Matrix riyaziyyatda xüsusi obyektdir. O, müəyyən sayda cərgə və sütundan ibarət düzbucaqlı və ya kvadrat cədvəl şəklində təsvir edilmişdir. Riyaziyyatda ölçüsü və ya məzmunu ilə fərqlənən çoxlu sayda matris növləri mövcuddur. Onun sətir və sütunlarının nömrələrinə sifarişlər deyilir. Bu obyektlər riyaziyyatda xətti tənliklər sistemlərinin yazılmasını təşkil etmək və onların nəticələrini rahat şəkildə axtarmaq üçün istifadə olunur. Matrisdən istifadə edən tənliklər Karl Qauss, Qabriel Kramer metodu, kiçik və cəbri əlavələr və bir çox başqa üsullarla həll edilir. Matrislərlə işləyərkən əsas bacarıq onları standart formaya gətirməkdir. Bununla belə, əvvəlcə riyaziyyatçılar tərəfindən matrislərin hansı növlərini fərqləndirdiyini anlayaq.
Null növü
Bu növ matrisin bütün komponentləri sıfırdır. Bu arada, onun sətir və sütunlarının sayı tamamilə fərqlidir.
Kvadrat tip
Bu tip matrisin sütun və cərgələrinin sayı eynidir. Başqa sözlə, bu, "kvadrat" forma cədvəlidir. Onun sütunlarının (və ya sətirlərinin) sayı sıra adlanır. Xüsusi hallar ikinci dərəcəli (matris 2x2), dördüncü (4x4), onuncu (10x10), on yeddinci (17x17) və s.-nin mövcudluğudur.
Sütun vektoru
Bu, üç ədədi dəyərdən ibarət yalnız bir sütundan ibarət ən sadə matris növlərindən biridir. O, xətti tənliklər sistemlərində bir sıra sərbəst terminləri (dəyişənlərdən asılı olmayan ədədlər) təmsil edir.
Sıra vektoru
Əvvəlki ilə oxşar baxın. Öz növbəsində bir sətirdə təşkil edilmiş üç ədədi elementdən ibarətdir.
Diaqonal tip
Yalnız əsas diaqonalın komponentləri (yaşıl rənglə vurğulanmış) matrisin diaqonal şəklində rəqəmli dəyərləri qəbul edir. Əsas diaqonal yuxarı sol küncdəki elementdən başlayır və müvafiq olaraq aşağı sağdakı elementlə bitir. Qalan komponentlər sıfırdır. Diaqonal tip yalnız hansısa nizamlı kvadrat matrisdir. Diaqonal formanın matrisləri arasında skalyar olanı ayırmaq olar. Onun bütün komponentləri eyni dəyərləri alır.
Şəxsiyyət matrisi
Diaqonal matrisin alt növü. Onun bütün ədədi dəyərləri vahidlərdir. Bir növ matris cədvəlindən istifadə edərək, onun əsas çevrilmələrini yerinə yetirin və ya orijinala əks olan matrisi tapın.
Kanonik tip
Matrisin kanonik forması əsas olanlardan biri hesab olunur; ona tökmə işləmək üçün çox vaxt lazımdır. Kanonik matrisdəki sətir və sütunların sayı fərqlidir, o, mütləq kvadrat tipinə aid deyil. O, eynilik matrisinə bir qədər bənzəyir, lakin onun vəziyyətində əsas diaqonalın bütün komponentləri birinə bərabər qiymət almır. İki və ya dörd əsas diaqonal vahid ola bilər (hamısı matrisin uzunluğu və enindən asılıdır). Və ya ümumiyyətlə vahidlər olmaya bilər (onda sıfır hesab olunur). Kanonik növün qalan komponentləri, həmçinin diaqonal və eyniliyin elementləri sıfıra bərabərdir.
