Həndəsə aksiomlarından birində deyilir ki, istənilən iki nöqtə vasitəsilə tək düz xətt çəkmək olar. Bu aksiom göstərir ki, göstərilən bir ölçülü həndəsi obyekti unikal şəkildə təsvir edən unikal ədədi ifadə var. Məqalədə iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini necə yazmaq məsələsini nəzərdən keçirək.
Nöqtə və xətt nədir?
Kosmosda və müstəvidə bir cüt müxtəlif nöqtədən keçən tənliyin düz xəttinin qurulması məsələsini nəzərdən keçirməzdən əvvəl müəyyən edilmiş həndəsi obyektləri müəyyən etmək lazımdır.
Nöqtə verilmiş koordinat oxları sistemindəki koordinatlar toplusu ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Onlara əlavə olaraq, nöqtə üçün daha çox xüsusiyyət yoxdur. O, sıfır ölçülü obyektdir.
Düz xətt haqqında danışarkən hər bir insan ağ vərəqdə təsvir olunan xətti təsəvvür edir. Eyni zamanda, dəqiq həndəsi tərif vermək mümkündürbu obyekt. Düz xətt elə nöqtələr toplusudur ki, onların hər birinin digərləri ilə əlaqəsi paralel vektorlar toplusunu verəcəkdir.
Bu tərif aşağıda müzakirə olunacaq düz xəttin vektor tənliyini təyin edərkən istifadə olunur.
Hər hansı bir xətt ixtiyari uzunluqda seqmentlə qeyd oluna bildiyi üçün onun birölçülü həndəsi obyekt olduğu deyilir.
Nömrə vektor funksiyası
Keçən düz xəttin iki nöqtəsindən keçən tənlik müxtəlif formalarda yazıla bilər. Üç ölçülü və iki ölçülü fəzalarda əsas və intuitiv şəkildə başa düşülən ədədi ifadə vektordur.
Fərz edək ki, u¯(a; b; c) istiqamətləndirilmiş seqment var. 3D məkanında u¯ vektoru istənilən nöqtədən başlaya bilər, ona görə də onun koordinatları sonsuz paralel vektorlar toplusunu müəyyən edir. Bununla belə, müəyyən bir nöqtəni seçsək P(x0; y0; z0) və qoyun u¯ vektorunun başlanğıcı kimi, onda bu vektoru ixtiyari real ədəd λ ilə çarparaq, fəzada bir düz xəttin bütün nöqtələrini əldə etmək olar. Yəni vektor tənliyi belə yazılacaq:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Aydındır ki, təyyarədəki vəziyyət üçün ədədi funksiya aşağıdakı formanı alır:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Bu tip tənliyin digərləri ilə müqayisədə üstünlüyü (seqmentlərdə, kanonik,ümumi forma) istiqamət vektorunun koordinatlarını açıq şəkildə ehtiva etməsindən ibarətdir. Sonuncu tez-tez xətlərin paralel və ya perpendikulyar olduğunu müəyyən etmək üçün istifadə olunur.
Seqmentlərdə ümumi və ikiölçülü fəzada düz xətt üçün kanonik funksiya
Məsələləri həll edərkən bəzən iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini müəyyən, konkret formada yazmaq lazımdır. Buna görə də, bu həndəsi obyekti ikiölçülü məkanda göstərməyin başqa yolları da verilməlidir (sadəlik üçün işi müstəvidə nəzərdən keçiririk).
Gəlin ümumi tənlikdən başlayaq. Onun forması var:
Ax + By + C=0
Bir qayda olaraq, müstəvidə düz xəttin tənliyi bu formada yazılır, yalnız y açıq şəkildə x vasitəsilə müəyyən edilir.
İndi yuxarıdakı ifadəni aşağıdakı kimi çevirin:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Bu ifadə seqmentlərdə tənlik adlanır, çünki hər dəyişən üçün məxrəc başlanğıc nöqtəsinə (0; 0) nisbətən xətt seqmentinin müvafiq koordinat oxunda nə qədər kəsildiyini göstərir.
