Funksiyaların və onların qrafiklərinin öyrənilməsi orta məktəb kurikulumu çərçivəsində xüsusi diqqət yetirilən mövzudur. Riyaziyyatdan imtahanın profil səviyyəsinə riyazi analizin bəzi əsasları - diferensiallaşma daxildir. Bəzi məktəblilər funksiyanın və törəmənin qrafiklərini qarışdırdıqlarından, alqoritmləri də unudurlar ki, bu mövzuda problemlər yaranır. Bu məqalə əsas tapşırıq növlərini və onların həlli yollarını əhatə edəcək.
Funksiya dəyəri nədir?
Riyaziyyat funksiyası xüsusi tənlikdir. Rəqəmlər arasında əlaqə qurur. Funksiya arqumentin dəyərindən asılıdır.
Funksiyanın qiyməti verilmiş düstura görə hesablanır. Bunu etmək üçün, bu düsturdakı etibarlı dəyərlər diapazonuna uyğun gələn hər hansı bir arqumenti x yerinə qoyun və lazımi riyazi əməliyyatları yerinə yetirin. Nə?
Funksiyanın ən kiçik qiymətini necə tapmaq olar,qrafik funksiyasından istifadə edirsiniz?
Funksiyanın arqumentdən asılılığının qrafik təsvirinə funksiya qrafiki deyilir. O, müəyyən vahid seqmenti olan müstəvidə qurulub, burada dəyişənin və ya arqumentin dəyəri üfüqi absis oxu boyunca, uyğun funksiya dəyəri isə şaquli ordinat oxları boyunca çəkilir.
Arqumentin dəyəri nə qədər böyükdürsə, o, qrafikdə bir o qədər sağda yerləşir. Və funksiyanın özünün dəyəri nə qədər böyükdürsə, nöqtə bir o qədər yüksəkdir.
Bu nə deyir? Funksiyanın ən kiçik dəyəri qrafikdə ən aşağı olan nöqtə olacaqdır. Onu qrafik seqmentində tapmaq üçün sizə lazımdır:
1) Bu seqmentin sonlarını tapın və qeyd edin.
2) Bu seqmentdə hansı nöqtənin ən aşağı olduğunu vizual olaraq müəyyənləşdirin.
3) Cavab olaraq onun ədədi dəyərini yazın, hansı ki, nöqtəni y oxuna proyeksiya etməklə müəyyən edilə bilər.
Törəmə diaqramda ekstremum nöqtələri. Hara baxmaq lazımdır?
Lakin məsələlərin həlli zamanı bəzən funksiyanın deyil, onun törəməsinin qrafiki verilir. Təsadüfən axmaq səhvə yol verməmək üçün şərtləri diqqətlə oxumaq daha yaxşıdır, çünki bu, ekstremum nöqtələri harada axtarmaq lazım olduğundan asılıdır.
Deməli, törəmə funksiyanın ani artım sürətidir. Həndəsi tərifə görə, törəmə birbaşa verilmiş nöqtəyə çəkilmiş tangensin yamacına uyğun gəlir.
Məlumdur ki, ekstremal nöqtələrdə tangens Ox oxuna paraleldir. Bu o deməkdir ki, onun yamacı 0-dır.
Bundan belə nəticəyə gəlmək olar ki, ekstremum nöqtələrində törəmə x oxunda yerləşir və ya yox olur. Lakin əlavə olaraq, bu nöqtələrdə funksiya öz istiqamətini dəyişir. Yəni bir müddət artımdan sonra azalmağa başlayır və buna uyğun olaraq törəmə müsbətdən mənfiyə doğru dəyişir. Və ya əksinə.
Törəmə müsbətdən mənfi olarsa, bu maksimum nöqtədir. Mənfidən müsbət olarsa - minimum nöqtə.
Vacib: tapşırıqda minimum və ya maksimum nöqtəni təyin etməlisinizsə, cavab olaraq absis oxu boyunca müvafiq dəyəri yazmalısınız. Amma funksiyanın dəyərini tapmaq lazımdırsa, onda siz əvvəlcə arqumentin müvafiq dəyərini funksiyaya əvəz etməli və onu hesablamalısınız.
Törəmə ilə ekstremum xalları necə tapmaq olar?
Baxılan nümunələr əsasən imtahanın törəmə və ya antitörəmə qrafiki ilə işləməyi nəzərdə tutan 7 nömrəli tapşırığına aiddir. Lakin USE-nin 12-ci tapşırığı - seqmentdə funksiyanın ən kiçik qiymətini tapmaq (bəzən ən böyüyü) - heç bir təsvir olmadan yerinə yetirilir və riyazi analizdə əsas bacarıqlar tələb olunur.
Bunu yerinə yetirmək üçün törəmədən istifadə edərək ekstremum nöqtələrini tapa bilməlisiniz. Onları tapmaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:
- Funksiyanın törəməsini tapın.
- Sıfıra təyin edin.
- Tənliyin köklərini tapın.
- Alınan xalların ekstremum və ya əyilmə nöqtələri olub olmadığını yoxlayın.
Bunu etmək üçün diaqram çəkin və davam edinyaranan intervallar seqmentlərə aid ədədləri törəmədə əvəz etməklə törəmənin əlamətlərini təyin edir. Əgər tənliyi həll edərkən ikiqat çoxluğun kökləri varsa, bunlar əyilmə nöqtələridir.