Üçbucaq növü
Matrisin ən vacib növlərindən biri, onun determinantını axtararkən və sadə əməliyyatları yerinə yetirərkən istifadə olunur. Üçbucaqlı tip diaqonal tipdən gəlir, ona görə də matris də kvadratdır. Matrisin üçbucaqlı görünüşü yuxarı üçbucaqlı və aşağı üçbucaqlıya bölünür.
Yuxarı üçbucaqlı matrisdə (şək. 1) yalnız əsas diaqonaldan yuxarı olan elementlər sıfıra bərabər qiymət alır. Diaqonalın özünün komponentləri və onun altındakı matrisin hissəsi ədədi dəyərləri ehtiva edir.
Aşağı üçbucaqlı matrisdə (şək. 2), əksinə, matrisin aşağı hissəsində yerləşən elementlər sıfıra bərabərdir.
Addım Matris
Baxış matrisin rütbəsini tapmaq, eləcə də onlar üzərində elementar əməliyyatlar (üçbucaq növü ilə birlikdə) üçün lazımdır. Addım matrisi belə adlandırılmışdır, çünki o, sıfırların xarakterik "addımlarını" ehtiva edir (şəkildə göstərildiyi kimi). Addımlı tipdə sıfırların diaqonalı formalaşır (mütləq əsas deyil) və bu diaqonalın altındakı bütün elementlər də sıfıra bərabər dəyərlərə malikdir. İlkin şərt aşağıdakılardır: addım matrisində sıfır cərgə varsa, onun altında qalan sətirlərdə də rəqəmsal dəyərlər yoxdur.
Beləliklə, onlarla işləmək üçün lazım olan ən vacib matris növlərini nəzərdən keçirdik. İndi matrisin tələb olunan formaya çevrilməsi ilə məşğul olaq.
Üçbucaq formaya endirin
Matrisi üçbucaqlı formaya necə gətirmək olar? Çox vaxt tapşırıqlarda determinantını tapmaq üçün onu üçbucaq formaya çevirmək lazımdır, əks halda determinant deyilir. Bu proseduru yerinə yetirərkən, matrisin əsas diaqonalını "qorumaq" son dərəcə vacibdir, çünki üçbucaqlı matrisin təyinedicisi onun əsas diaqonalının komponentlərinin məhsuludur. Determinantı tapmaq üçün alternativ üsulları da xatırlatmaq istərdim. Kvadrat tipli determinant xüsusi düsturlardan istifadə etməklə tapılır. Məsələn, üçbucaq metodundan istifadə edə bilərsiniz. Digər matrislər üçün sətir, sütun və ya onların elementləri üzrə parçalanma üsulundan istifadə edilir. Siz həmçinin matrisin minorları və cəbri tamamlamaları metodunu tətbiq edə bilərsiniz.
TəfərrüatlarBəzi tapşırıqların nümunələrindən istifadə edərək matrisin üçbucaqlı formaya gətirilməsi prosesini təhlil edək.
Tapşırıq 1
Təqdim olunan matrisin determinantını üçbucaq formaya gətirmək üsulundan istifadə etməklə tapmaq lazımdır.
Bizə verilən matris üçüncü dərəcəli kvadrat matrisdir. Buna görə də onu üçbucaq formaya çevirmək üçün birinci sütunun iki komponentini və ikincinin bir komponentini ləğv etməliyik.
Onu üçbucaq formaya gətirmək üçün transformasiyaya matrisin aşağı sol küncündən - 6 rəqəmindən başlayın. Onu sıfıra çevirmək üçün birinci cərgəni üçə vurun və sonuncu cərgədən çıxarın.
Vacib! Üst xətt dəyişmir, lakin orijinal matrisdə olduğu kimi qalır. Orijinaldan dörd dəfə sətir yazmağa ehtiyac yoxdur. Lakin komponentləri ləğv edilməli olan sətirlərin dəyərləri daim dəyişir.
Sonra, növbəti dəyərlə məşğul olaq - birinci sütunun ikinci sətirinin elementi, rəqəm 8. Birinci sətri dördə vurun və ikinci sətirdən onu çıxarın. Sıfır alırıq.