Qaldı kanonik tənliyə nümunə vermək. Bunun üçün vektor bərabərliyini açıq şəkildə yazırıq:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Buradan λ parametrini ifadə edək və yaranan bərabərlikləri bərabərləşdirək:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Sonuncu bərabərlik kanonik və ya simmetrik formada tənlik adlanır.
Onların hər biri vektora və əksinə çevrilə bilər.
İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi: tərtib texnikası
Məqalənin sualına qayıdın. Fərz edək ki, fəzada iki nöqtə var:
M(x1; y1; z1) və N(x 2; y2; z2)
Onlardan yeganə düz xətt keçir, tənliyini vektor şəklində tərtib etmək çox asandır. Bunun üçün istiqamətlənmiş MN¯ seqmentinin koordinatlarını hesablayırıq, bizdə:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Bu vektorun tənliyi alınmalı olan düz xətt üçün bələdçi olacağını təxmin etmək çətin deyil. M və N-dən də keçdiyini bilərək, vektor ifadəsi üçün onlardan hər hansı birinin koordinatlarından istifadə edə bilərsiniz. Sonra istənilən tənlik formanı alır:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
İki ölçülü fəzada z dəyişəninin iştirakı olmadan oxşar bərabərliyi əldə edirik.
Xətt üçün vektor bərabərliyi yazılan kimi, problemin sualının tələb etdiyi hər hansı digər formaya çevrilə bilər.
Tapşırıq:ümumi tənliyi yazın
Məlumdur ki, (-1; 4) və (3; 2) koordinatları olan nöqtələrdən düz xətt keçir. Onlardan keçən düz xəttin tənliyini ümumi formada, y-ni x ifadəsi ilə ifadə etmək lazımdır.
Məsələni həll etmək üçün əvvəlcə tənliyi vektor şəklində yazırıq. Vektor (bələdçi) koordinatları bunlardır:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Onda düz xəttin tənliyinin vektor forması belədir:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Onu ümumi formada y(x) şəklində yazmaq qalır. Bu bərabərliyi açıq şəkildə yenidən yazırıq, λ parametrini ifadə edirik və onu tənlikdən çıxarırıq:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Nəticədə olan kanonik tənlikdən y-ni ifadə edirik və məsələnin sualının cavabına gəlirik:
y=-0,5x + 3,5
Bu bərabərliyin etibarlılığı problem bəyanatında göstərilən nöqtələrin koordinatlarını əvəz etməklə yoxlanıla bilər.
Problem: seqmentin mərkəzindən keçən düz xətt
İndi maraqlı bir problemi həll edək. Tutaq ki, iki M(2; 1) və N(5; 0) nöqtəsi verilmişdir. Məlumdur ki, nöqtələri birləşdirən və ona perpendikulyar olan seqmentin orta nöqtəsindən düz xətt keçir. Seqmentin ortasından keçən düz xəttin tənliyini vektor şəklində yazın.
İstədiyiniz ədədi ifadə bu mərkəzin koordinatını hesablamaq və istiqamət vektorunu təyin etməklə formalaşdırıla bilər.seqment 90o bucaq edir.
Seqmentin orta nöqtəsi:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
İndi MN¯ vektorunun koordinatlarını hesablayaq:
MN¯=N - M=(3; -1)
İstədiyiniz xəttin istiqamət vektoru MN¯-yə perpendikulyar olduğundan, onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir. Bu, sükan vektorunun naməlum koordinatlarını (a; b) hesablamağa imkan verir:
a3 - b=0=>
b=3a
İndi vektor tənliyini yazın:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Burada aλ məhsulunu yeni β parametri ilə əvəz etdik.
Beləliklə, seqmentin mərkəzindən keçən düz xəttin tənliyini etdik.
