Diqqətinizə çatdırılan məqalədə riyazi modellərdən nümunələr təqdim edirik. Bundan əlavə, biz modellərin yaradılması mərhələlərinə diqqət yetirəcəyik və riyazi modelləşdirmə ilə bağlı bəzi tapşırıqları təhlil edəcəyik.
Daha bir sualımız iqtisadiyyatda riyazi modellər, misallar haqqındadır, onların tərifini bir az sonra nəzərdən keçirəcəyik. Söhbətimizə “model” anlayışı ilə başlamağı, onların təsnifatını qısaca nəzərdən keçirməyi və əsas suallarımıza keçməyi təklif edirik.
"model" anlayışı
Biz tez-tez "model" sözünü eşidirik. Bu nədir? Bu terminin bir çox tərifi var, onlardan yalnız üçü bunlardır:
- bu obyektin orijinalının bəzi xassələrini və ya xüsusiyyətlərini və s. əks etdirən məlumatı qəbul etmək və saxlamaq üçün yaradılmış xüsusi obyekt (bu xüsusi obyekt müxtəlif formalarda ifadə edilə bilər: zehni, işarələrdən istifadə edərək təsvir, və s.);
- modeli həm də hər hansı konkret vəziyyətin, həyatın və ya görüntünün nümayişi deməkdirmenecer;
- model istənilən obyektin kiçildilmiş nüsxəsi kimi xidmət edə bilər (onlar daha ətraflı tədqiq və təhlil üçün yaradılmışdır, çünki model strukturu və əlaqələri əks etdirir).
Əvvəllər deyilənlərin hamısına əsaslanaraq kiçik bir nəticə çıxara bilərik: model mürəkkəb sistemi və ya obyekti ətraflı öyrənməyə imkan verir.
Bütün modellər bir sıra meyarlara görə təsnif edilə bilər:
- istifadə sahəsinə görə (təhsil, eksperimental, elmi və texniki, oyun, simulyasiya);
- dinamikaya görə (statik və dinamik);
- bilik sahəsi üzrə (fiziki, kimyəvi, coğrafi, tarixi, sosioloji, iqtisadi, riyazi);
- təqdimat yolu ilə (material və məlumat).
İnformasiya modelləri də öz növbəsində işarə və şifahi olaraq bölünür. Və simvolik - kompüterdə və qeyri-kompüterdə. İndi riyazi model nümunələrinin ətraflı nəzərdən keçirilməsinə keçək.
Riyazi model
Təxmin etdiyiniz kimi, riyazi model xüsusi riyazi simvollardan istifadə etməklə obyekt və ya hadisənin bəzi xüsusiyyətlərini əks etdirir. Ətraf aləmin nümunələrini özünəməxsus dildə modelləşdirmək üçün riyaziyyat lazımdır.
Riyazi modelləşdirmə metodu bu elmin yaranması ilə birlikdə olduqca uzun müddət əvvəl, minlərlə il əvvəl yaranmışdır. Bununla belə, bu modelləşdirmə metodunun inkişafına təkan kompüterlərin (elektron kompüterlərin) meydana çıxması ilə verilmişdir.
İndi keçək təsnifata. Bəzi əlamətlərə görə də həyata keçirilə bilər. Onlaraşağıdakı cədvəldə təqdim olunur.
| Elm sahəsi üzrə təsnifat | Fizika, sosiologiya, kimya və sairdə riyazi modellərin tətbiqi |
| Modelləşdirmə prosesində istifadə olunan riyazi aparata görə | Diferensial tənliklərə, diskret cəbri çevrilmələrə və buna bənzərlərə əsaslanan modellər |
| Məqsədləri modelləşdirməklə | Bu prinsipə əsasən təsviri, optimallaşdırma, çox kriteriya, oyun və simulyasiya modelləri var |
Biz dayandırmağı və sonuncu təsnifata daha yaxından nəzər salmağı təklif edirik, çünki o, modelləşdirmənin ümumi nümunələrini və yaradılan modellərin məqsədlərini əks etdirir.
Təsviri modellər
Bu fəsildə biz təsviri riyazi modellər üzərində daha ətraflı dayanmağı təklif edirik. Hər şeyi çox aydınlaşdırmaq üçün bir nümunə veriləcək.
Başlamaq üçün bu görünüşü təsviri adlandırmaq olar. Bu onunla bağlıdır ki, biz sadəcə hesablamalar və proqnozlar edirik, lakin tədbirin nəticəsinə heç bir şəkildə təsir edə bilmərik.
Təsviri riyazi modelin parlaq nümunəsi Günəş sistemimizin genişliyini işğal etmiş bir kometanın uçuş yolunun, sürətinin, Yerdən məsafəsinin hesablanmasıdır. Bu model təsviridir, çünki əldə edilən bütün nəticələr bizi yalnız bir növ təhlükə barədə xəbərdar edə bilər. Hadisənin nəticəsinə təsir etmirik, təəssüf ki, yoxBacarmaq. Lakin əldə edilən hesablamalara əsasən, Yer kürəsində həyatı xilas etmək üçün istənilən tədbiri görmək mümkündür.
