Həndəsə ona görə gözəldir ki, cəbrdən fərqli olaraq, nə düşündüyünüzün və nə üçün həmişə aydın olmadığı halda, obyektə görünmə imkanı verir. Müxtəlif bədənlərdən ibarət bu ecazkar dünya adi çoxüzlülərlə bəzədilib.
Adi çoxüzlülər haqqında ümumi məlumat
Bir çoxlarına görə, müntəzəm çoxüzlülər və ya Platonik bərk cisimlər də adlandırıldığı kimi, unikal xüsusiyyətlərə malikdir. Bu obyektlərlə bir neçə elmi fərziyyə əlaqələndirilir. Bu həndəsi cisimləri öyrənməyə başlayanda başa düşürsən ki, adi çoxüzlülər kimi anlayış haqqında praktiki olaraq heç nə bilmirsən. Məktəbdə bu obyektlərin təqdimatı həmişə maraqlı olmur, ona görə də çoxları onların nə adlandığını belə xatırlamır. İnsanların çoxu yalnız kubu xatırlayır. Həndəsədəki cisimlərin heç biri adi çoxüzlülər qədər mükəmməl deyil. Bu həndəsi cisimlərin bütün adları Qədim Yunanıstandan gəlir. Onlar üzlərin sayını nəzərdə tuturlar: tetraedr - dördüzlü, heksahedr - altı üzlü, oktaedr - oktaedr, dodekaedr - on iki üzlü, ikosahedr - iyirmi tərəfli. Bütün bu həndəsi cisimlərPlatonun kainat anlayışında mühüm yer tuturdu. Onlardan dördü elementləri və ya varlıqları təcəssüm etdirirdi: tetraedr - od, ikosahedr - su, kub - torpaq, oktaedr - hava. Dodekaedr mövcud olan hər şeyi təcəssüm etdirirdi. Kainatın simvolu olduğu üçün o, əsas sayılırdı.
Çoxüzlü anlayışının ümumiləşdirilməsi
Çoxbucaqlı sonlu sayda çoxbucaqlılar toplusudur ki,:
- çoxbucaqlılardan hər hansı birinin tərəflərinin hər biri eyni zamanda eyni tərəfdə olan yalnız bir çoxbucaqlının tərəfidir;
- çoxbucaqlıların hər birindən ona bitişik çoxbucaqlıları keçməklə digərlərinə keçə bilərsiniz.
Çoxbucaqlını təşkil edən çoxbucaqlılar onun üzləri, yanları isə kənarlarıdır. Çoxbucaqlıların təpələri çoxbucaqlıların təpələridir. Əgər çoxbucaqlı anlayışı düz qapalı qırıq xətlər kimi başa düşülürsə, onda çoxbucaqlının bir tərifinə gəlirik. Bu anlayış təyyarənin qırıq xətlərlə məhdudlaşan hissəsini nəzərdə tutursa, çoxbucaqlı parçalardan ibarət səth başa düşülməlidir. Qabarıq çoxüzlü müstəvidə üzünə bitişik bir tərəfdə uzanan cisimdir.
Çoxüzlü və onun elementlərinin başqa tərifi
Polihedron həndəsi cismi məhdudlaşdıran çoxbucaqlılardan ibarət səthdir. Onlar:
- qeyri-qabarıq;
- qabarıq (düzgün və yanlış).
Müntəzəm çoxüzlü maksimum simmetriyaya malik qabarıq çoxüzlüdür. Adi çoxüzlü elementlər:
- tetraedr: 6 kənar, 4 üz, 5 təpə;
- heksahedron (kub): 12, 6, 8;
- dodekaedr: 30, 12, 20;
- oktaedr: 12, 8, 6;
- ikosahedr: 30, 20, 12.
Euler teoremi
O, topoloji cəhətdən sferaya ekvivalent olan kənarların, təpələrin və üzlərin sayı arasında əlaqə qurur. Müxtəlif müntəzəm çoxüzlülərin təpələrinin və üzlərinin (B + D) sayını əlavə etməklə və onları kənarların sayı ilə müqayisə etməklə bir nümunə qurmaq olar: üzlərin və təpələrin sayının cəmi kənarların sayına (P) bərabərdir. 2 ilə. Siz sadə düstur əldə edə bilərsiniz:
B + D=R + 2
Bu düstur bütün qabarıq çoxüzlülər üçün doğrudur.
Əsas təriflər
Müntəzəm çoxüzlü anlayışı bir cümlə ilə təsvir edilə bilməz. Daha mənalı və həcmlidir. Bir orqanın belə tanınması üçün o, bir sıra təriflərə cavab verməlidir. Beləliklə, aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilərsə, həndəsi cisim müntəzəm çoxbucaqlı olacaqdır:
- bu qabarıqdır;
- onun təpələrinin hər birində eyni sayda kənarlar birləşir;
- onun bütün üzləri bir-birinə bərabər müntəzəm çoxbucaqlıdır;
- onun bütün dihedral bucaqları bərabərdir.
Adi çoxüzlülərin xassələri
5 müxtəlif növ müntəzəm çoxüzlülər var:
- Kub (altıüzlü) - onun yuxarı hissəsində düz bucağı 90°-dir.3 tərəfli bucağı var. Yuxarıdakı düz bucaqların cəmi 270°-dir.
- Tetraedr - yuxarıda düz bucaq - 60°. 3 tərəfli bucağı var. Yuxarıdakı düz bucaqların cəmi 180°-dir.
- Oktaedr - düz təpə bucağı - 60°. 4 tərəfli küncü var. Yuxarıdakı düz bucaqların cəmi 240°-dir.
- Dodekaedr - təpəsində 108° düz bucaq. 3 tərəfli bucağı var. Yuxarıdakı düz bucaqların cəmi 324°-dir.
- İkosaedr - yuxarıda düz bucaq var - 60°. Onun 5 tərəfli bucağı var. Yuxarıdakı düz bucaqların cəmi 300°-dir.
Normal çoxüzlülərin sahəsi
Bu həndəsi cisimlərin səth sahəsi (S) müntəzəm çoxbucaqlının sahəsinin onun üzlərinin sayına (G) vurulması ilə hesablanır:
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Adi çoxüzlünün həcmi
Bu dəyər əsasında nizamlı çoxbucaqlı olan müntəzəm piramidanın həcmini üzlərin sayına vurmaqla hesablanır və onun hündürlüyü içə yazılmış kürənin radiusudur (r):
V=1: 3rS
Adi çoxüzlülərin həcmləri
Hər hansı digər həndəsi cisim kimi, müntəzəm çoxüzlülərin də müxtəlif həcmləri var. Aşağıda onları hesablaya biləcəyiniz düsturlar verilmişdir:
- tetraedr: α x 3√2: 12;
- oktaedr: α x 3√2: 3;
- ikosahedron; α x 3;
- heksahedr (kub): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedr: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Müntəzəm çoxüzlülərin elementləri
Heksahedr və oktaedr ikili həndəsi cisimlərdir. Başqa sözlə desək, birinin üzünün ağırlıq mərkəzi digərinin təpə nöqtəsi kimi götürülərsə və əksinə onlar bir-birindən alına bilər. İkosaedr və dodekaedr də ikilidir. Yalnız tetraedr özü üçün ikilidir. Evklid üsuluna görə, kubun üzlərində "dam"lar tikməklə altıbucaqlıdan dodekaedr əldə etmək olar. Tetraedrin təpələri bir kənar boyunca cüt-cüt bitişik olmayan kubun istənilən 4 təpəsi olacaqdır. Heksahedrondan (kubdan) başqa müntəzəm çoxüzlülər əldə edə bilərsiniz. Saysız-hesabsız müntəzəm çoxbucaqlıların olmasına baxmayaraq, yalnız 5 müntəzəm çoxüzlü var.
Normal çoxbucaqlıların radiusu
Bu həndəsi cisimlərin hər biri ilə əlaqəli 3 konsentrik sfera var:
- təsvir edilir, zirvələrindən keçərək;
- yazılı, onun hər bir üzünə onun mərkəzində toxunaraq;
- median, ortadakı bütün kənarlara toxunur.
Təsvir olunan sferanın radiusu aşağıdakı düsturla hesablanır:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Çatılmış kürənin radiusu düsturla hesablanır:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
burada θ bitişik üzlər arasındakı dihedral bucaqdır.
Media kürəsinin radiusu aşağıdakı düsturla hesablana bilər:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
burada h dəyəri=4, 6, 6, 10 və ya 10. Sərtləşdirilmiş və yazılan radiusların nisbəti p və q-ya nisbətən simmetrikdir. Odüsturla hesablanır:
R/r=tg π/p x tg π/q
Çoxüzlülərin simmetriyası
Düzgün çoxüzlülərin simmetriyası bu həndəsi cisimlərə əsas marağa səbəb olur. Kosmosda eyni sayda təpələri, üzləri və kənarları tərk edən bədənin belə bir hərəkəti başa düşülür. Başqa sözlə, simmetriya çevrilməsinin təsiri altında kənar, təpə, üz ya öz orijinal mövqeyini saxlayır, ya da başqa kənarın, təpənin və ya üzün orijinal mövqeyinə keçir.
Düzgün çoxüzlülərin simmetriya elementləri belə həndəsi cisimlərin bütün növləri üçün xarakterikdir. Burada hər hansı bir nöqtəni ilkin mövqeyində qoyan eyni transformasiyadan söhbət gedir. Beləliklə, çoxbucaqlı prizmanı fırladıqda bir neçə simmetriya əldə edə bilərsiniz. Onlardan hər hansı birini əks etdirmə məhsulu kimi təqdim etmək olar. Cüt sayda əksin məhsulu olan simmetriya düz xətt adlanır. Tək sayda əksin hasilidirsə, o zaman tərs adlanır. Beləliklə, bir xətt ətrafında bütün fırlanmalar birbaşa simmetriyadır. Çoxüzlülərin hər hansı əksi tərs simmetriyadır.
Müntəzəm çoxüzlülərin simmetriya elementlərini daha yaxşı başa düşmək üçün tetraedri nümunə götürə bilərik. Bu həndəsi fiqurun təpələrindən və mərkəzindən keçəcək hər hansı düz xətt də ona qarşı olan üzün mərkəzindən keçəcəkdir. Xəttin ətrafında 120° və 240° dönmələrin hər biri cəmdir.tetraedrin simmetriyası. Onun 4 təpəsi və 4 üzü olduğu üçün yalnız səkkiz birbaşa simmetriya var. Kənarın ortasından və bu gövdənin mərkəzindən keçən xətlərdən hər hansı biri onun əks kənarının ortasından keçir. Düz xətt ətrafında yarım dönmə adlanan istənilən 180° fırlanma simmetriyadır. Tetraedrin üç cüt kənarı olduğundan, daha üç birbaşa simmetriya var. Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, eyni çevrilmə də daxil olmaqla birbaşa simmetriyaların ümumi sayı on ikiyə çatacaq. Tetraedrin başqa birbaşa simmetriyası yoxdur, lakin onun 12 tərs simmetriyası var. Buna görə də tetraedr cəmi 24 simmetriya ilə xarakterizə olunur. Aydınlıq üçün siz kartondan adi tetraedrin modelini qura və bu həndəsi gövdə həqiqətən yalnız 24 simmetriyaya malik olduğuna əmin ola bilərsiniz.
Dodekaedr və ikosahedr bədənin sferasına ən yaxındır. İkosaedr ən çox üzə, ən böyük dihedral bucağa malikdir və yazısı olan kürəyə ən möhkəm basdırıla bilər. Dodekaedr ən kiçik bucaq qüsuruna, təpəsində ən böyük bərk bucağa malikdir. O, təsvir etdiyi sferanı maksimum dərəcədə doldura bilər.
Çoxüzlülərin süpürgələri
Uşaqlıqda hamımızın bir-birinə yapışdırdığımız müntəzəm bükülməmiş çoxüzlülərin çoxlu anlayışları var. Əgər hər tərəfi çoxbucaqlının yalnız bir tərəfi ilə eyniləşdirilən çoxbucaqlılar toplusu varsa, o zaman tərəflərin eyniləşdirilməsi iki şərtə cavab verməlidir:
- hər çoxbucaqlıdan, siz olan çoxbucaqlıları keçə bilərsinizmüəyyən edilmiş tərəf;
- müəyyən edilmiş tərəflər eyni uzunluğa malik olmalıdır.
Bu şərtləri ödəyən çoxbucaqlılar çoxluğuna çoxbucaqlının inkişafı deyilir. Bu orqanların hər birində bir neçə var. Beləliklə, məsələn, bir kubda 11 ədəd var.
