Müstəvidə və üçölçülü fəzada xətlərin tənliklərini təyin etmək üsulları

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Düz xətt müstəvidə və üçölçülü fəzada əsas həndəsi obyektdir. Məhz düz xətlərdən çoxlu fiqurlar tikilir, məsələn: paraleloqram, üçbucaq, prizma, piramida və s. Məqalədə xətlərin tənliklərinin qurulmasının müxtəlif yollarını nəzərdən keçirin.

Düz xəttin tərifi və onu təsvir etmək üçün tənlik növləri

Hər bir şagirdin hansı həndəsi obyektdən danışdığı barədə yaxşı təsəvvürü var. Düz xətt nöqtələr toplusu kimi göstərilə bilər və əgər onların hər birini digərləri ilə növbə ilə birləşdirsək, onda paralel vektorlar toplusunu alırıq. Başqa sözlə desək, xəttin hər bir nöqtəsinə onun sabit nöqtələrindən birindən onu real ədədə vurulmuş hansısa vahid vektora köçürmək mümkündür. Düz xəttin bu tərifi onun həm müstəvidə, həm də üçölçülü fəzada riyazi təsviri üçün vektor bərabərliyini təyin etmək üçün istifadə olunur.

Düz xətt riyazi olaraq aşağıdakı tənlik növləri ilə təmsil oluna bilər:

ümumi;
vektor;
parametrik;
seqmentlərdə;
simmetrik (kanonik).

Sonra biz adları çəkilən bütün növləri nəzərdən keçirəcəyik və problemlərin həlli nümunələrindən istifadə edərək onlarla necə işləməyi göstərəcəyik.

Düz xəttin vektor və parametrik təsviri

Məlum vektordan keçən düz xətti təyin etməklə başlayaq. Fərz edək ki, M fəzasında sabit bir nöqtə var (x₀; y₀; z_{0). Məlumdur ki, düz xətt ondan keçir və v¯(a; b; c) vektor seqmenti boyunca istiqamətlənir. Bu məlumatlardan xəttin ixtiyari nöqtəsini necə tapmaq olar? Bu sualın cavabı aşağıdakı bərabərliyi verəcək:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Burada λ ixtiyari ədəddir.

Oxşar ifadə vektorların və nöqtələrin koordinatlarının iki ədəd dəsti ilə təmsil olunduğu ikiölçülü hal üçün də yazıla bilər:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Yazılı tənliklər vektor tənlikləri adlanır və istiqamətlənmiş v¯ seqmentin özü düz xəttin istiqamət vektorudur.

Yazılı ifadələrdən müvafiq parametrik tənliklər sadəcə alınır, onları açıq şəkildə yenidən yazmaq kifayətdir. Məsələn, kosmosdakı vəziyyət üçün aşağıdakı tənliyi əldə edirik:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Davranışı təhlil etmək lazımdırsa, parametrik tənliklərlə işləmək rahatdırhər bir koordinat. Nəzərə alın ki, λ parametri ixtiyari qiymətlər qəbul edə bilsə də, hər üç bərabərlikdə eyni olmalıdır.

Ümumi tənlik

Nəzərdən keçirilən həndəsi obyektlə işləmək üçün tez-tez istifadə olunan düz xətti təyin etməyin başqa bir yolu ümumi tənlikdən istifadə etməkdir. İki ölçülü vəziyyət üçün belə görünür:

Ax + By + C=0

Burada böyük Latın hərfləri xüsusi ədədi dəyərləri təmsil edir. Məsələlərin həllində bu bərabərliyin rahatlığı ondadır ki, o, düz xəttə perpendikulyar olan vektoru açıq şəkildə ehtiva edir. Onu n¯ ilə işarə etsək, yaza bilərik:

n¯=[A; B]

Bundan əlavə, ifadə düz xəttdən hansısa P nöqtəsinə qədər olan məsafəni təyin etmək üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir(x₁; y_{1). d məsafəsi üçün düstur:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Göstərmək asandır ki, y dəyişənini ümumi tənlikdən açıq şəkildə ifadə etsək, düz xəttin yazılmasının aşağıdakı məşhur formasını alırıq:

y=kx + b

Burada k və b unikal şəkildə A, B, C ədədləri ilə müəyyən edilir.

