Riyaziyyatda mühüm anlayış funksiyadır. Onun köməyi ilə siz təbiətdə baş verən bir çox prosesləri əyani şəkildə canlandıra, düsturlar, cədvəllər və qrafiklərdən istifadə edərək müəyyən kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni əks etdirə bilərsiniz. Buna misal olaraq maye qatının cismə təzyiqinin batırılma dərinliyindən, sürətlənmənin - müəyyən qüvvənin cismə təsirindən, temperaturun yüksəlməsindən - ötürülən enerjidən və bir çox başqa proseslərdən asılılığını göstərmək olar. Funksiyanın öyrənilməsi qrafikin qurulmasını, onun xassələrinin, əhatə dairəsinin və qiymətlərinin, artım və azalma intervallarının aydınlaşdırılmasını nəzərdə tutur. Bu prosesdə vacib məqam ekstremum nöqtələrinin tapılmasıdır. Bunu necə düzgün etmək haqqında və söhbət davam edəcək.
Konseptin özü haqqında konkret misalda
Tibbdə funksiya qrafiki çəkmək xəstənin bədənində xəstəliyin gedişindən xəbər verə bilər, onun vəziyyətini əyani şəkildə əks etdirir. Fərz edək ki, günlərlə vaxt OX oxu boyunca, insan bədəninin temperaturu isə OY oxu boyunca çəkilir. Şəkil bu göstəricinin necə kəskin yüksəldiyini aydın şəkildə göstərir vəsonra düşür. Funksiya əvvəllər artaraq azalmağa başladığı və əksinə anları əks etdirən tək nöqtələri görmək də asandır. Bunlar ekstremal nöqtələrdir, yəni xəstənin temperaturunun bu halda kritik dəyərləri (maksimum və minimum), bundan sonra onun vəziyyətində dəyişikliklər baş verir.
Əyilmə bucağı
Şəkildən funksiyanın törəməsinin necə dəyişdiyini müəyyən etmək asandır. Qrafikin düz xətləri zamanla yuxarı qalxarsa, o zaman müsbətdir. Və onlar nə qədər dik olsalar, meyl açısı artdıqca törəmənin dəyəri bir o qədər böyük olar. Azalma dövrlərində bu dəyər ekstremal nöqtələrdə sıfıra çevrilərək mənfi qiymətlər alır və sonuncu halda törəmənin qrafiki OX oxuna paralel çəkilir.
Hər hansı digər prosesə eyni şəkildə yanaşmaq lazımdır. Lakin bu konsepsiyanın ən yaxşı cəhəti qrafiklərdə aydın şəkildə göstərilən müxtəlif cisimlərin hərəkətini izah edə bilər.
Hərəkət
Fərz edək ki, bəzi cisim bərabər sürət qazanaraq düz xətt üzrə hərəkət edir. Bu dövrdə cismin koordinatlarında dəyişiklik qrafik olaraq müəyyən bir əyrini təmsil edir, riyaziyyatçı onu parabolanın budağı adlandırır. Eyni zamanda, funksiya daim artır, çünki koordinat göstəriciləri hər saniyə daha sürətli və daha sürətli dəyişir. Sürət qrafiki törəmənin davranışını göstərir, dəyəri də artır. Bu o deməkdir ki, hərəkətin kritik nöqtələri yoxdur.
Bu, qeyri-müəyyən müddətə davam edəcəkdi. Ancaq bədən birdən yavaşlamağa qərar verərsə, dayandırın və başqa bir yerdə hərəkət etməyə başlayınistiqamət? Bu halda koordinat göstəriciləri azalmağa başlayacaq. Və funksiya kritik dəyəri keçəcək və artandan azalana keçəcək.
Bu misalda siz bir daha başa düşə bilərsiniz ki, funksiya qrafikindəki ekstremum nöqtələri onun monotonluğu dayandırdığı anlarda görünür.
Törəmənin fiziki mənası
Əvvəlcə təsvir edilənlər aydın şəkildə göstərdi ki, törəmə mahiyyətcə funksiyanın dəyişmə sürətidir. Bu zəriflik öz fiziki mənasını ehtiva edir. Ekstremal nöqtələr qrafikdə kritik sahələrdir. Sıfıra bərabər olan törəmənin dəyərini hesablamaqla onları tapmaq və aşkar etmək mümkündür.
Başqa əlamət var ki, bu da ekstremum üçün kifayət qədər şərtdir. Belə əyilmə yerlərində törəmə işarəsini dəyişir: maksimum bölgədə "+"-dan "-"-ə, minimum bölgədə isə "-"-dən "+"-a.
