Prizma anlayışı. Müxtəlif tipli prizmalar üçün həcm düsturları: müntəzəm, düz və əyri. Problemin həlli

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 05:16

Həcm kosmosun hər üç ölçüsündə sıfırdan fərqli ölçülərə malik olan istənilən fiqurun xarakteristikasıdır. Bu məqalədə stereometriya (məkan fiqurlarının həndəsəsi) nöqteyi-nəzərindən prizmanı nəzərdən keçirəcəyik və müxtəlif növ prizmaların həcmlərini necə tapmağı göstərəcəyik.

Prizma nədir?

Stereometriya bu suala dəqiq cavab verir. Ondakı prizma iki eyni çoxbucaqlı üzdən və bir neçə paraleloqramdan əmələ gələn fiqur kimi başa düşülür. Aşağıdakı şəkildə dörd fərqli prizma göstərilir.

Onların hər birini aşağıdakı kimi əldə etmək olar: çoxbucaqlı (üçbucaq, dördbucaq və s.) və müəyyən uzunluqda seqment götürmək lazımdır. Sonra çoxbucaqlının hər təpəsi paralel seqmentlərdən istifadə edərək başqa müstəviyə köçürülməlidir. Orijinal müstəviyə paralel olacaq yeni müstəvidə əvvəlcə seçilmişə bənzər yeni çoxbucaqlı alınacaq.

Prizmalar müxtəlif növ ola bilər. Beləliklə, onlar düz, əyri və düzgün ola bilər. Əgər prizmanın yan kənarı (seqment,əsasların təpələrini birləşdirən) fiqurun əsaslarına perpendikulyar, onda sonuncu düz xəttdir. Müvafiq olaraq, əgər bu şərt yerinə yetirilmirsə, onda biz meylli prizmadan danışırıq. Müntəzəm fiqur bərabərbucaqlı və bərabərtərəfli əsası olan sağ prizmadır.

Məqalənin sonrakı hissəsində bu prizma növlərinin hər birinin həcmini necə hesablayacağımızı göstərəcəyik.

Normal prizmaların həcmi

Ən sadə hadisə ilə başlayaq. n-bucaqlı əsaslı müntəzəm prizmanın həcminin düsturunu veririk. Nəzərdən keçirilən sinifin hər hansı fiquru üçün həcm düsturu V aşağıdakı kimidir:

V=S_oh.

Yəni həcmi müəyyən etmək üçün S_o əsaslarından birinin sahəsini hesablamaq və onu rəqəmin h hündürlüyünə vurmaq kifayətdir.

Nizami prizma halda onun əsasının tərəfinin uzunluğunu a hərfi ilə, yan kənarının uzunluğuna bərabər olan hündürlüyünü h hərfi ilə işarə edək. Əgər n-qonşunun əsası düzgündürsə, onun sahəsini hesablamağın ən asan yolu aşağıdakı universal düsturdan istifadə etməkdir:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Tərəflərin sayının qiymətini n və bir tərəfin a uzunluğunu bərabərliyə əvəz edərək, n-bucaqlı bazanın sahəsini hesablaya bilərsiniz. Qeyd edək ki, burada kotangent funksiyası radyanla ifadə olunan pi/n bucağı üçün hesablanır.

S üçün yazılmış bərabərliyi nəzərə alaraq, müntəzəm prizmanın həcmi üçün yekun düsturu alırıq:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Hər bir konkret hal üçün V üçün uyğun düsturları yaza bilərsiniz, lakin onların hamısıyazılı ümumi ifadədən unikal şəkildə əmələ gəlir. Məsələn, ümumi halda düzbucaqlı paralelepiped olan müntəzəm dördbucaqlı prizma üçün alırıq:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Bu ifadədə h=a götürsək, onda kubun həcminin düsturu alarıq.

Birbaşa prizmaların həcmi

Dərhal qeyd edirik ki, düz fiqurlar üçün yuxarıda müntəzəm prizmalar üçün verilmiş həcmin hesablanması üçün ümumi düstur yoxdur. Sözügedən dəyəri taparkən orijinal ifadə istifadə edilməlidir:

V=S_oh.

Burada h əvvəlki halda olduğu kimi yan kənarın uzunluğudur. S_o baza sahəsinə gəldikdə, o, müxtəlif dəyərləri qəbul edə bilər. Həcmin düz prizmasının hesablanması tapşırığı onun əsasının sahəsini tapmağa qədər azaldılır.

S_o dəyərinin hesablanması bazanın özünün xüsusiyyətlərinə əsasən aparılmalıdır. Məsələn, əgər bu üçbucaqdırsa, onda sahəni belə hesablamaq olar:

S_o3=1/2ah_a.

Burada h_a üçbucağın apotemidir, yəni hündürlüyü a əsasına endirilib.

Əgər baza dördbucaqlıdırsa, o, trapesiya, paraleloqram, düzbucaqlı və ya tamamilə ixtiyari tip ola bilər. Bütün bu hallar üçün sahəni təyin etmək üçün müvafiq planimetriya düsturundan istifadə etməlisiniz. Məsələn, trapesiya üçün bu düstur belə görünür:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

H_a trapezoidin hündürlüyü, a₁ və a₂ uzunluqlarıdır onun paralel tərəfləri.

Daha yüksək dərəcəli çoxbucaqlıların sahəsini müəyyən etmək üçün onları sadə formalara (üçbucaqlar, dördbucaqlar) bölməli və sonuncunun sahələrinin cəmini hesablamalısınız.

Əyilmiş Prizmanın Həcmi

Bu, prizmanın həcmini hesablamaq üçün ən çətin vəziyyətdir. Bu cür rəqəmlər üçün ümumi düstur da tətbiq edilir:

V=S_oh.

Lakin, ixtiyari çoxbucaqlı tipini təmsil edən təməlin sahəsinin tapılmasının mürəkkəbliyinə fiqurun hündürlüyünü təyin etmək problemi əlavə olunur. O, həmişə meylli prizmada yan kənarın uzunluğundan azdır.

Bu hündürlüyü tapmağın ən asan yolu rəqəmin hər hansı bucağını (düz və ya dihedral) bilirsinizsə. Əgər belə bir bucaq verilirsə, onda ondan istifadə edərək prizmanın daxilində düzbucaqlı üçbucaq qurmaq lazımdır ki, bu üçbucaq tərəflərdən biri kimi h hündürlüyünü ehtiva etsin və triqonometrik funksiyalardan və Pifaqor teoremindən istifadə edərək h qiymətini tapsın.

Həndəsi həcm problemi

Üçbucaqlı əsaslı, hündürlüyü 14 sm və yan uzunluğu 5 sm olan müntəzəm prizma verilmişdir. Üçbucaqlı prizmanın həcmi nə qədərdir?

Söhbət düzgün rəqəmdən getdiyimiz üçün məlum düsturdan istifadə etmək hüququmuz var. Bizdə:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 sm³.

Üçbucaqlı prizma kifayət qədər simmetrik fiqurdur, onun şəklində tez-tez müxtəlif memarlıq strukturları hazırlanır. Bu şüşə prizma optikada istifadə olunur.