Optimallaşdırma modelləri
İndi biz iqtisadi və riyazi modellərdən bir az danışacağıq, onların nümunələri müxtəlif vəziyyətlər ola bilər. Bu vəziyyətdə, müəyyən şərtlərdə düzgün cavabı tapmağa kömək edən modellərdən danışırıq. Onların müəyyən parametrləri olmalıdır. Bunu çox aydınlaşdırmaq üçün kənd təsərrüfatı hissəsindən bir nümunə nəzərdən keçirək.
Bizim taxıl anbarımız var, amma taxıl çox tez xarab olur. Bu halda, düzgün temperatur rejimini seçməliyik və saxlama prosesini optimallaşdırmalıyıq.
Beləliklə, "optimallaşdırma modeli" anlayışını müəyyən edə bilərik. Riyazi mənada bu, həlli müəyyən iqtisadi vəziyyətdə optimal həlli tapmağa kömək edən (həm xətti, həm də olmayan) tənliklər sistemidir. Biz riyazi model (optimallaşdırma) nümunəsini nəzərdən keçirdik, lakin əlavə etmək istərdim: bu tip ekstremal məsələlər sinfinə aiddir, onlar iqtisadi sistemin fəaliyyətini təsvir etməyə kömək edir.
Daha bir nüansa diqqət yetirin: modellər müxtəlif xarakterli ola bilər (aşağıdakı cədvələ baxın).
| deterministik | Bu halda, nəticə daxil edilmiş məlumatdan asılıdır |
| stokastik | Təsadüfi proseslərin təsviri. Bu halda, nəticə qeyri-müəyyən olaraq qalır |
Çox kriteriyalı modellər
İndi sizi bir az danışmağa dəvət edirikçoxməqsədli optimallaşdırmanın riyazi modeli. Bundan əvvəl biz hər hansı bir kriteriyaya görə prosesi optimallaşdırmaq üçün riyazi model nümunəsi vermişdik, bəs onların sayı çox olarsa necə?
Çox kriteriyalı tapşırığın parlaq nümunəsi böyük insan qrupları üçün düzgün, sağlam və eyni zamanda qənaətcil qidalanmanın təşkilidir. Bu cür tapşırıqlara çox vaxt orduda, məktəb yeməkxanalarında, yay düşərgələrində, xəstəxanalarda və s. rast gəlinir.
Bu problemdə bizə hansı meyarlar verilir?
- Qida sağlam olmalıdır.
- Yeməyə xərcləmə minimuma endirilməlidir.
Gördüyünüz kimi, bu məqsədlər heç də üst-üstə düşmür. Bu o deməkdir ki, problemi həll edərkən optimal həll yolunu, iki meyar arasında balansı axtarmaq lazımdır.
Oyun Modelləri
Oyun modellərindən danışarkən "oyun nəzəriyyəsi" anlayışını başa düşmək lazımdır. Sadə dillə desək, bu modellər real münaqişələrin riyazi modellərini əks etdirir. Sadəcə nəzərə alın ki, real münaqişədən fərqli olaraq, oyunun riyazi modelinin özünəməxsus qaydaları var.
İndi oyun nəzəriyyəsindən oyun modelinin nə olduğunu başa düşməyə kömək edəcək minimum məlumat olacaq. Beləliklə, modeldə mütləq partiyalar (iki və ya daha çox) var, onlara adətən oyunçu deyilir.
Bütün modellər bəzi xüsusiyyətlərə malikdir.
| Mövzular | Oyunçuların sayı |
| Strategiya | Mümkün əməliyyatlar üçün seçimlər |
| Ödəniş | Münaqişənin nəticəsi (qazanmaq və ya uduzmaq). |
Oyun modeli qoşa və ya çoxlu ola bilər. Əgər iki subyektimiz varsa, o zaman münaqişə qoşalaşır, daha çox olarsa - çox. Antaqonist oyunu da ayırd etmək olar, ona sıfır məbləğli oyun da deyilir. Bu, iştirakçılardan birinin qazancının digərinin itkisinə bərabər olduğu bir modeldir.
Simulyasiya modelləri
Bu bölmədə simulyasiya riyazi modellərinə diqqət yetirəcəyik. Tapşırıq nümunələri bunlardır:
- mikroorqanizmlərin sayının dinamikasının modeli;
- molekulların hərəkət modeli və s.
Bu halda söhbət real proseslərə mümkün qədər yaxın olan modellərdən gedir. Ümumiyyətlə, təbiətdəki hər hansı bir təzahürü təqlid edirlər. Birinci halda, məsələn, bir koloniyada qarışqaların sayının dinamikasını modelləşdirə bilərik. Bu vəziyyətdə hər bir fərdin taleyini müşahidə edə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə riyazi təsvir nadir hallarda istifadə olunur, daha tez-tez yazılı şərtlər var:
- beş gündən sonra dişi yumurta qoyur;
- 20 gün sonra qarışqa ölür və s.
Beləliklə, böyük sistemi təsvir etmək üçün simulyasiya modellərindən istifadə edilir. Riyazi nəticə qəbul edilmiş statistik məlumatların işlənməsidir.
