İrrasional ədədlər hansılardır? Onlar niyə belə adlanır? Onlar harada istifadə olunur və onlar nədir? Çox az adam bu suallara tərəddüd etmədən cavab verə bilər. Amma əslində onlara cavablar olduqca sadədir, baxmayaraq ki, hər kəs onlara ehtiyac duymur və çox nadir hallarda
Mahiyyət və təyinat
İrrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövri onluq kəsrlərdir. Bu konsepsiyanın təqdim edilməsi zərurəti onunla əlaqədardır ki, əvvəllər mövcud olan həqiqi və ya həqiqi, tam, natural və rasional ədədlər anlayışları yeni yaranan məsələlərin həlli üçün artıq kifayət etmirdi. Məsələn, 2-nin kvadratının nə olduğunu hesablamaq üçün təkrar olunmayan sonsuz onluqlardan istifadə etməlisiniz. Bundan əlavə, ən sadə tənliklərin çoxunun da irrasional ədəd anlayışını təqdim etmədən həlli yoxdur.
Bu çoxluq I kimi işarələnir. Və artıq aydın olduğu kimi, bu qiymətlər sadə kəsr kimi göstərilə bilməz, onun paylayıcısında tam ədəd, məxrəcində isə natural ədəd olacaqdır..
İlk dəfədirəks halda hind riyaziyyatçıları bu hadisə ilə eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə bəzi kəmiyyətlərin kvadrat köklərinin açıq şəkildə göstərilə bilmədiyi aşkar edildikdə qarşılaşdılar. Və bu cür ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın öyrənilməsi prosesində bunu edən Pifaqor Hippasına aiddir. Bu toplunun öyrənilməsinə bizim eradan əvvəl yaşamış bəzi digər alimlər də ciddi töhfə vermişlər. İrrasional ədədlər anlayışının tətbiqi mövcud riyazi sistemin yenidən nəzərdən keçirilməsinə səbəb oldu, buna görə də onlar çox vacibdir.
Adın mənşəyi
Əgər nisbət latınca "kəsir", "nisbət" deməkdirsə, o zaman "ir"
prefiksi bu sözün əks mənasını verir. Beləliklə, bu ədədlərin çoxluğunun adı göstərir ki, onlar tam və ya kəsrlə əlaqələndirilə bilməz, onların ayrıca yeri var. Bu, onların mahiyyətindən irəli gəlir.
Ümumi təsnifatda yer
İrrasional ədədlər rasional ədədlərlə yanaşı, öz növbəsində kompleks ədədlərə aid olan həqiqi və ya həqiqi ədədlər qrupuna aiddir. Heç bir alt çoxluq yoxdur, lakin aşağıda müzakirə olunacaq cəbri və transsendental növlər var.
Xüsusiyyətlər
İrrasional ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğunun bir hissəsi olduğundan onların arifmetikada öyrənilən bütün xassələri (bunlara əsas cəbr qanunları da deyilir) aiddir.
a + b=b + a (kommutativlik);
(a + b) + c=a + (b + c)(assosiativlik);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (əks ədədin mövcudluğu);
ab=ba (yer dəyişdirmə qanunu);
(ab)c=a(bc) (paylanma);
a(b+c)=ab + ac (paylayıcı qanun);
a x 1=a
a x 1/a=1 (əks ədədin mövcudluğu);
Müqayisə həmçinin ümumi qanunlara və prinsiplərə uyğun aparılır:
Əgər a > b və b > c, onda a > c (nisbətin keçid qabiliyyəti) və. s.
Əlbəttə, bütün irrasional ədədləri əsas hesabdan istifadə etməklə çevirmək olar. Bunun üçün xüsusi qaydalar yoxdur.
Bundan əlavə, Arximed aksiomu irrasional ədədlərə aiddir. Burada deyilir ki, hər hansı iki a və b kəmiyyəti üçün a-nı kifayət qədər dəfə götürməklə b kəmiyyətini keçə biləcəyiniz ifadəsi doğrudur.
