Həndəsədə nöqtədən sonra düz xətt bəlkə də ən sadə elementdir. O, müstəvidə və üçölçülü məkanda istənilən mürəkkəb fiqurların qurulmasında istifadə olunur. Bu yazıda düz xəttin ümumi tənliyini nəzərdən keçirəcəyik və ondan istifadə edərək bir neçə məsələni həll edəcəyik. Başlayaq!
Həndəsə düz xətt
Hər kəs bilir ki, düzbucaqlı, üçbucaq, prizma, kub və s. kimi fiqurlar kəsişən düz xətlərdən əmələ gəlir. Həndəsədə düz xətt müəyyən bir nöqtəni eyni və ya əks istiqamətə malik vektora köçürməklə əldə edilə bilən bir ölçülü obyektdir. Bu tərifi daha yaxşı başa düşmək üçün fəzada hansısa P nöqtəsinin olduğunu təsəvvür edin. Bu fəzada ixtiyari u¯ vektorunu götürün. Onda xəttin istənilən Q nöqtəsi aşağıdakı riyazi əməliyyatlar nəticəsində əldə edilə bilər:
Q=P + λu¯.
Burada λ müsbət və ya mənfi ola bilən ixtiyari ədəddir. Əgər bərabərlikyuxarıda koordinatlar baxımından yazın, onda biz düz xəttin aşağıdakı tənliyini alırıq:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Bu bərabərliyə vektor formasında düz xəttin tənliyi deyilir. Və u¯ vektoru bələdçi adlanır.
Müstəvidə düz xəttin ümumi tənliyi
Hər bir tələbə çətinlik çəkmədən yaza bilər. Ancaq çox vaxt tənlik belə yazılır:
y=kx + b.
Burada k və b ixtiyari ədədlərdir. b sayı sərbəst üzv adlanır. k parametri düz xəttin x oxu ilə kəsişməsindən yaranan bucağın tangensinə bərabərdir.
Yuxarıdakı tənlik y dəyişəninə münasibətdə ifadə edilmişdir. Əgər onu daha ümumi formada təqdim etsək, onda aşağıdakı qeydi alırıq:
Ax + By + C=0.
Müstəvidə düz xəttin ümumi tənliyini yazmağın bu formasının asanlıqla əvvəlki formaya çevrildiyini göstərmək asandır. Bunun üçün sol və sağ hissələr B faktoruna bölünməli və y ilə ifadə edilməlidir.
Yuxarıdakı şəkildə iki nöqtədən keçən düz xətt göstərilir.
3D məkanda xətt
Tədqiqatımıza davam edək. Düz xəttin ümumi formada tənliyinin müstəvidə necə verilməsi məsələsini nəzərdən keçirdik. Məqalənin əvvəlki bəndində verilmiş qeydi məkan işi üçün tətbiq etsək, nə əldə edəcəyik? Hər şey sadədir - artıq düz xətt deyil, təyyarədir. Həqiqətən də, aşağıdakı ifadə z oxuna paralel olan müstəvini təsvir edir:
Ax + By + C=0.
Əgər C=0 olarsa, belə bir təyyarə keçirz oxu vasitəsilə. Bu mühüm xüsusiyyətdir.
Kosmosda düz xəttin ümumi tənliyi ilə necə olmaq olar? Bunu necə soruşacağını başa düşmək üçün bir şeyi xatırlamaq lazımdır. İki təyyarə müəyyən bir düz xətt boyunca kəsişir. Bu nə deməkdir? Yalnız ümumi tənlik təyyarələr üçün iki tənlik sisteminin həllinin nəticəsidir. Gəlin bu sistemi yazaq:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Bu sistem fəzada düz xəttin ümumi tənliyidir. Qeyd edək ki, müstəvilər bir-birinə paralel olmamalıdır, yəni onların normal vektorları bir-birinə nisbətən müəyyən bucaq altında meylli olmalıdır. Əks halda, sistemin həlli olmayacaq.
