Funksiyanın ekstremum nöqtələrinin nə olduğunu başa düşmək üçün birinci və ikinci törəmələrin mövcudluğu haqqında bilmək və onların fiziki mənasını başa düşmək qətiyyən lazım deyil. Əvvəlcə aşağıdakıları başa düşməlisiniz:
- funksiyanın ekstrema ixtiyari olaraq kiçik bir qonşuluqda funksiyanın dəyərini maksimuma çatdırır və ya əksinə, minimuma endirir;
- Ekstremal nöqtədə funksiya fasiləsi olmamalıdır.
Və indi eyni, yalnız sadə dildə. Toplu qələmin ucuna baxın. Qələm şaquli olaraq, yazının sonu ilə yerləşdirilirsə, topun ən ortası həddindən artıq nöqtə - ən yüksək nöqtə olacaqdır. Bu vəziyyətdə maksimumdan danışırıq. İndi qələmi yazı ucunu aşağı çevirsəniz, topun ortasında artıq minimum funksiya olacaq. Burada verilmiş rəqəmin köməyi ilə dəftərxana ləvazimatları qələmi üçün sadalanan manipulyasiyaları təsəvvür edə bilərsiniz. Beləliklə, funksiyanın ekstremalları həmişə kritik nöqtələrdir: maksimum və ya minimum. Diaqramın bitişik hissəsi özbaşına kəskin və ya hamar ola bilər, lakin o, hər iki tərəfdə mövcud olmalıdır, yalnız bu halda nöqtə ekstremumdur. Diaqram yalnız bir tərəfdədirsə, bu nöqtə bir tərəfdə olsa belə, ekstremum olmayacaqdırekstremal şərtlər yerinə yetirilir. İndi isə funksiyanın ekstremumunu elmi baxımdan öyrənək. Bir nöqtənin ekstremum hesab edilməsi üçün zəruri və kifayətdir:
- birinci törəmə sıfıra bərabər idi və ya həmin nöqtədə mövcud deyildi;
- ilk törəmə bu nöqtədə işarəsini dəyişdi.
Şərt daha yüksək dərəcəli törəmələr nöqteyi-nəzərindən bir qədər fərqli şərh olunur: bir nöqtədə diferensiallaşan funksiya üçün sıfıra bərabər olmayan tək düzənli törəmənin olması kifayətdir, halbuki hamısı aşağı dərəcəli törəmələr mövcud olmalı və sıfıra bərabər olmalıdır. Bu, ali riyaziyyat dərsliklərindəki teoremlərin ən sadə şərhidir. Amma ən adi insanlar üçün bu məqamı bir misalla izah etməyə dəyər. Əsas adi paraboladır. Dərhal rezervasiya edin, sıfır nöqtədə onun minimumu var. Bir az riyaziyyat:
- birinci törəmə (X2)|=2X, sıfır nöqtəsi üçün 2X=0;
- ikinci törəmə (2X)|=2, sıfır nöqtəsi üçün 2=2.
Bu, həm birinci dərəcəli törəmələr, həm də daha yüksək dərəcəli törəmələr üçün funksiyanın ekstremumlarını təyin edən şərtlərin sadə təsviridir. Buna əlavə edə bilərik ki, ikinci törəmə yalnız bir az yuxarıda müzakirə olunan sıfıra bərabər olmayan tək sıralı eyni törəmədir. İki dəyişənli funksiyanın ekstremallarına gəldikdə, hər iki arqument üçün şərtlər yerinə yetirilməlidir. Nə vaxtümumiləşdirmə baş verir, sonra qismən törəmələrdən istifadə olunur. Yəni, hər iki birinci dərəcəli törəmənin sıfıra bərabər olduğu və ya heç olmasa birinin mövcud olmadığı nöqtədə ekstremumun olması lazımdır. Ekstremumun mövcudluğunun kafiliyi üçün ikinci dərəcəli törəmələrin hasili ilə funksiyanın qarışıq ikinci dərəcəli törəməsinin kvadratı arasındakı fərq olan ifadə araşdırılır. Bu ifadə sıfırdan böyükdürsə, o zaman ekstremum var və sıfırdırsa, sual açıq qalır və əlavə araşdırmaya ehtiyac var.