Yalnız sonuncu dəyər qalır - ikinci sütunun üçüncü sırasının elementi. Bu rəqəmdir (-1). Onu sıfıra çevirmək üçün birinci sətirdən ikincini çıxarın.
Yoxlayaq:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Deməli tapşırığın cavabı -22-dir.
Tapşırıq 2
Matrisin determinantını üçbucaq formaya gətirərək tapmalıyıq.
Təmsil olunan matriskvadrat tipə aiddir və dördüncü tərtibli matrisdir. Bu o deməkdir ki, birinci sütunun üç komponenti, ikinci sütunun iki komponenti və üçüncü sütunun bir komponenti sıfırlanmalıdır.
Onun azaldılmasına aşağı sol küncdə yerləşən elementdən - 4 rəqəmindən başlayaq. Bu rəqəmi sıfıra çevirməliyik. Bunu etmənin ən asan yolu yuxarı cərgəni dördə vurub dördüncü cərgədən çıxarmaqdır. Transformasiyanın birinci mərhələsinin nəticəsini yazaq.
Beləliklə, dördüncü sətrin komponenti sıfıra təyin edilib. Üçüncü sətrin birinci elementinə, 3 rəqəminə keçək. Bənzər bir əməliyyat həyata keçiririk. Birinci sətri üçə vurun, üçüncü sətirdən çıxarın və nəticəni yazın.
Sonra, ikinci sətirdə 2 rəqəmini görürük. Əməliyyatı təkrar edirik: yuxarı cərgəni ikiyə vurun və ikincidən çıxarın.
Biz bu kvadrat matrisin birinci sütununun transformasiya tələb etməyən əsas diaqonal elementi olan 1 rəqəmindən başqa bütün komponentlərini sıfıra təyin edə bildik. İndi nəticədə sıfırları saxlamaq vacibdir, ona görə də biz sütunlarla deyil, sətirlərlə transformasiyalar edəcəyik. Gəlin təqdim olunan matrisin ikinci sütununa keçək.
Yenidən aşağıdan başlayaq - sonuncu sətrin ikinci sütununun elementindən. Bu rəqəmdir (-7). Bununla belə, bu halda (-1) rəqəmi ilə - üçüncü sıranın ikinci sütununun elementi ilə başlamaq daha rahatdır. Onu sıfıra çevirmək üçün üçüncü sıradan ikinci sıranı çıxarın. Sonra ikinci sıranı yeddiyə vurub dördüncüdən çıxarırıq. İkinci sütunun dördüncü sətirində yerləşən elementin əvəzinə sıfır aldıq. İndi üçüncüyə keçəksütun.
Bu sütunda yalnız bir ədədi sıfıra çevirməliyik - 4. Bunu etmək asandır: sadəcə üçüncünü sonuncu sətirə əlavə edin və bizə lazım olan sıfıra baxın.
Bütün çevrilmələrdən sonra təklif olunan matrisi üçbucaqlı formaya gətirdik. İndi onun determinantını tapmaq üçün yalnız əsas diaqonalın yaranan elementlərini çox altmaq lazımdır. Alırıq: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Buna görə də həll 160 rəqəmidir.
Beləliklə, indi matrisin üçbucaqlı formaya gətirilməsi məsələsi sizin üçün çətin olmayacaq.
Mərhələli formaya endirmə
Matrislər üzərində elementar əməliyyatlarda pilləli forma üçbucaqdan daha az "tələb olunur". Ən çox matrisin dərəcəsini (yəni, onun sıfırdan fərqli cərgələrinin sayı) tapmaq və ya xətti asılı və müstəqil cərgələri müəyyən etmək üçün istifadə olunur. Bununla belə, pilləli matris görünüşü daha çox yönlüdür, çünki o, təkcə kvadrat tip üçün deyil, bütün digərləri üçün uyğundur.
