Matrislər (rəqəm elementləri olan cədvəllər) müxtəlif hesablamalar üçün istifadə edilə bilər. Onlardan bəziləri ədədə, vektora, başqa bir matrisə, bir neçə matrisəyə vurmadır. Məhsul bəzən səhv olur. Səhv nəticə hesablama hərəkətlərinin yerinə yetirilməsi qaydalarını bilməməyin nəticəsidir. Gəlin vurmanın necə ediləcəyini anlayaq.
Matrisa və rəqəm
Ən sadə şeylə başlayaq - rəqəmlərlə cədvəli müəyyən bir dəyərə vurmaq. Məsələn, aij elementləri (i sətir nömrələri, j isə sütun nömrələridir) və e rəqəmi olan A matrisinə sahibik. Matrisin e sayı ilə hasilatı bij elementləri olan B matrisi olacaq ki, bu düsturla tapılır:
bij=e × aij.
T. e. b11 elementini əldə etmək üçün a11 elementini götürməli və onu istədiyiniz ədədə vurmalı, b12 əldə etməlisiniz. a12 elementinin hasilini və e rəqəmini və s. tapmaq tələb olunur.
Şəkildə göstərilən 1 nömrəli məsələni həll edək. B matrisini əldə etmək üçün A-dan olan elementləri 3-ə vurmaq kifayətdir:
- a11 × 3=18. Bu dəyəri B matrisinə 1 nömrəli sütunla 1 nömrəli sətirin kəsişdiyi yerdə yazırıq.
- a21 × 3=15. Biz b21 elementini əldə etdik.
- a12 × 3=-6. Biz b12 elementini aldıq. Onu B matrisinə 2 sütun və 1 sətirin kəsişdiyi yerdə yazırıq.
- a22 × 3=9. Bu nəticə b22 elementidir.
- a13 × 3=12. Bu rəqəmi matrisə b13 elementinin yerinə daxil edin.
- a23 × 3=-3. Son qəbul edilən nömrə b23 elementidir.
Beləliklə, biz ədədi elementləri olan düzbucaqlı massiv əldə etdik.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorlar və matrislərin hasilinin mövcudluğu şərti
Riyaziyyat fənlərində "vektor" deyə bir şey var. Bu termin a1 - a sıralı qiymətlər dəstinə aiddir. Onlar vektor fəza koordinatları adlanır və sütun şəklində yazılır. “Köçürülmüş vektor” termini də var. Onun komponentləri sətir kimi düzülüb.
Vektorları matris adlandırmaq olar:
- sütun vektoru bir sütundan qurulmuş matrisdir;
- sətir vektoru yalnız bir sıra ehtiva edən matrisdir.
Bitirdikdən sonravurma əməliyyatlarının matrisləri üzərində məhsulun mövcudluğu üçün bir şərt olduğunu xatırlamaq lazımdır. A × B hesablama hərəkəti yalnız A cədvəlindəki sütunların sayı B cədvəlindəki sətirlərin sayına bərabər olduqda həyata keçirilə bilər. Hesablama nəticəsində əldə edilən matris həmişə A cədvəlindəki sətirlərin sayına və sütunların sayına malikdir. cədvəl B.
Çarılma zamanı matrisləri (çox altıcıları) yenidən təşkil etmək tövsiyə edilmir. Onların məhsulu adətən çarpmanın kommutativ (yerdəyişmə) qanununa uyğun gəlmir, yəni A × B əməliyyatının nəticəsi B × A əməliyyatının nəticəsinə bərabər deyil. Bu xüsusiyyət məhsulun qeyri-kommutativliyi adlanır. matrislər. Bəzi hallarda, A × B vurmasının nəticəsi B × A vurmasının nəticəsinə bərabərdir, yəni məhsul kommutativdir. A × B=B × A bərabərliyinin təmin edildiyi matrislərə permutasiya matrisləri deyilir. Aşağıdakı cədvəllərin nümunələrinə baxın.
