Tipik həndəsi problem xətlər arasındakı bucağı tapmaqdır. Bir müstəvidə, xətlərin tənlikləri məlumdursa, onları çəkmək və bucağı iletki ilə ölçmək olar. Ancaq bu üsul zəhmətlidir və həmişə mümkün deyil. Adlandırılmış bucağı tapmaq üçün düz xətlər çəkmək lazım deyil, onu hesablamaq olar. Bunun necə edildiyinə bu məqalə cavab verəcək.
Düz xətt və onun vektor tənliyi
İstənilən düz xətt -∞ ilə başlayan və +∞ ilə bitən vektor kimi göstərilə bilər. Bu zaman vektor fəzanın hansısa nöqtəsindən keçir. Beləliklə, düz xəttin istənilən iki nöqtəsi arasında çəkilə bilən bütün vektorlar bir-birinə paralel olacaqdır. Bu tərif vektor şəklində düz xəttin tənliyini təyin etməyə imkan verir:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Burada (a; b; c) koordinatları olan vektor (x0; y0 nöqtəsindən keçən bu xətt üçün bələdçidir.; z0).α parametri göstərilən nöqtəni bu xətt üçün hər hansı digərinə köçürməyə imkan verir. Bu tənlik intuitivdir və həm 3D məkanında, həm də təyyarədə işləmək asandır. Təyyarə üçün o, z koordinatlarını və üçüncü istiqamət vektor komponentini ehtiva etməyəcək.
Vektor tənliyindən istifadə etməklə hesablamaların aparılmasının və düz xətlərin nisbi vəziyyətinin öyrənilməsinin rahatlığı onun yönləndirici vektorunun məlum olması ilə əlaqədardır. Onun koordinatları xətlər arasındakı bucağı və onlar arasındakı məsafəni hesablamaq üçün istifadə olunur.
Müstəvidə düz xətt üçün ümumi tənlik
İki ölçülü hal üçün düz xəttin vektor tənliyini açıq şəkildə yazaq. Belə görünür:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
İndi biz hər bərabərlik üçün α parametrini hesablayırıq və alınan bərabərliklərin düzgün hissələrini bərabərləşdiririk:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Mötərizələri açıb bütün şərtləri bərabərliyin bir tərəfinə köçürsək, əldə edirik:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, burada A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Nəticədə ifadə ikiölçülü fəzada verilmiş düz xəttin ümumi tənliyi adlanır (üçölçülüdə bu tənlik düz xəttə deyil, z oxuna paralel olan müstəviyə uyğundur).
Bu ifadədə açıq şəkildə y-dən x-ə qədər yazsaq, məlum olan aşağıdakı formanı alırıqhər tələbə:
y=kx + p, burada k=-A/B, p=-C/B
Bu xətti tənlik müstəvidəki düz xətti unikal şəkildə müəyyən edir. Onu məşhur tənliyə uyğun çəkmək çox asandır, bunun üçün növbə ilə x=0 və y=0 qoymalı, koordinat sistemində müvafiq nöqtələri qeyd etməli və alınan nöqtələri birləşdirən düz xətt çəkməlisiniz.
Xətlər arasındakı bucaq düsturu
Müstəvidə iki xətt ya kəsişə bilər, ya da bir-birinə paralel ola bilər. Kosmosda bu variantlara əyri xətlərin mövcudluğu ehtimalı əlavə olunur. Bu birölçülü həndəsi obyektlərin nisbi mövqeyinin hansı versiyası həyata keçirilirsə, onlar arasındakı bucaq həmişə aşağıdakı düsturla müəyyən edilə bilər:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Burada v1¯ və v2¯ müvafiq olaraq 1 və 2-ci sətir üçün bələdçi vektorlardır. Nöqtə hasilinin modulu küt bucaqları istisna edir və yalnız kəskinləri nəzərə alır.
v1¯ və v2¯ vektorları iki və ya üç koordinatla verilə bilər, halbuki bucaq düsturu φ dəyişməz olaraq qalır.
Xətlərin paralelliyi və perpendikulyarlığı
Yuxarıdakı düsturla hesablanmış 2 sətir arasındakı bucaq 0o olarsa, o zaman onlara paralel deyilir. Xətlərin paralel olub olmadığını müəyyən etmək üçün bucağı hesablaya bilməzsinizφ, bir istiqamət vektorunun digər xəttin oxşar vektoru vasitəsilə göstərilə biləcəyini göstərmək kifayətdir, yəni:
v1¯=qv2¯
Burada q bəzi real rəqəmdir.
Xətlərin tənlikləri belə verilirsə:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
onda onlar yalnız x-in əmsalları bərabər olduqda paralel olacaqlar, yəni:
k1=k2
K əmsalının düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatları ilə necə ifadə olunduğunu nəzərə alsaq, bu faktı sübut etmək olar.
Xətlər arasında kəsişmə bucağı 90o olarsa, onlar perpendikulyar adlanır. Xətlərin perpendikulyarlığını təyin etmək üçün φ bucağını da hesablamaq lazım deyil, bunun üçün yalnız v1¯ və v vektorlarının skalyar hasilini hesablamaq kifayətdir. 2¯. Sıfır olmalıdır.
Kosmosda kəsişən düz xətlər halında φ bucağının düsturu da istifadə edilə bilər. Bu vəziyyətdə nəticə düzgün şərh edilməlidir. Hesablanmış φ kəsişməyən və paralel olmayan xətlərin istiqamət vektorları arasındakı bucağı göstərir.
Tapşırıq №1. Perpendikulyar xətlər
Məlumdur ki, xətlərin tənlikləri formaya malikdir:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Bu xətlərin olub-olmadığını müəyyən etmək lazımdırperpendikulyar.
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi suala cavab vermək üçün (1; 2) və (-4; 2) koordinatlarına uyğun gələn bələdçilərin vektorlarının skalyar hasilini hesablamaq kifayətdir. Bizdə:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
0 əldə etdiyimiz üçün bu o deməkdir ki, nəzərdən keçirilən xətlər düz bucaq altında kəsişir, yəni perpendikulyardır.
Tapşırıq №2. Xəttin kəsişmə bucağı
Məlumdur ki, düz xətlər üçün iki tənlik aşağıdakı formaya malikdir:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Xətlər arasındakı bucağı tapmaq lazımdır.
X-in əmsalları fərqli qiymətlərə malik olduğundan bu xətlər paralel deyil. Onların kəsişdiyi zaman yaranan bucağı tapmaq üçün tənliklərin hər birini vektor formasına çeviririk.
İlk sətir üçün alırıq:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Tənliyin sağ tərəfində koordinatları x-dən asılı olan vektor əldə etdik. Gəlin onu iki vektorun cəmi kimi təqdim edək və birincinin koordinatlarında x dəyişəni, ikincinin koordinatları isə yalnız ədədlərdən ibarət olacaq:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
x ixtiyari qiymətlər qəbul etdiyi üçün onu α parametri ilə əvəz etmək olar. Birinci sətir üçün vektor tənliyi belə olur:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Xəttin ikinci tənliyi ilə eyni hərəkətləri edirik, alırıq:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Biz orijinal tənlikləri vektor formasında yenidən yazdıq. İndi xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının koordinatlarını əvəz edərək kəsişmə bucağı üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Beləliklə, nəzərdən keçirilən xətlər 71.565o və ya 1.249 radian bucaq altında kəsişir.
Bu problem başqa cür həll edilə bilərdi. Bunun üçün hər düz xəttin iki ixtiyari nöqtəsini götürmək, onlardan birbaşa vektorlar tərtib etmək və sonra φ üçün düsturdan istifadə etmək lazım idi.