Matrisi pilləli formaya endirmək üçün əvvəlcə onun determinantını tapmaq lazımdır. Bunun üçün yuxarıda göstərilən üsullar uyğun gəlir. Determinantı tapmaqda məqsəd onun pilləli matrisə çevrilə biləcəyini öyrənməkdir. Determinant sıfırdan böyük və ya kiçikdirsə, o zaman tapşırığa etibarlı şəkildə davam edə bilərsiniz. Əgər sıfıra bərabərdirsə, matrisi pilləli formaya endirmək işləməyəcək. Bu halda, qeyddə və ya matris çevrilmələrində hər hansı səhvlərin olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Əgər belə qeyri-dəqiqliklər yoxdursa, tapşırıq həll edilə bilməz.
Görək necəBir neçə tapşırığın nümunələrindən istifadə edərək matrisi pilləli formaya gətirin.
Tapşırıq 1. Verilmiş matris cədvəlinin dərəcəsini tapın.
Bizdən əvvəl üçüncü dərəcəli kvadrat matrisdir (3x3). Bilirik ki, rütbəni tapmaq üçün onu pilləli formaya salmaq lazımdır. Buna görə də əvvəlcə matrisin determinantını tapmalıyıq. Üçbucaq metodundan istifadə etməklə: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Müəyyənedici=12. Sıfırdan böyükdür, yəni matrisin pilləli formaya endirilməsi mümkündür. Onun transformasiyalarına başlayaq.
Üçüncü cərgənin sol sütununun elementindən - 2 rəqəmindən başlayaq. Üst sətri ikiyə vurub üçüncüsündən çıxaraq. Bu əməliyyat sayəsində həm bizə lazım olan element, həm də 4 rəqəmi - üçüncü sıranın ikinci sütununun elementi sıfıra çevrildi.
Sonra, birinci sütunun ikinci cərgəsinin elementini - 3 rəqəmini sıfıra çevirin. Bunu etmək üçün yuxarı cərgəni üçə vurun və onu ikincidən çıxarın.
Biz azalmanın üçbucaqlı matrislə nəticələndiyini görürük. Bizim vəziyyətimizdə transformasiya davam etdirilə bilməz, çünki qalan komponentlər sıfıra çevrilə bilməz.
Beləliklə, belə nəticəyə gəlirik ki, bu matrisdə (və ya onun dərəcəsində) ədədi dəyərləri ehtiva edən cərgələrin sayı 3-dür. Tapşırığın cavabı: 3.
Tapşırıq 2. Bu matrisin xətti müstəqil cərgələrinin sayını təyin edin.
Heç bir çevrilmə ilə geri qaytarıla bilməyən sətirləri tapmalıyıqsıfıra. Əslində, sıfırdan fərqli cərgələrin sayını və ya təmsil olunan matrisin dərəcəsini tapmalıyıq. Bunu etmək üçün gəlin bunu sadələşdirək.
Kvadrat tipə aid olmayan matris görürük. 3x4 ölçüləri var. Gəlin, həmçinin aşağı sol küncün elementindən - rəqəmdən (-1) başlayaq.
Birinci sətri üçüncüyə əlavə edin. Sonra 5 rəqəmini sıfıra çevirmək üçün ondan ikincini çıxarın.
Əlavə çevrilmələr mümkün deyil. Beləliklə, belə nəticəyə gəlirik ki, içindəki xətti müstəqil sətirlərin sayı və tapşırığın cavabı 3-dür.
İndi matrisi pilləli formaya gətirmək sizin üçün qeyri-mümkün iş deyil.
Bu tapşırıqların nümunələrində biz matrisin üçbucaqlı formaya və pilləli formaya endirilməsini təhlil etdik. Matris cədvəllərinin istənilən dəyərlərini ləğv etmək üçün bəzi hallarda təxəyyül göstərmək və onların sütun və ya sətirlərini düzgün çevirmək tələb olunur. Riyaziyyatda və matrislərlə işdə uğurlar!