Yuxarıda düz xətt üçün tənliyin vektor formasını verdik. Bu sistemi həll edərkən istifadə etmək rahatdır. Bunun üçün əvvəlcə bu müstəvilərin normallarının vektor hasilini tapmaq lazımdır. Bu əməliyyatın nəticəsi düz xəttin istiqamət vektoru olacaqdır. Sonra xəttə aid hər hansı bir nöqtə hesablanmalıdır. Bunu etmək üçün dəyişənlərdən hər hansı birini müəyyən bir dəyərə bərabər təyin etməlisiniz, qalan iki dəyişəni azaldılmış sistemin həlli ilə tapmaq olar.
Vektor tənliyini ümumi tənliyə necə çevirmək olar? Nüanslar
Bu, iki nöqtənin məlum koordinatlarından istifadə edərək düz xəttin ümumi tənliyini yazmağınız lazım olduqda yarana biləcək aktual problemdir. Bu problemin necə həll olunduğunu bir nümunə ilə göstərək. İki nöqtənin koordinatları məlum olsun:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vektor şəklində tənliyi tərtib etmək olduqca asandır. İstiqamət vektoru koordinatları:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Qeyd edək ki, P nöqtəsinin koordinatlarından Q koordinatlarını çıxsaq heç bir fərq yoxdur, vektor yalnız öz istiqamətini əksinə dəyişəcək. İndi istənilən nöqtəni götürüb vektor tənliyini yazmalısınız:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Düz xəttin ümumi tənliyini yazmaq üçün hər iki halda λ parametri ifadə edilməlidir. Və sonra nəticələri müqayisə edin. Bizdə:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
İki məlum nöqtədən keçən düz xəttin ümumi ifadəsini əldə etmək üçün mötərizələri açmaq və tənliyin bütün şərtlərini tənliyin bir tərəfinə köçürmək qalır.
Üçölçülü məsələnin həlli alqoritmi saxlanılır, yalnız onun nəticəsi təyyarələr üçün iki tənlik sistemi olacaq.
Tapşırıq
Ümumi tənlik qurmaq lazımdırx oxunu (-3, 0) nöqtəsində kəsən və y oxuna paralel olan düz xətt.
Tənliyi vektor formasında yazmaqla məsələnin həllinə başlayaq. Xətt y oxuna paralel olduğundan, onun istiqamətləndirici vektoru aşağıdakı kimi olacaq:
u¯=(0, 1).
Sonra istədiyiniz sətir aşağıdakı kimi yazılacaq:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
İndi bu ifadəni ümumi formaya çevirək, bunun üçün λ: parametrini ifadə edirik.
- x=-3;
- y=λ.
Beləliklə, y dəyişəninin istənilən qiyməti sətirə aiddir, lakin ona yalnız x dəyişəninin tək qiyməti uyğun gəlir. Beləliklə, ümumi tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
x + 3=0.
Kosmosda düz xətt problemi
Məlumdur ki, kəsişən iki müstəvi aşağıdakı tənliklərlə verilir:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Bu müstəvilərin kəsişdiyi düz xəttin vektor tənliyini tapmaq lazımdır. Başlayaq.
Deyildiyi kimi, üçölçülü fəzada düz xəttin ümumi tənliyi artıq üç naməlumlu ikili sistem şəklində verilmişdir. Hər şeydən əvvəl təyyarələrin kəsişdiyi istiqamət vektorunu təyin edirik. Normalların vektor koordinatlarını müstəvilərə vuraraq, əldə edirik:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Vektoru mənfi ədədə vurmaq onun istiqamətini tərsinə çevirdiyinə görə yaza bilərik:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kimədüz xəttin vektor ifadəsini tapmaq üçün istiqamət vektorundan əlavə, bu düz xəttin hansısa nöqtəsini bilmək lazımdır. Tapın, çünki onun koordinatları məsələnin vəziyyətində tənliklər sistemini təmin etməlidir, onda biz onları tapacağıq. Məsələn, x=0 qoyaq, onda əldə edirik:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Beləliklə, istənilən düz xəttə aid olan nöqtənin koordinatları var:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Sonra bu məsələnin cavabını alırıq, istədiyiniz xəttin vektor tənliyi belə görünəcək:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Holun düzgünlüyü asanlıqla yoxlanıla bilər. Bunun üçün λ parametrinin ixtiyari qiymətini seçməli və düz xəttin nöqtəsinin alınan koordinatlarını təyyarələr üçün hər iki tənliyə əvəz etməlisən, hər iki halda eynilik əldə edəcəksən.