Cazibə qüvvəsinin təsiri altında hərəkət
Başqa bir vəziyyəti təsəvvür edək. Top oynayan uşaqlar onu elə atdılar ki, o, üfüqə bucaq altında hərəkət etməyə başladı. İlkin anda bu obyektin sürəti ən böyük idi, lakin cazibə qüvvəsinin təsiri altında azalmağa başladı və hər saniyə eyni dəyərlə təxminən 9,8 m/s2. Bu, sərbəst düşmə zamanı yerin cazibə qüvvəsinin təsiri altında baş verən sürətlənmənin qiymətidir. Ayda o, təxminən altı dəfə kiçik olardı.
Bədənin hərəkətini təsvir edən qrafik budaqları olan paraboladır,aşağı. Ekstremal nöqtələri necə tapmaq olar? Bu halda, bu, bədənin (topun) sürətinin sıfır qiymətini aldığı funksiyanın təpəsidir. Funksiyanın törəməsi sıfıra çevrilir. Bu halda, istiqamət və deməli, sürətin dəyəri əksinə dəyişir. Bədən hər saniyə daha sürətli və daha sürətli aşağı uçur və eyni miqdarda sürətlənir - 9,8 m/s2.
İkinci törəmə
Əvvəlki halda sürət modulunun qrafiki düz xətt kimi çəkilir. Bu kəmiyyətin dəyəri daim azaldığından bu xətt əvvəlcə aşağıya doğru yönəldilir. Vaxt nöqtələrindən birində sıfıra çatdıqdan sonra bu dəyərin göstəriciləri artmağa başlayır və sürət modulunun qrafik təsvirinin istiqaməti kəskin şəkildə dəyişir. Xətt indi yuxarı baxır.
Koordinatın zaman törəməsi olan Sürət də kritik nöqtəyə malikdir. Bu bölgədə əvvəlcə azalan funksiya artmağa başlayır. Bu funksiyanın törəməsinin ekstremum nöqtəsinin yeridir. Bu halda tangensin yamacı sıfıra bərabər olur. Sürət isə koordinatın zamana görə ikinci törəməsi olmaqla işarəni “-”dən “+”-a dəyişir. Və vahid yavaşdan hərəkət bərabər sürətlənir.
Sürətləndirmə qrafiki
İndi dörd şəkli nəzərdən keçirin. Onların hər biri sürətlənmə kimi fiziki kəmiyyətin zamanla dəyişmə qrafikini göstərir. "A" vəziyyətində onun dəyəri müsbət və sabit olaraq qalır. Bu o deməkdir ki, bədənin sürəti, onun koordinatı kimi, daim artır. Əgər atəsəvvür edin ki, obyekt sonsuz uzun müddət bu şəkildə hərəkət edəcək, koordinatın zamandan asılılığını əks etdirən funksiya daim artacaq. Buradan belə nəticə çıxır ki, onun kritik bölgələri yoxdur. Törəmə qrafikində ekstremum nöqtələri də yoxdur, yəni xətti dəyişən sürət.
Eyni şey müsbət və daim artan sürətlənmə ilə "B" halına aiddir. Düzdür, koordinatlar və sürət üçün qrafiklər burada bir qədər mürəkkəb olacaq.
Sürətlənmə sıfıra meyilli olduqda
"B" şəklinə baxdıqda bədənin hərəkətini xarakterizə edən tamam başqa şəkil görə bilərsiniz. Onun sürəti qrafik olaraq budaqları aşağıya doğru yönəlmiş parabola kimi təsvir olunacaq. Sürətin dəyişməsini təsvir edən xətti OX oxu ilə kəsişənə qədər və daha da davam etdirsək, onda təsəvvür edə bilərik ki, bu kritik qiymətə qədər sürətlənmə sıfıra bərabər olur, cismin sürəti artacaq. getdikcə daha yavaş. Koordinat funksiyasının törəməsinin ekstremum nöqtəsi parabolanın lap yuxarı hissəsində olacaq, bundan sonra cisim hərəkətin xarakterini kökündən dəyişəcək və digər istiqamətdə hərəkət etməyə başlayacaq.
Sonuncu halda, "G", hərəkətin xarakterini dəqiq müəyyən etmək mümkün deyil. Burada yalnız nəzərə alınan bəzi dövr üçün sürətlənmə olmadığını bilirik. Bu o deməkdir ki, obyekt yerində qala bilər və ya hərəkət sabit sürətlə baş verir.
