Prizma məktəbdə bərk həndəsə kursunda öyrənilən çoxüzlü və ya çoxüzlüdür. Bu polihedronun mühüm xüsusiyyətlərindən biri onun həcmidir. Məqalədə bu dəyərin necə hesablana biləcəyini nəzərdən keçirək, həmçinin prizmaların həcmi üçün düsturları verək - müntəzəm dördbucaqlı və altıbucaqlı.
Stereometriyada prizma
Bu rəqəm paralel müstəvilərdə yerləşən iki eyni çoxbucaqlıdan və bir neçə paraleloqramdan ibarət çoxbucaqlı kimi başa düşülür. Prizmaların müəyyən növləri üçün paraleloqramlar düzbucaqlı dördbucaqlıları və ya kvadratları təmsil edə bilər. Aşağıda beşbucaqlı prizmanın nümunəsi verilmişdir.
Yuxarıdakı şəkildəki kimi bir fiqur qurmaq üçün bir beşbucaq götürüb onun kosmosda müəyyən məsafəyə paralel köçürülməsini həyata keçirmək lazımdır. Paraleloqramlardan istifadə edərək iki beşbucağın tərəflərini birləşdirərək, istədiyiniz prizmanı əldə edirik.
Hər prizma üzlərdən, təpələrdən və kənarlardan ibarətdir. Prizmanın təpələripiramidadan fərqli olaraq, bərabərdir, hər biri iki əsasdan birinə aiddir. Üzlər və kənarlar iki növdür: əsaslara aid olanlar və yanlara aid olanlar.
Prizmalar bir neçə növə malikdir (düzgün, əyri, qabarıq, düz, konkav). Fiqurun formasını nəzərə alaraq prizmanın həcminin hansı düsturla hesablandığını məqalədə daha sonra nəzərdən keçirək.
Prizmanın həcmini təyin etmək üçün ümumi ifadə
Tədqiq olunan fiqurun hansı tipə aid olmasından, düz və ya əyri, nizamlı və ya qeyri-müntəzəm olmasından asılı olmayaraq, onun həcmini təyin etməyə imkan verən universal ifadə mövcuddur. Məkan fiqurunun həcmi onun üzləri arasında qapalı olan fəza sahəsidir. Prizmanın həcminin ümumi düsturu belədir:
V=So × h.
Burada So bazanın sahəsini təmsil edir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, söhbət iki əsasdan deyil, bir əsasdan gedir. h dəyəri hündürlükdür. Tədqiq olunan fiqurun hündürlüyü onun eyni əsasları arasındakı məsafə kimi başa düşülür. Əgər bu məsafə yan qabırğaların uzunluqları ilə üst-üstə düşürsə, onda düz prizmadan danışılır. Düz fiqurda bütün tərəflər düzbucaqlıdır.
Beləliklə, prizma əyri və qeyri-müntəzəm əsaslı çoxbucaqlıdırsa, onun həcminin hesablanması daha çətinləşir. Əgər rəqəm düzdürsə, onda həcmin hesablanması yalnız So əsas sahəsinin müəyyən edilməsinə qədər azaldılır.
Normal fiqurun həcminin təyini
Düz olan və tərəfləri və bucaqları bir-birinə bərabər olan çoxbucaqlı əsası olan istənilən prizmadır. Məsələn, belə müntəzəm çoxbucaqlılar kvadrat və bərabərtərəfli üçbucaqdır. Eyni zamanda, romb müntəzəm fiqur deyil, çünki onun bütün bucaqları bərabər deyil.
Müntəzəm prizmanın həcminin düsturu məqalənin əvvəlki bəndində yazılmış V üçün ümumi ifadədən birmənalı şəkildə irəli gəlir. Müvafiq düsturu yazmağa davam etməzdən əvvəl düzgün bazanın sahəsini müəyyən etmək lazımdır. Riyazi təfərrüatlara varmadan, göstərilən sahəni təyin etmək üçün formula təqdim edirik. O, istənilən adi n-qon üçün universaldır və aşağıdakı formaya malikdir:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
İfadədən də göründüyü kimi Sn sahəsi iki parametrin funksiyasıdır. n tam ədədi 3-dən sonsuza qədər qiymət ala bilər. a dəyəri n-qonşunun tərəfinin uzunluğudur.
Fiqurun həcmini hesablamaq üçün yalnız S sahəsini h hündürlüyünə və ya b yan kənarının uzunluğuna (h=b) vurmaq lazımdır.. Nəticədə aşağıdakı iş düsturuna çatırıq:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Qeyd edək ki, ixtiyari tipli prizmanın həcmini təyin etmək üçün bir neçə kəmiyyəti bilmək lazımdır (əsas tərəflərin uzunluqları, hündürlüyü, fiqurun dihedral bucaqları), lakin V dəyərini hesablamaq üçün müntəzəm prizma üçün yalnız iki xətti parametr bilməliyik, məsələn, a və h.
Dördbucaqlı müntəzəm prizmanın həcmi
Dördbucaqlı prizmaya paralelepiped deyilir. Əgər onun bütün üzləri bərabərdirsə və kvadratdırsa, onda belə bir rəqəm kub olacaq. Hər bir şagird bilir ki, düzbucaqlı paralelepipedin və ya kubun həcmi onun üç müxtəlif tərəfinin (uzunluğu, hündürlüyü və eni) çarpılması ilə müəyyən edilir. Bu fakt adi rəqəm üçün yazılı ümumi həcm ifadəsindən irəli gəlir:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Burada 45°-nin kotangenti 1-ə bərabərdir. Qeyd edək ki, h hündürlüyü ilə bünövrənin a tərəfinin uzunluğunun bərabərliyi avtomatik olaraq kubun həcmi düsturuna gətirib çıxarır.
Altıbucaqlı nizamlı prizmanın həcmi
İndi yuxarıdakı nəzəriyyəni altıbucaqlı əsaslı fiqurun həcmini təyin etmək üçün tətbiq edin. Bunu etmək üçün sadəcə olaraq düsturda n=6 dəyərini əvəz etməlisiniz:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Yazılı ifadə S üçün universal düsturdan istifadə etmədən müstəqil şəkildə əldə edilə bilər. Bunu etmək üçün müntəzəm altıbucaqlı altı bərabərtərəfli üçbucağa bölmək lazımdır. Onların hər birinin tərəfi a-ya bərabər olacaqdır. Bir üçbucağın sahəsi uyğundur:
S3=√3/4 × a2.
Bu dəyəri üçbucaqların sayına (6) və hündürlüyə vuraraq, yuxarıdakı həcm düsturu alırıq.