İstifadə edin
Adi həyatda onlarla tez-tez məşğul olmamağınıza baxmayaraq, irrasional ədədləri saymaq olmaz. Onların çoxu var, amma demək olar ki, görünməzdir. Bizi hər yerdə irrasional rəqəmlər əhatə edir. Hamıya tanış olan nümunələr 3-ə bərabər olan pi ədədi, 1415926 … və ya mahiyyətcə natural loqarifmin əsasını təşkil edən e, 2, 718281828 … Cəbr, triqonometriya və həndəsədə onlardan daim istifadə etmək lazımdır.. Yeri gəlmişkən, "qızıl bölmə"nin məşhur dəyəri, yəni həm böyük hissənin kiçikə nisbəti, həm də əksinə, həm də
bu dəstə aiddir. Daha az tanınan "gümüş" də.
Onlar say xəttində çox sıx yerləşiblər, ona görə də rasional olanlar çoxluğuna aid hər iki dəyər arasında irrasional olan mütləq baş verəcək.
Bu dəstlə bağlı hələ də çoxlu həll edilməmiş problemlər var. Bir ədədin irrasionallığının ölçüsü və normallığı kimi meyarlar var. Riyaziyyatçılar bu və ya digər qrupa aid olduqları üçün ən əhəmiyyətli nümunələri araşdırmağa davam edirlər. Məsələn, e-nin normal ədəd olduğuna inanılır, yəni onun qeydində müxtəlif rəqəmlərin görünmə ehtimalı eynidir. Pi-yə gəlincə, bununla bağlı araşdırmalar hələ də davam edir. İrrasionallıq ölçüsünə bu və ya digər ədədin rasional ədədlərlə nə dərəcədə yaxınlaşdırıla biləcəyini göstərən dəyər də deyilir.
Cəbri və transsendental
Artıq qeyd edildiyi kimi, irrasional ədədlər şərti olaraq cəbri və transsendental bölünür. Şərti olaraq, ciddi şəkildə desək, bu təsnifat C çoxluğunu bölmək üçün istifadə olunur.
Bu təyinat real və ya həqiqi ədədləri ehtiva edən mürəkkəb ədədləri gizlədir.
Beləliklə, cəbri qiymət eyni olaraq sıfıra bərabər olmayan çoxhədlinin kökü olan qiymətdir. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü bu kateqoriyada olacaq, çünki o, x2 - 2=0 tənliyinin həllidir.
Bu şərti təmin etməyən bütün digər real ədədlər transsendental adlanır. Bu müxtəlifliyəən məşhur və artıq qeyd olunan nümunələri - pi sayı və təbii loqarifmin əsasını daxil edin.
Maraqlıdır ki, nə biri, nə də ikincisi ilkin olaraq riyaziyyatçılar tərəfindən bu keyfiyyətdə çıxarılmamışdır, onların irrasionallığı və transsendentliyi kəşflərindən illər sonra sübuta yetirilmişdir. Pi üçün sübut 1882-ci ildə verildi və 1894-cü ildə sadələşdirildi və bu, dairənin kvadratlaşdırılması problemi ilə bağlı 2500 illik mübahisəyə son qoydu. Hələ də tam başa düşülməyib, ona görə də müasir riyaziyyatçıların üzərində işləmək üçün bir şey var. Yeri gəlmişkən, bu dəyərin ilk kifayət qədər dəqiq hesablanması Arximed tərəfindən aparılmışdır. Ondan əvvəl bütün hesablamalar çox təxmini idi.
E (Euler və ya Napier rəqəmləri) üçün onun transsendensiyasının sübutu 1873-cü ildə tapıldı. Loqarifmik tənliklərin həllində istifadə olunur.
Digər misallara hər hansı cəbri sıfır olmayan qiymətlər üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri daxildir.