Əlavə tapşırığını əlaqələndirin
Gəlin məktəbdə cəbrin öyrənilməsində tez-tez rast gəlinən və onlar üçün təklif olunan tapşırıqlara keçəkimtahana hazırlıq. Aşağıdakı şəkildə funksiyanın qrafiki göstərilir. Ekstremum xalların cəmini hesablamaq tələb olunur.
Funksiya xarakteristikalarında dəyişiklik müşahidə olunduğu kritik bölgələrin koordinatlarını təyin etməklə y oxu üçün bunu edək. Sadəcə olaraq, bükülmə nöqtələri üçün x oxu boyunca dəyərləri tapırıq və sonra yaranan şərtləri əlavə etməyə davam edirik. Qrafikə əsasən onların aşağıdakı qiymətləri götürdükləri açıq-aydın görünür: -8; -7; -5; -3; -2; bir; 3. Bu, -21-ə qədər toplanır, bu cavabdır.
Optimal həll
Praktik tapşırıqların yerinə yetirilməsində optimal həll yolunun seçilməsinin nə qədər vacib ola biləcəyini izah etmək lazım deyil. Axı, məqsədə çatmağın bir çox yolu var və ən yaxşı çıxış yolu, bir qayda olaraq, yalnız birdir. Bu, məsələn, gəmilərin, kosmik gəmilərin və təyyarələrin, memarlıq strukturlarının layihələndirilməsi zamanı bu süni obyektlərin optimal formasını tapmaq üçün son dərəcə zəruridir.
Nəqliyyat vasitələrinin sürəti əsasən cazibə qüvvələrinin və bir çox digər göstəricilərin təsiri altında yaranan həddindən artıq yüklənmələrdən su və havada hərəkət edərkən qarşılaşdıqları müqavimətin bacarıqlı şəkildə minimuma endirilməsindən asılıdır. Dənizdəki gəmi fırtına zamanı sabitlik kimi keyfiyyətlərə ehtiyac duyur, çay gəmisi üçün minimum su axını vacibdir. Optimal dizaynı hesablayarkən, qrafikdəki ekstremum nöqtələri vizual olaraq mürəkkəb bir problemin ən yaxşı həlli haqqında fikir verə bilər. Bu cür tapşırıqlar tez-tez oluriqtisadiyyatda, iqtisadi sahələrdə, bir çox digər həyat vəziyyətlərində həll olunur.
Qədim tarixdən
Fövqəladə problemlər hətta qədim müdrikləri də məşğul edirdi. Yunan alimləri riyazi hesablamalar vasitəsilə sahə və həcmlərin sirrini müvəffəqiyyətlə açdılar. Eyni perimetri olan müxtəlif fiqurlardan ibarət müstəvidə dairənin həmişə ən böyük sahəyə malik olduğunu ilk onlar başa düşdülər. Eynilə, bir top kosmosda eyni səth sahəsi olan digər obyektlər arasında maksimum həcmə malikdir. Arximed, Evklid, Aristotel, Apolloni kimi məşhur şəxsiyyətlər özlərini bu cür problemlərin həllinə həsr etmişlər. Heron, hesablamalara əl ataraq dahiyanə qurğular quran ekstremum nöqtələri tapmağı çox yaxşı bacardı. Bunlara eyni prinsiplə işləyən buxar, nasoslar və turbinlər vasitəsilə hərəkət edən avtomatik maşınlar daxildir.
Karfagenin tikintisi
Bir əfsanə var ki, onun süjeti ekstremal problemlərdən birinin həllinə əsaslanır. Yardım üçün müdriklərə müraciət edən Finikiya şahzadəsinin nümayiş etdirdiyi işgüzar yanaşmanın nəticəsi Karfagenin tikintisi oldu. Bu qədim və məşhur şəhər üçün torpaq sahəsi Didoya (hökmdarın adı belə idi) Afrika qəbilələrindən birinin başçısı tərəfindən təqdim edilmişdir. Torpaq sahəsi əvvəlcə ona o qədər də böyük görünmürdü, çünki müqaviləyə əsasən, öküz dərisi ilə örtülməli idi. Lakin şahzadə əsgərlərinə onu nazik zolaqlara kəsib onlardan kəmər düzəltməyi əmr etdi. O qədər uzun oldu ki, saytı əhatə etdi,bütün şəhərin uyğunlaşdığı yer.