Teoremləri tətbiq edərək, hansı nöqtələrin minimum, hansının maksimum olduğunu müəyyənləşdirin
Törəmə ilə funksiyanın ən kiçik qiymətini hesablayın
Lakin bütün bu hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra x oxu boyunca minimum və maksimum nöqtələrin qiymətlərini tapacağıq. Bəs seqmentdə funksiyanın ən kiçik qiymətini necə tapmaq olar?
Müəyyən bir nöqtədə funksiyaya uyğun gələn ədədi tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Arqumentin dəyərini bu düsturla əvəz etməlisiniz.
Minimum və maksimum ballar seqmentdəki funksiyanın ən kiçik və ən böyük dəyərinə uyğundur. Beləliklə, funksiyanın qiymətini tapmaq üçün alınan x qiymətlərindən istifadə edərək funksiyanı hesablamaq lazımdır.
Vacib! Tapşırıq minimum və ya maksimum nöqtəni təyin etməyi tələb edirsə, cavab olaraq x oxu boyunca müvafiq dəyəri yazmalısınız. Amma funksiyanın qiymətini tapmaq lazımdırsa, o zaman əvvəlcə arqumentin uyğun qiymətini funksiyaya əvəz etməli və lazımi riyazi əməliyyatları yerinə yetirməlisiniz.
Bu seqmentdə aşağı göstəricilər yoxdursa, mən nə etməliyəm?
Bəs ekstremum nöqtələri olmayan seqmentdə funksiyanın ən kiçik qiymətini necə tapmaq olar?
Bu o deməkdir ki, funksiya onun üzərində monoton şəkildə azalır və ya artır. Sonra bu seqmentin ekstremal nöqtələrinin dəyərini funksiyaya əvəz etməlisiniz. İki yol var.
1) Hesabladıqdan sonratörəmə və onun müsbət və ya mənfi olduğu intervallar, funksiyanın verilmiş seqmentdə azalan və ya artdığı qənaətinə gəlmək üçün.
Onlara uyğun olaraq, funksiyaya arqumentin böyük və ya kiçik dəyərini əvəz edin.
2) Sadəcə olaraq hər iki nöqtəni funksiyaya əvəz edin və nəticədə alınan funksiya dəyərlərini müqayisə edin.
Hansı tapşırıqlarda törəmənin tapılması isteğe bağlıdır
Bir qayda olaraq, USE tapşırıqlarında siz hələ də törəməni tapmalısınız. Yalnız bir neçə istisna var.
1) Parabola.
Parabolanın təpəsi düsturla tapılır.
Əgər < 0 olarsa, parabolanın budaqları aşağıya doğru yönəldilir. Onun pik nöqtəsi isə maksimum nöqtədir.
Əgər > 0 olarsa, onda parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdirsə, təpə minimum nöqtədir.
Parabolanın təpə nöqtəsini hesabladıqdan sonra onun dəyərini funksiyada əvəz etməli və funksiyanın uyğun qiymətini hesablamalısınız.
2) Funksiya y=tg x. Və ya y=ctg x.
Bu funksiyalar monoton şəkildə artır. Buna görə də, arqumentin dəyəri nə qədər böyükdürsə, funksiyanın özünün dəyəri də bir o qədər böyükdür. Sonra, nümunələrlə seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini necə tapacağımıza baxacağıq.
Əsas tapşırıq növləri
Tapşırıq: funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik dəyəri. Diaqramdakı nümunə.
Şəkildə f (x) funksiyasının törəməsinin [-6; 6]. Seqmentin hansı nöqtəsində [-3; 3] f(x) ən kiçik dəyəri alır?
Beləliklə, yeni başlayanlar üçün müəyyən edilmiş seqmenti seçməlisiniz. Bunun üzərində funksiya bir dəfə sıfır qiyməti alır və işarəsini dəyişir - bu ekstremum nöqtəsidir. Mənfidən törəmə müsbətə çevrildiyindən, bu, funksiyanın minimum nöqtəsidir. Bu nöqtə arqument 2-nin dəyərinə uyğundur.
Cavab: 2.
Nümunələrə baxmağa davam edin. Tapşırıq: seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın.
Y=(x - 8) funksiyasının ən kiçik qiymətini [6; 8].
1. Mürəkkəb funksiyanın törəməsini götürün.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Əldə edilən törəməni sıfıra bərabərləşdirin və tənliyi həll edin.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 və ya ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, kök yoxdur
3. Funksiyada ekstremal nöqtələrin qiymətini, eləcə də tənliyin əldə edilmiş köklərini əvəz edin.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Cavab: -1.
Beləliklə, bu məqalədə ixtisaslaşdırılmış riyaziyyatda USE tapşırıqlarını uğurla həll etmək üçün zəruri olan seqmentdə funksiyanın ən kiçik qiymətini necə tapmaq barədə əsas nəzəriyyə nəzərdən keçirilmişdir. Həmçinin riyazi elementlərtəhlil imtahanın C hissəsindən tapşırıqların həlli zamanı istifadə olunur, lakin aydındır ki, onlar müxtəlif mürəkkəblik səviyyəsini təmsil edir və onların həlli üçün alqoritmləri bir materialın çərçivəsinə sığdırmaq çətindir.
