Pifaqor əsas elementlərlə birlikdə dünyanın əsasını sayın təşkil etdiyini müdafiə edirdi. Platon hesab edirdi ki, ədəd fenomeni və noumenonu birləşdirir, dərk etməyə, ölçməyə və nəticə çıxarmağa kömək edir. Arifmetika "arithmos" sözündəndir - ədəd, riyaziyyatda başlanğıcların başlanğıcıdır. O, istənilən obyekti təsvir edə bilər - elementar almadan mücərrəd boşluqlara qədər.
İnkişaf faktoru kimi ehtiyaclar
Cəmiyyətin formalaşmasının ilkin mərhələlərində insanların ehtiyacları hesab saxlamaq ehtiyacı ilə məhdudlaşırdı - bir kisə taxıl, iki kisə taxıl və s. Bunun üçün çoxluğu olan natural ədədlər kifayət edirdi. tam ədədlərin sonsuz müsbət ardıcıllığı N.
Daha sonra riyaziyyatın bir elm kimi inkişafı ilə Z tam ədədlərinin ayrıca sahəsinə ehtiyac yarandı - bura mənfi dəyərlər və sıfır daxildir. Onun ev təsərrüfatları səviyyəsində görünüşü, ilkin mühasibat uçotunda bir şəkildə düzəltmək lazım olduğu ilə təhrik edildi.borclar və zərərlər. Elmi səviyyədə mənfi ədədlər ən sadə xətti tənlikləri həll etməyə imkan verib. Digər şeylər arasında, istinad nöqtəsi göründüyü üçün mənasız bir koordinat sisteminin görüntüsü artıq mümkün olmuşdur.
Növbəti addım kəsr ədədlərinin tətbiqi zərurəti idi, çünki elm hələ də dayanmadığından, getdikcə daha çox kəşf yeni artım təkan üçün nəzəri əsas tələb edirdi. Rasional ədədlər sahəsi belə yarandı Q.
Nəhayət, rasionallıq tələbləri təmin etməyi dayandırdı, çünki bütün yeni nəticələr əsaslandırma tələb edirdi. Həqiqi ədədlər sahəsi olan R, Evklidin müəyyən kəmiyyətlərin irrasionallığına görə müqayisə edilməməsi haqqında əsərləri meydana çıxdı. Yəni, qədim yunan riyaziyyatçıları ədədi təkcə sabit deyil, həm də mütənasib olmayan kəmiyyətlərin nisbəti ilə xarakterizə olunan mücərrəd kəmiyyət kimi yerləşdirmişlər. Həqiqi ədədlər meydana çıxdığına görə "pi" və "e" kimi "işığı gördü" kəmiyyətləri müasir riyaziyyat olmadan keçə bilməzdi.
Son yenilik kompleks sayı C idi. O, bir sıra suallara cavab verdi və əvvəllər təqdim edilmiş postulatları təkzib etdi. Cəbrin sürətli inkişafı sayəsində nəticə proqnozlaşdırıla bilən idi - həqiqi ədədlərə sahib olmaq, bir çox məsələləri həll etmək mümkün deyildi. Məsələn, mürəkkəb ədədlər sayəsində simlər və xaos nəzəriyyəsi önə çıxdı və hidrodinamika tənlikləri genişləndi.
Topluq nəzəriyyəsi. Cantor
Hər zaman sonsuzluq anlayışınə sübut, nə də təkzib oluna bilmədiyi üçün mübahisələrə səbəb oldu. Ciddi şəkildə təsdiqlənmiş postulatlarla işləyən riyaziyyat kontekstində bu özünü ən aydın şəkildə göstərdi, xüsusən də teoloji aspekt elmdə hələ də çəkisi olduğundan.
Lakin riyaziyyatçı Georg Kantorun işi sayəsində zamanla hər şey öz yerinə düşdü. O, sonsuz sayda sonsuz çoxluq olduğunu və hər ikisinin sonu olmasa belə, R sahəsinin N sahəsindən böyük olduğunu sübut etdi. 19-cu əsrin ortalarında onun fikirləri yüksək səslə cəfəngiyyat və klassik, sarsılmaz qanunlara qarşı cinayət adlandırıldı, lakin zaman hər şeyi öz yerinə qoydu.
Sahənin əsas xassələri R
Həqiqi ədədlər təkcə onlara daxil olan alt çoxluqlarla eyni xassələrə malik deyil, həm də elementlərinin miqyasına görə başqaları tərəfindən tamamlanır:
- Sıfır mövcuddur və R sahəsinə aiddir. R-dən istənilən c üçün c + 0=c.
- Sıfır mövcuddur və R sahəsinə aiddir. R-dən istənilən c üçün c x 0=0.