Hesabın mənşəyi
Və indi qədim zamanlardan sonrakı dövrə keçək. Maraqlıdır ki, 17-ci əsrdə Kepler bir şərab satıcısı ilə görüşərək riyazi analizin əsaslarını anlamağa təkan verdi. Tacir öz peşəsini o qədər yaxşı bilirdi ki, çəlləkdəki içkinin həcmini sadəcə içərisinə dəmir turniket salmaqla asanlıqla müəyyən edə bilirdi. Belə bir maraq üzərində düşünən məşhur alim bu dilemmanı özü üçün həll etməyi bacarıb. Məlum olub ki, o dövrün mahir bişirənləri qablar hazırlamağı elə bilmişlər ki, bərkidici halqaların çevrəsinin müəyyən hündürlüyündə və radiusunda onlar maksimum tutuma malik olacaqlar.
Bu, Kepler üçün daha çox düşünmək üçün idi. Bochars öz təcrübələrini nəsildən-nəslə ötürməklə, uzun axtarışlar, səhvlər və yeni cəhdlər nəticəsində optimal həll yoluna gəlib. Lakin Kepler prosesi sürətləndirmək və eyni şeyi riyazi hesablamalar vasitəsilə qısa müddətdə necə edəcəyini öyrənmək istəyirdi. Həmkarları tərəfindən mənimsənilən onun bütün inkişafı Fermat və Nyutonun - Leibniz-in indi məlum olan teoremlərinə çevrildi.
Maksimum sahə problemi
Təsəvvür edək ki, uzunluğu 50 sm olan naqilimiz var. Ondan ən böyük sahəsi olan düzbucaqlı necə düzəldilir?
Qərar verməyə başlayanda sadə və məlum həqiqətlərdən çıxış etmək lazımdır. Fiqurumuzun perimetrinin 50 sm olacağı aydındır. Həm də hər iki tərəfin iki qat uzunluğundan ibarətdir. Bu o deməkdir ki, onlardan birini "X" kimi təyin etməklə, digərini (25 - X) kimi ifadə etmək olar.
Buradan alırıqX-ə bərabər olan bir sahə (25 - X). Bu ifadə bir çox qiymət alan funksiya kimi təqdim edilə bilər. Problemin həlli onların maksimumunu tapmağı tələb edir, yəni siz ekstremum nöqtələrini tapmalısınız.
Bunun üçün birinci törəməni tapırıq və onu sıfıra bərabərləşdiririk. Nəticə sadə tənlikdir: 25 - 2X=0.
Bundan öyrənirik ki, tərəflərdən biri X=12, 5.
Buna görə də başqa: 25 – 12, 5=12, 5.
Məlum olur ki, məsələnin həlli tərəfi 12,5 sm olan kvadrat olacaq.
Maksimum sürəti necə tapmaq olar
Daha bir misala baxaq. Təsəvvür edin ki, düzxətli hərəkəti S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 tənliyi ilə təsvir edilən bir cisim var, burada məsafə səyahət metrlə, vaxt isə saniyələrlə ifadə edilir. Maksimum sürəti tapmaq tələb olunur. Bunu necə etmək olar? Yüklənmiş sürəti, yəni ilk törəməni tapın.
Tənliyi alırıq: V=- 3t2 + 18t – 24. İndi məsələni həll etmək üçün yenidən ekstremum nöqtələrini tapmaq lazımdır. Bu, əvvəlki tapşırıqda olduğu kimi edilməlidir. Sürətin ilk törəməsini tapın və onu sıfıra bərabərləşdirin.
Alırıq: - 6t + 18=0. Beləliklə, t=3 s. Bu, bədənin sürətinin kritik bir dəyər aldığı vaxtdır. Alınan məlumatları sürət tənliyində əvəz edirik və əldə edirik: V=3 m/s.
Bunun tam olaraq maksimum sürət olduğunu necə başa düşmək olar, çünki funksiyanın kritik nöqtələri onun maksimum və ya minimum qiymətləri ola bilər? Yoxlamaq üçün ikinci tapmaq lazımdırsürətin törəməsi. Mənfi işarə ilə 6 rəqəmi kimi ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, tapılan nöqtə maksimumdur. İkinci törəmənin müsbət dəyəri olduğu halda, minimum olacaqdır. Beləliklə, tapılan həll düzgün çıxdı.
Nümunə kimi verilən tapşırıqlar funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapmaqla həll edilə bilən tapşırıqların yalnız bir hissəsidir. Əslində daha çoxları var. Və belə biliklər insan sivilizasiyası üçün qeyri-məhdud imkanlar açır.
