Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın həcmi. Formula və tapşırıqların nümunələri

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 05:16

Tamamilə hər hansı bir fəza fiqurunu öyrənərkən onun həcminin necə hesablanacağını bilmək vacibdir. Bu məqalə adi dördbucaqlı piramidanın həcmi üçün düstur təqdim edir və həmçinin problemlərin həlli nümunəsindən istifadə edərək bu düsturdan necə istifadə olunmalı olduğunu göstərir.

Hansı piramidadan danışırıq?

Hər orta məktəb şagirdi bilir ki, piramida üçbucaq və çoxbucaqlıdan ibarət çoxüzlüdür. Sonuncu fiqurun əsasını təşkil edir. Üçbucaqların əsası ilə bir ümumi tərəfi var və piramidanın yuxarı hissəsi olan bir nöqtədə kəsişir.

Hər bir piramida əsasın kənarlarının uzunluğu, yan kənarların uzunluğu və hündürlüyü ilə xarakterizə olunur. Sonuncu perpendikulyar seqmentdir, fiqurun yuxarısından bazaya endirilir.

Müntəzəm dördbucaqlı piramida hündürlüyü bu kvadratı mərkəzində kəsən kvadrat əsaslı fiqurdur. Bu tip piramidaların bəlkə də ən məşhur nümunəsi qədim Misir daş tikililəridir. Aşağıda bir fotoşəkil varCheops piramidaları.

Tədqiq olunan fiqurun beş üzü var, onlardan dördü eyni ikitərəfli üçbucaqlardır. O, həmçinin dördü bazaya aid olan beş təpə və səkkiz kənar (əsasın 4 kənarı və yan üzlərin 4 kənarı) ilə xarakterizə olunur.

Dördbucaqlı piramidanın həcmi düsturu düzgündür

Sözügedən fiqurun həcmi məkanın beş tərəfdən məhdud olan hissəsidir. Bu həcmi hesablamaq üçün S_z piramidasının əsasına paralel olan dilimin sahəsinin z şaquli koordinatından aşağıdakı asılılığından istifadə edirik:

S_z=S_o (h - z/h)²

Burada S_o kvadrat əsasın sahəsidir. Yazılı ifadədə z=h əvəz etsək, S_z üçün sıfır qiymət alacağıq. Bu z dəyəri piramidanın yalnız yuxarı hissəsini ehtiva edən bir dilimə uyğundur. Əgər z=0 olarsa, onda baza sahəsinin qiymətini alırıq S_o.

S_z(z) funksiyasını bilirsinizsə, piramidanın həcmini tapmaq asandır, bunun üçün rəqəmi sonsuz sayda kəsmək kifayətdir. bazaya paralel təbəqələr, sonra isə inteqrasiya əməliyyatını həyata keçirin. Bu texnikaya əməl edirəm, əldə edirik:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Çünki S₀kvadrat təməlin sahəsi, sonra kvadratın tərəfini a hərfi ilə ifadə edərək, müntəzəm dördbucaqlı piramidanın həcmi üçün düstur alırıq:

V=1/3a²h.

İndi bu ifadənin necə tətbiq olunacağını göstərmək üçün problem həlli nümunələrindən istifadə edək.

Pramidanın həcminin apotem və yan kənarı vasitəsilə təyin edilməsi problemi

Piramidanın apotemi onun əsas tərəfinə endirilmiş yanal üçbucağının hündürlüyünə bərabərdir. Adi bir piramidada bütün üçbucaqlar bərabər olduğundan, onların apotemləri də eyni olacaq. Onun uzunluğunu h_b simvolu ilə işarə edək. Yan kənarı b kimi qeyd edin.

Piramidanın apoteminin 12 sm, yan kənarının isə 15 sm olduğunu bilərək, düzgün dördbucaqlı piramidanın həcmini tapın.

Əvvəlki paraqrafda yazılmış rəqəmin həcmi üçün düstur iki parametrdən ibarətdir: yan uzunluğu a və hündürlüyü h. Hazırda onların heç birini tanımırıq, ona görə də onların hesablamalarına nəzər salaq.

Düzbucaqlı üçbucaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə etsəniz, a kvadratının tərəfinin uzunluğunu hesablamaq asandır, burada hipotenuzanın kənarı b, ayaqları isə h _b və əsas tərəfinin yarısı a/2. Alırıq:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Şərtdən məlum olan dəyərləri əvəz edərək a=18 sm qiymətini alırıq.

Piramidanın h hündürlüyünü hesablamaq üçün iki şeyi edə bilərsiniz: düzbucaqlı hesab edinhipotenuz-yan kənarı və ya hipotenuz-apotemli üçbucaq. Hər iki üsul bərabərdir və eyni sayda riyazi əməliyyatların yerinə yetirilməsini nəzərdə tutur. Hipotenuzanın h_b apotem olduğu üçbucağın nəzərdən keçirilməsi üzərində dayanaq. İçindəki ayaqları h və a / 2 olacaq. Sonra əldə edirik:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12) ²- 18²/4)=7, 937 sm.

İndi siz V həcm üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 sm ³.

Beləliklə, adi dördbucaqlı piramidanın həcmi təxminən 0,86 litrdir.

Xeops piramidasının həcmi

İndi maraqlı və praktiki vacib məsələni həll edək: Gizadakı ən böyük piramidanın həcmini tapın. Ədəbiyyatdan məlumdur ki, binanın ilkin hündürlüyü 146,5 metr, bünövrəsinin uzunluğu isə 230,363 metrdir. Bu rəqəmlər bizə V hesablamaq üçün düsturdan istifadə etməyə imkan verir. Alırıq:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Nəticədəki dəyər demək olar ki, 2,6 milyon m³ təşkil edir. Bu həcm tərəfi 137,4 metr olan kubun həcminə uyğundur.