- d ≠ 0 üçün c: d əlaqəsi mövcuddur və R-dən istənilən c, d üçün etibarlıdır.
- R sahəsi sıralanır, yəni c ≦ d, d ≦ c olarsa, R-dən istənilən c, d üçün c=d olar.
- R sahəsindəki əlavə kommutativdir, yəni hər hansı c üçün c + d=d + c, R-dən d.
- R sahəsində vurma kommutativdir, yəni hər hansı c üçün c x d=d x c, R-dən d.
- R sahəsindəki əlavə assosiativdir, yəni (c + d) + f=c + (d + f) R-dən istənilən c, d, f üçün.
- R sahəsində vurma assosiativdir, yəni (c x d) x f=c x (d x f) R-dən istənilən c, d, f üçün.
- R sahəsindəki hər ədəd üçün əksi var, belə ki c + (-c)=0, burada c, -c R-dəndir.
- R sahəsindən hər bir ədəd üçün onun tərsi var ki, c x c-1 =1, burada c, c-1 R. tarixindən
- Vahid R-ə aiddir və R-ə aiddir, ona görə də c x 1=c, R-dən istənilən c üçün.
- Paylanma qanunu etibarlıdır, ona görə də c x (d + f)=c x d + c x f, R-dən istənilən c, d, f üçün.
- R sahəsində sıfır birə bərabər deyil.
- R sahəsi keçidlidir: c ≦ d, d ≦ f olarsa, R-dən istənilən c, d, f üçün c ≦ f.
- R sahəsində sıra və əlavə bağlıdır: c ≦ d olarsa, R-dən hər hansı c, d, f üçün c + f ≦ d + f.
- R sahəsində ardıcıllıq və vurma əlaqəlidir: əgər 0 ≦ c, 0 ≦ d olarsa, onda R-dən hər hansı c, d üçün 0 ≦ c x d olar.
- Həm mənfi, həm də müsbət həqiqi ədədlər davamlıdır, yəni R-dən hər hansı c, d üçün R-dən elə bir f var ki, c ≦ f ≦ d olsun.
Modul R sahəsində
Real ədədlərə modul daxildir.
|f| kimi qeyd olunur R. |f|-dən istənilən f üçün=f əgər 0 ≦ f və |f|=-f əgər 0 > f. Modulu həndəsi kəmiyyət kimi qəbul etsək, bu, qət edilən məsafədir - sıfırdan mənfiyə, yoxsa artıya doğru “keçdiyinizin” fərqi yoxdur.
Kompleks və həqiqi ədədlər. Bənzərliklər və fərqlər nələrdir?
Böyüklükdə mürəkkəb və həqiqi ədədlər bir və eynidir, bundan başqakvadratı -1 olan xəyali vahid i. R və C sahələrinin elementləri aşağıdakı düsturla təmsil oluna bilər:
c=d + f x i, burada d, f R sahəsinə aiddir və i xəyali vahiddir
Bu halda R-dən c almaq üçün f sadəcə sıfıra bərabər qoyulur, yəni ədədin yalnız həqiqi hissəsi qalır. Kompleks ədədlər sahəsi həqiqi ədədlər sahəsi ilə eyni xassələrə malik olduğuna görə, f=0 olarsa, f x i=0.
Praktik fərqlərə gəldikdə, məsələn, R sahəsində diskriminant mənfi olarsa kvadrat tənlik həll edilmir, C sahəsi isə i xəyali vahidinin tətbiqi ilə əlaqədar belə bir məhdudiyyət qoymur.
Nəticələr
Riyaziyyatın əsaslandığı aksioma və postulatların "kərpicləri" dəyişmir. İnformasiyanın artması və yeni nəzəriyyələrin tətbiqi ilə əlaqədar bəzilərinin üzərinə aşağıdakı “kərpiclər” qoyulur ki, bu da gələcəkdə növbəti addım üçün əsas ola bilər. Məsələn, natural ədədlər həqiqi R sahəsinin alt çoxluğu olmasına baxmayaraq, öz aktuallığını itirmir. Bütün elementar arifmetika məhz onlara əsaslanır, insanın dünya haqqında biliyi ondan başlayır.
Praktiki nöqteyi-nəzərdən həqiqi ədədlər düz xətt kimi görünür. Bunun üzərinə istiqamət seçə, mənşəyi və addımı təyin edə bilərsiniz. Düz xətt, rasional olub-olmamasından asılı olmayaraq, hər biri bir real ədədə uyğun gələn sonsuz sayda nöqtələrdən ibarətdir. Təsvirdən aydın olur ki, söhbət həm ümumi riyaziyyatın, həm də ümumilikdə riyazi təhlilin üzərində qurulduğu konsepsiyadan gedir.xüsusi.