Tələblər
Çox vacibdirNəzərə alın ki, bu tip model üçün bəzi tələblər var, bunlar arasında aşağıdakı cədvəldə verilmiş tələblər var.
| Çox yönlülük | Bu xüsusiyyət eyni tipli obyekt qruplarını təsvir edərkən eyni modeldən istifadə etməyə imkan verir. Qeyd etmək vacibdir ki, universal riyazi modellər tədqiq olunan obyektin fiziki təbiətindən tamamilə müstəqildir |
| Adekvatlıq | Burada başa düşmək vacibdir ki, bu xüsusiyyət sizə real prosesləri mümkün qədər dəqiq şəkildə təkrar etməyə imkan verir. Əməliyyat problemlərində riyazi modelləşdirmənin bu xüsusiyyəti çox vacibdir. Bir modelin nümunəsi qaz sistemindən istifadənin optimallaşdırılması prosesidir. Bu zaman hesablanmış və faktiki göstəricilər müqayisə edilir, nəticədə tərtib edilmiş modelin düzgünlüyü yoxlanılır |
| Dəqiqlik | Bu tələb riyazi modeli hesablayarkən əldə etdiyimiz dəyərlərlə real obyektimizin giriş parametrlərinin üst-üstə düşməsini nəzərdə tutur |
| İqtisadiyyat | İstənilən riyazi model üçün iqtisadi səmərəlilik tələbi icra xərcləri ilə xarakterizə olunur. Modellə iş əl ilə aparılırsa, bu riyazi modeldən istifadə edərək bir məsələni həll etmək üçün nə qədər vaxt lazım olduğunu hesablamaq lazımdır. Əgər söhbət kompüter dəstəkli dizayndan gedirsə, onda vaxt və kompüter yaddaşının dəyərinin göstəriciləri hesablanır |
Mərhələlərmodelləşdirmə
Ümumilikdə, riyazi modelləşdirmədə dörd mərhələni ayırmaq adətdir.
- Modelin hissələrini birləşdirən qanunları tərtib edin.
- Riyazi məsələlərin tədqiqi.
- Praktiki və nəzəri nəticələrin üst-üstə düşməsinin aydınlaşdırılması.
- Modelin təhlili və modernləşdirilməsi.
İqtisadi və riyazi model
Bu bölmədə qısaca olaraq iqtisadi və riyazi modellər məsələsini işıqlandıracağıq. Tapşırıq nümunələri bunlardır:
- istehsalın maksimum mənfəətini təmin edən ət məhsullarının istehsalı üzrə istehsal proqramının formalaşdırılması;
- mebel fabrikində istehsal olunacaq stol və stulların optimal sayını hesablamaqla təşkilatın mənfəətini maksimuma çatdırmaq və s.
İqtisadi-riyazi model riyazi terminlər və işarələrdən istifadə etməklə ifadə edilən iqtisadi abstraksiyanı göstərir.
Kompüter riyazi modeli
Kompüter riyazi modelinə nümunələr bunlardır:
- axma sxemləri, diaqramlar, cədvəllər və s. istifadə edən hidravlika problemləri;
- bərk mexanikada problemlər və s.
Kompüter modeli obyekt və ya sistemin şəklidir:
- masalar;
- axın qrafikləri;
- diaqramlar;
- qrafika və s.
Eyni zamanda, bu model sistemin strukturunu və qarşılıqlı əlaqələrini əks etdirir.
İqtisadi-riyazi modelin qurulması
Biz artıq nəyin iqtisadi olmasından danışmışıqriyazi model. Problemin həlli nümunəsi indi nəzərdən keçiriləcək. Çeşid dəyişikliyi ilə mənfəəti artırmaq üçün ehtiyatı müəyyən etmək üçün istehsal proqramını təhlil etməliyik.
Problemi tam nəzərdən keçirməyəcəyik, ancaq iqtisadi və riyazi model quracağıq. Tapşırığımızın meyarı mənfəətin maksimumlaşdırılmasıdır. Onda funksiya aşağıdakı formaya malikdir: L=r1х1+r2х2… maksimuma meyl edir. Bu modeldə p vahidə düşən mənfəət, x istehsal olunan vahidlərin sayıdır. Bundan əlavə, qurulmuş model əsasında hesablamalar aparmaq və ümumiləşdirmək lazımdır.
Sadə riyazi modelin qurulması nümunəsi
Tapşırıq. Balıqçı bu ovla qayıtdı:
- 8 balıq - şimal dənizlərinin sakinləri;
- 20% ovu - cənub dənizlərinin sakinləri;
- yerli çaydan bir dənə də balıq tapılmadı.
O, mağazadan neçə balıq alıb?
Beləliklə, bu problemin riyazi modelinin qurulması nümunəsi aşağıdakı kimidir. Balıqların ümumi sayını x kimi işarə edirik. Şərtdən sonra 0,2x cənub enliklərində yaşayan balıqların sayıdır. İndi biz bütün mövcud məlumatları birləşdirib məsələnin riyazi modelini alırıq: x=0, 2x+8. Tənliyi həll edirik və əsas sualın cavabını alırıq: o, mağazadan 10 balıq alıb.