Sütun vektoruna vurma
Matrisi sütun vektoruna vurarkən məhsulun mövcudluğu şərtini nəzərə almalıyıq. Cədvəldəki sütunların sayı (n) vektoru təşkil edən koordinatların sayına uyğun olmalıdır. Hesablamanın nəticəsi çevrilmiş vektordur. Onun koordinatlarının sayı cədvəldəki xətlərin sayına (m) bərabərdir.
A matrisi və x vektoru varsa, y vektorunun koordinatları necə hesablanır? Hesablamalar üçün yaradılmış düsturlar:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
burada x1, …, x x-vektorundan koordinatlar, m matrisdəki sıraların sayı və ədəddir yeni y- vektorunda koordinatların sayı, n matrisdəki sütunların sayı və x-vektorundakı koordinatların sayı, a11, a12, …, amn– A matrisinin elementləri.
Beləliklə, yeni vektorun i-ci komponentini almaq üçün skalyar hasil yerinə yetirilir. i-ci sıra vektoru A matrisindən götürülüb və o, mövcud x vektoruna vurulur.
2-ci məsələni həll edək. Matrislə vektorun hasilini tapa bilərsiniz, çünki A-nın 3 sütunu və x-in 3 koordinatı var. Nəticədə 4 koordinatlı bir sütun vektoru almalıyıq. Yuxarıdakı düsturlardan istifadə edək:
- Y1 hesablayın. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Son dəyər 2-dir.
- Y2 hesablayın. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Hesablama zamanı biz 0 alırıq.
- Y3 hesablayın. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Göstərilən amillərin məhsullarının cəmi 6-dır.
- Y4 hesablayın. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinat -8.
Sıra vektor-matris vurması
Birdən çox sütunlu matrisi sətir vektoruna vura bilməzsiniz. Belə hallarda əsərin mövcudluğu şərti təmin edilmir. Lakin cərgə vektorunun matrislə vurulması mümkündür. Buvektordakı koordinatların sayı ilə cədvəldəki cərgələrin sayı uyğunlaşdıqda hesablama əməliyyatı yerinə yetirilir. Bir vektor və matrisin məhsulunun nəticəsi yeni bir sıra vektorudur. Onun koordinatlarının sayı matrisdəki sütunların sayına bərabər olmalıdır.
Yeni vektorun ilk koordinatının hesablanması cədvəldən sıra vektorunun və birinci sütun vektorunun vurulmasını nəzərdə tutur. İkinci koordinat oxşar şəkildə hesablanır, lakin birinci sütun vektorunun əvəzinə ikinci sütun vektoru alınır. Koordinatların hesablanması üçün ümumi düstur budur:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, burada yk y-vektorundan koordinatdır, (k 1 ilə n arasındadır), m matrisdəki sıraların sayı və koordinatların sayıdır x-vektorunda, n matrisin sütunlarının sayı və y-vektorundakı koordinatların sayı, əlifba-rəqəm indeksli a, A matrisinin elementləridir.
Düzbucaqlı matrislərin hasili
Bu hesablama mürəkkəb görünə bilər. Bununla belə, çarpma asanlıqla həyata keçirilir. Bir təriflə başlayaq. m sətir və n sütunlu A matrisinin və n sətri və p sütunlu B matrisinin hasili m sətir və p sütunlu C matrisidir, burada cij elementi A cədvəlindən i-ci sətir və B cədvəlindən j-ci sütun elementlərinin hasillərinin cəmi. Daha sadə dillə desək, cij elementi i-ci sətirin skalyar hasilidir. A cədvəlindən vektor və B cədvəlindən j-ci sütun vektoru.
İndi isə düzbucaqlı matrislərin hasilinin necə tapılacağını praktikada anlayaq. Bunun üçün 3 saylı məsələni həll edək. Məhsulun mövcudluğu şərti ödənilir. Cij:
elementlərini hesablamağa başlayaq
- Matrix C-də 2 sıra və 3 sütun olacaq.