Seqmentlərdə və kanonik tənlik

Düz xəttin koordinat oxlarının kəsişməsi

Seqmentlərdəki tənliyi ümumi görünüşdən əldə etmək ən asandır. Bunu necə edəcəyinizi sizə göstərəcəyik.

Fərz edək ki, bizdə aşağıdakı sətir var:

Ax + By + C=0

Sərbəst termini bərabərliyin sağ tərəfinə köçürün, sonra bütün tənliyi ona bölün, əldə edirik:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, burada q=-C / A, p=-C / B

Seqmentlərdə sözdə tənliyi əldə etdik. Hər bir dəyişənin bölündüyü məxrəcin müvafiq ox ilə xəttin kəsişməsinin koordinatının dəyərini göstərməsi səbəbindən adını aldı. Bu faktdan koordinat sistemində düz xətti təsvir etmək, həmçinin onun digər həndəsi obyektlərə (düz xətlər, nöqtələr) münasibətdə nisbi mövqeyini təhlil etmək üçün istifadə etmək rahatdır.

İndi kanonik tənliyi əldə etməyə keçək. Parametrik variantı nəzərə alsaq, bunu etmək daha asandır. Təyyarədə olan vəziyyət üçün bizdə:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Hər bərabərlikdə λ parametrini ifadə edirik, sonra onları bərabərləşdiririk, alırıq:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Bu, simmetrik formada yazılmış istənilən tənlikdir. Bir vektor ifadəsi kimi, o, açıq şəkildə istiqamət vektorunun koordinatlarını və xəttə aid olan nöqtələrdən birinin koordinatlarını ehtiva edir.

Görünür ki, bu paraqrafda iki ölçülü hal üçün tənliklər vermişik. Eynilə, kosmosda düz xəttin tənliyini yaza bilərsiniz. Burada qeyd etmək lazımdır ki, əgər kanonik formaseqmentlərdə qeydlər və ifadə eyni formada olacaq, onda düz xətt üçün fəzadakı ümumi tənlik kəsişən müstəvilər üçün iki tənlik sistemi ilə təmsil olunur.

Düz xəttin tənliyinin qurulması məsələsi

Həndəsədən hər bir tələbə bilir ki, iki nöqtə vasitəsilə tək bir xətt çəkə bilərsiniz. Fərz edək ki, aşağıdakı nöqtələr koordinat müstəvisində verilmişdir:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Hər iki nöqtənin aid olduğu xəttin seqmentlərdə, vektor, kanonik və ümumi formada tənliyini tapmaq lazımdır.

Əvvəlcə vektor tənliyini alaq. Bunu etmək üçün M₁M_{2¯: birbaşa istiqamət vektoru üçün təyin edin.}

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

İndi siz problem bəyanatında göstərilən iki nöqtədən birini götürərək vektor tənliyi yarada bilərsiniz, məsələn, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Kanonik tənliyi əldə etmək üçün tapılan bərabərliyi parametrik formaya çevirmək və λ parametrini istisna etmək kifayətdir. Bizdə:

x=-1 - 2λ, buna görə də λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, onda λ=y - 3 alırıq;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Qalan iki tənliyi (ümumi və seqmentlərdə) kanonik tənliyi aşağıdakı kimi çevirməklə tapmaq olar:

x + 1=-2y + 6;

ümumi tənlik: x + 2y - 5=0;

seqment tənliyi: x / 5 + y / 2, 5=1

Nəticədə tənliklər göstərir ki, vektor (1; 2) xəttə perpendikulyar olmalıdır. Həqiqətən, əgər onun skalyar hasilini istiqamət vektoru ilə tapsanız, o, sıfıra bərabər olacaqdır. Xətt seqmenti tənliyi deyir ki, xəttin x oxunu (5; 0) və y oxunu (2, 5; 0) nöqtəsində kəsir.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini təyin etmək problemi

Müstəvidə iki düz xətt aşağıdakı tənliklərlə verilmişdir:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Bu xətlərin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını müəyyən etmək lazımdır.

Problemi həll etməyin iki yolu var:

Vektor tənliyini ümumi formaya çevirin, sonra iki xətti tənlik sistemini həll edin.
Heç bir çevrilmə aparmayın, sadəcə olaraq λ parametri ilə ifadə edilən kəsişmə nöqtəsinin koordinatını birinci tənliyə əvəz edin. Sonra parametr dəyərini tapın.

İkinci yolu edək. Bizdə: