəkib qeyd olunan nöqtələr arasında bu sahələrdə törəmənin müsbət və ya mənfi olduğunu müəyyən etməlisiniz. Təyin edildikdən sonra funksiyanın hansı nöqtədə azalmağa başladığı, yəni işarəni mənfidən əksinə dəyişdirdiyi aydın olacaq. Məhz bu yolla siz həm minimum, həm də maksimum balları tapa bilərsiniz.
Fərqləndirmə qaydaları
Funksiyanı və onun törəməsini öyrənməyin ən əsas hissəsi fərqləndirmə qaydalarını bilməkdir. Yalnız onların köməyi ilə çətin ifadələri və böyük mürəkkəb funksiyaları çevirmək mümkündür. Gəlin onlarla tanış olaq, kifayət qədər çoxdur, lakin həm güc, həm də loqarifmik funksiyaların nizamlı xassələrinə görə hamısı çox sadədir.
- İstənilən sabitin törəməsi sıfırdır (f(x)=0). Yəni f(x)=x5+ x - 160 törəməsi aşağıdakı formanı alacaq: f' (x)=5x4+1.
- İki şərtin cəminin törəməsi: (f+w)'=f'w + fw'.
- Loqarifmik funksiyanın törəməsi: (logad)'=d/ln ad. Bu düstur bütün növ loqarifmlərə aiddir.
- Dərəcənin törəməsi: (x)'=nxn-1. Məsələn, (9x2)'=92x=18x.
- Sinusoidal funksiyanın törəməsi: (sin a)'=cos a. Əgər a bucağının günahı 0,5-dirsə, onun törəməsi √3/2-dir.
Ekstremum xal
Biz artıq minimum xalları necə tapacağımızı anladıq, lakin funksiyanın maksimum nöqtələri anlayışı var. Minimum funksiyanın mənfidən artıya keçdiyi nöqtələri ifadə edirsə, maksimum nöqtələr x oxundakı funksiyanın törəməsinin artıdan əksinə dəyişdiyi nöqtələrdir - mənfi.
Yuxarıda təsvir edilən metoddan istifadə edərək maksimum xalları tapa bilərsiniz, yalnız nəzərə alınmalıdır ki, onlar funksiyanın azalmağa başladığı sahələri göstərir, yəni törəmə sıfırdan az olacaq.
Riyaziyyatda hər iki anlayışı ümumiləşdirmək, onları "ekstremum nöqtələr" ifadəsi ilə əvəz etmək adətdir. Tapşırıq bu nöqtələri müəyyən etməyi tələb etdikdə, bu o deməkdir ki, bu funksiyanın törəməsini hesablamaq və minimum və maksimum xalları tapmaq lazımdır.