- Elementi hesablayın c11. Bunun üçün A matrisindən 1 nömrəli sətir və B matrisindən 1 nömrəli sütunun skalyar hasilini yerinə yetiririk. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Sonra oxşar şəkildə davam edirik, yalnız sətirləri, sütunları dəyişdiririk (element indeksindən asılı olaraq).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementlər hesablanır. İndi yalnız alınan nömrələrdən düzbucaqlı blok yaratmaq qalır.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Üç matrisin vurulması: nəzəri hissə
Üç matrisin hasilini tapa bilərsiniz? Bu hesablama əməliyyatı mümkündür. Nəticə bir neçə yolla əldə edilə bilər. Məsələn, 3 kvadrat masa (eyni qaydada) var - A, B və C. Məhsulu hesablamaq üçün siz:
- Əvvəlcə A və B-ni vurun. Sonra nəticəni C ilə vurun.
- Əvvəlcə B və C-nin hasilini tapın. Sonra A matrisini nəticəyə vurun.
Düzbucaqlı matrisləri çox altmaq lazımdırsa, onda əvvəlcə bu hesablama əməliyyatının mümkün olduğundan əmin olmalısınız. olmalıdırA × B və B × C məhsulları mövcuddur.
Artan vurma səhv deyil. “Matrisa çarpmasının assosiativliyi” kimi bir şey var. Bu termin (A × B) × C=A × (B × C) bərabərliyinə aiddir.
Üç Matris Vurma Təcrübəsi
Kvadrat matrislər
Kiçik kvadrat matrisləri vurmaqla başlayın. Aşağıdakı rəqəm həll etməli olduğumuz 4 nömrəli problemi göstərir.
Biz assosiativlik xüsusiyyətindən istifadə edəcəyik. Əvvəlcə ya A və B, ya da B və C-ni çoxaldırıq. Yalnız bir şeyi xatırlayırıq: siz faktorları dəyişdirə bilməzsiniz, yəni B × A və ya C × B-ni çoxalda bilməzsiniz. Bu vurma ilə bir nəticə əldə edəcəyik. səhv nəticə.
Qərarın irəliləməsi.
Birinci addım. Ümumi hasili tapmaq üçün əvvəlcə A-nı B-yə vururuq. İki matrisi vurarkən yuxarıda qeyd olunan qaydaları rəhbər tutacağıq. Beləliklə, A və B-nin vurulmasının nəticəsi 2 sətir və 2 sütunlu D matrisi olacaq, yəni düzbucaqlı massiv 4 elementdən ibarət olacaq. Gəlin onları hesablamaqla tapaq:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Aralıq nəticə hazırdır.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
İkinci addım. İndi D matrisini C matrisinə vuraq. Nəticə 2 sətir və 2 sütunlu kvadrat G matrisi olmalıdır. Elementləri hesablayın:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Beləliklə, kvadrat matrislərin hasilinin nəticəsi hesablanmış elementləri olan G cədvəlidir.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Düzbucaqlı matrislər
Aşağıdakı şəkildə 5 nömrəli problem göstərilir. Düzbucaqlı matrisləri çox altmaq və həllini tapmaq tələb olunur.
Gəlin A × B və B × C hasillərinin mövcudluğu şərtinin təmin olunub-olunmadığını yoxlayaq. Göstərilən matrislərin sıraları vurma aparmağa imkan verir. Gəlin problemi həll etməyə başlayaq.
Qərarın irəliləməsi.
Birinci addım. D əldə etmək üçün B-ni C-yə vurun. B matrisinin 3 cərgəsi və 4 sütunu, C matrisinin isə 4 sətri və 2 sütunu var. Bu o deməkdir ki, biz 3 sətir və 2 sütunlu D matrisini alacağıq. Elementləri hesablayaq. Budur 2 hesablama nümunəsi:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Problemi həll etməyə davam edirik. Əlavə hesablamalar nəticəsində biz dəyərləri tapırıq d21, d2 2, d31 və d32. Bu elementlər müvafiq olaraq 0, 19, 1 və 11-dir. Tapılan dəyərləri düzbucaqlı massivə yazaq.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
İkinci addım. Son F matrisini almaq üçün A-nı D-yə vurun. Onun 2 sətri və 2 sütunu olacaq. Elementləri hesablayın:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Üç matrisin vurulmasının son nəticəsi olan düzbucaqlı massiv yaradın.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Birbaşa işə giriş
Matrisaların Kronecker məhsulunu başa düşmək olduqca çətindir. Onun da əlavə adı var - birbaşa əsər. Bu terminlə nə nəzərdə tutulur? Tutaq ki, bizdə m × n sıralı A cədvəli və p × q sıralı B cədvəli var. A və B matrisinin birbaşa hasilatı mp × nq sıralı matrisidir.
Şəkildə göstərilən 2 kvadrat A, B matrisimiz var. Birincidə 2 sütun və 2 sıra, ikincisində isə 3 sütun və 3 sıra var. Birbaşa hasildən yaranan matrisin 6 cərgədən və tam eyni sayda sütundan ibarət olduğunu görürük.
Birbaşa hasildə yeni matrisin elementləri necə hesablanır? Şəkli təhlil etsəniz, bu sualın cavabını tapmaq çox asandır. Əvvəlcə birinci sətri doldurun. A cədvəlinin yuxarı cərgəsindən birinci elementi götürün və ardıcıl olaraq birinci cərgənin elementlərinə çarpın. Cədvəl B. Sonra A cədvəlinin birinci cərgəsinin ikinci elementini götürün və ardıcıl olaraq B cədvəlinin birinci cərgəsinin elementlərinə vurun. İkinci cərgəni doldurmaq üçün yenidən A cədvəlinin birinci sətirindən birinci elementi götürün və onu B cədvəlinin ikinci sırasının elementlərinə vurun.
Birbaşa hasillə əldə edilən son matris blok matrisa adlanır. Şəkili yenidən təhlil etsək, nəticəmizin 4 blokdan ibarət olduğunu görə bilərik. Onların hamısına B matrisinin elementləri daxildir. Bundan əlavə, hər blokun elementi A matrisinin xüsusi elementi ilə vurulur. Birinci blokda bütün elementlər a11 ilə vurulur. ikinci - a12, üçüncüdə - a21, dördüncü - a22.
Məhsul təyinedicisi
Matrisin vurulması mövzusunu nəzərdən keçirərkən “matrislərin hasilinin təyinedicisi” kimi bir termini nəzərdən keçirməyə dəyər. Determinant nədir? Bu, kvadrat matrisin mühüm xarakteristikasıdır, bu matrisə təyin edilmiş müəyyən bir dəyərdir. Determinantın hərfi təyinatı det.
İki sütun və iki cərgədən ibarət A matrisi üçün determinantı tapmaq asandır. Xüsusi elementlərin məhsulları arasında fərq olan kiçik bir düstur var:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
İkinci dərəcəli cədvəl üçün determinantın hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirək. A matrisi var ki, burada a11=2, a12=3, a21=5 və a22=1. Determinantı hesablamaq üçün düsturdan istifadə edin:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 matris üçün determinant daha mürəkkəb düsturla hesablanır. Aşağıda A matrisi üçün təqdim olunub:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Düsulu xatırlamaq üçün şəkildə təsvir olunan üçbucaq qaydası ilə tanış olduq. Birincisi, əsas diaqonalın elementləri vurulur. Alınan qiymətə qırmızı tərəfləri olan üçbucaqların bucaqları ilə göstərilən həmin elementlərin məhsulları əlavə edilir. Sonra, ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasili çıxarılır və mavi tərəfləri olan üçbucaqların küncləri ilə göstərilən həmin elementlərin hasilləri çıxarılır.
İndi matrislərin hasilinin təyinedicisindən danışaq. Bu göstəricinin çarpan cədvəllərinin təyinedicilərinin hasilinə bərabər olduğunu söyləyən bir teorem var. Bunu bir nümunə ilə təsdiq edək. Bizdə a11=2, a12=3, a21=1 və aqeydləri olan A matrisi var. 22=1 və daxilolmalarla B matrisi b11=4, b12=5, b 21 =1 və b22=2. A və B matrisləri, A × B məhsulu və bu məhsulun determinantını tapın.
Qərarın irəliləməsi.
Birinci addım. A üçün determinantı hesablayın: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Sonra B üçün determinantı hesablayın: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
İkinci addım. tapaqməhsul A × B. Yeni matrisi C hərfi ilə işarələyin. Onun elementlərini hesablayın:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Üçüncü addım. C üçün determinantı hesablayın: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Orijinal matrislərin təyinedicilərini vurmaqla əldə edilə bilən dəyərlə müqayisə edin. Rəqəmlər eynidir. Yuxarıdakı teorem doğrudur.
Məhsul dərəcəsi
Matrisin dərəcəsi xətti müstəqil sətir və ya sütunların maksimum sayını əks etdirən xüsusiyyətdir. Dərəcəni hesablamaq üçün matrisin elementar çevrilmələri həyata keçirilir:
- iki paralel sıranın yenidən təşkili;
- cədvəldən müəyyən cərgənin bütün elementlərinin sıfırdan fərqli rəqəmə vurulması;
- bir cərgənin elementlərinə başqa cərgənin elementlərinin əlavə edilməsi, xüsusi ədədə vurulması.
Elementar çevrilmələrdən sonra sıfırdan fərqli sətirlərin sayına baxın. Onların sayı matrisin dərəcəsidir. Əvvəlki nümunəni nəzərdən keçirək. O, 2 matris təqdim etdi: elementləri olan A11=2, a12=3, a21=1 və a22 =1 və elementləri olan B b11=4, b12=5, b21=1 və b22=2. Çarpma nəticəsində alınan C matrisindən də istifadə edəcəyik. Elementar çevrilmələri yerinə yetirsək, sadələşdirilmiş matrislərdə sıfır sıra olmayacaq. Bu o deməkdir ki, həm A cədvəlinin rütbəsi, həm də B cədvəlinin rütbəsi və rütbəsiC cədvəli 2-dir.
İndi isə matrislərin hasilinin dərəcəsinə xüsusi diqqət yetirək. Rəqəm elementləri olan cədvəllərin hasilinin dərəcəsinin heç bir amillərin dərəcəsindən çox olmadığını söyləyən bir teorem var. Bunu sübut etmək olar. A k × s matrisi, B isə s × m matrisi olsun. A və B məhsulu C-ə bərabərdir.
Gəlin yuxarıdakı şəkli araşdıraq. O, C matrisinin birinci sütununu və onun sadələşdirilmiş qeydini göstərir. Bu sütun A matrisinə daxil olan sütunların xətti kombinasiyasıdır. Eynilə, C düzbucaqlı massivindən hər hansı digər sütun haqqında da demək olar. Beləliklə, C cədvəlinin sütun vektorlarının yaratdığı alt fəza onun yaratdığı alt fəzadadır. A cədvəlinin sütun vektorları. Buna görə də 1 nömrəli alt fəzanın ölçüsü 2 nömrəli alt fəzanın ölçüsünü keçmir. Bu o deməkdir ki, C cədvəlinin sütunlarındakı dərəcə A cədvəlinin sütunlarındakı dərəcəni keçmir, yəni r(C) ≦ r(A). Əgər oxşar şəkildə mübahisə etsək, onda əmin ola bilərik ki, C matrisinin cərgələri B matrisinin cərgələrinin xətti kombinasiyasıdır. Bu, r(C) ≦ r(B) bərabərsizliyini nəzərdə tutur.
Matrislərin hasilini necə tapmaq olar olduqca mürəkkəb mövzudur. Onu asanlıqla mənimsəmək olar, lakin belə nəticəyə nail olmaq üçün bütün mövcud qaydaları və teoremləri əzbərləmək üçün çox vaxt sərf etməli olacaqsınız.
