Çətin ki, bir çox insanlar az və ya çox təsadüfi olan hadisələri hesablamaq mümkün olub-olmadığını düşünsünlər. Sadə dillə desək, zardakı zərfin hansı tərəfinin növbəti dəfə düşəcəyini bilmək realdırmı? Ehtimal nəzəriyyəsi kimi bir hadisənin ehtimalının kifayət qədər geniş şəkildə araşdırıldığı elmin əsasını qoyan iki böyük alim bu sualı vermişdi.
Mənşə
Ehtimal nəzəriyyəsi kimi anlayışı müəyyən etməyə çalışsanız, aşağıdakıları əldə edirsiniz: bu, təsadüfi hadisələrin davamlılığını öyrənən riyaziyyat qollarından biridir. Təbii ki, bu konsepsiya əslində bütün mahiyyəti açmır, ona görə də onu daha ətraflı nəzərdən keçirmək lazımdır.
Mən nəzəriyyənin yaradıcılarından başlamaq istərdim. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, onlardan ikisi var idi, bunlar Pierre Fermat və Blaise Paskaldır. Məhz onlar düsturlardan və riyazi hesablamalardan istifadə edərək hadisənin nəticəsini hesablamağa çalışan ilk şəxslərdən olublar. Bütövlükdə bu elmin əsasları çox erkən meydana çıxdıOrta əsrlər. O dövrdə müxtəlif mütəfəkkirlər və elm adamları rulet, craps və s. kimi qumar oyunlarını təhlil etməyə çalışdılar və bununla da müəyyən bir nömrənin düşməsinin nümunəsini və faizini qurdular. Əsası XVII əsrdə yuxarıda adı çəkilən alimlər tərəfindən qoyulmuşdur.
Əvvəlcə onların işlərini bu sahədəki böyük nailiyyətlərə aid etmək olmazdı, çünki onların gördükləri hər şey sadəcə empirik faktlar idi və təcrübələr düsturlardan istifadə edilmədən əyani şəkildə qurulurdu. Zaman keçdikcə zarların atılmasını müşahidə etmək nəticəsində ortaya çıxan böyük nəticələr əldə edildi. Məhz bu alət ilk anlaşılan düsturları əldə etməyə kömək etdi.
Associates
“Ehtimal nəzəriyyəsi” adlı mövzunun öyrənilməsi prosesində Kristian Hüygens kimi bir şəxsin adını çəkməmək mümkün deyil (hadisə ehtimalı bu elmdə dəqiq işıqlandırılır). Bu insan çox maraqlıdır. O, yuxarıda təqdim olunan alimlər kimi təsadüfi hadisələrin qanunauyğunluğunu riyazi düsturlar şəklində çıxarmağa çalışırdı. Maraqlıdır ki, o, bunu Paskal və Fermatla birlikdə etməyib, yəni onun bütün əsərləri heç bir şəkildə bu ağıllarla kəsişməyib. Huygens ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarını əldə etdi.
Maraqlı fakt ondan ibarətdir ki, onun işi pionerlərin işinin nəticələrindən xeyli əvvəl, daha doğrusu, iyirmi il əvvəl ortaya çıxıb. Təyin edilmiş anlayışlar arasında ən məşhurları bunlardır:
- təsadüfün böyüklüyü kimi ehtimal anlayışı;
- diskret üçün gözləntihallar;
- vermə və ehtimalların toplanması teoremləri.
Problemin öyrənilməsində də mühüm xidmətləri olan Yakob Bernullini xatırlamamaq da mümkün deyil. Heç kimdən asılı olmayaraq öz sınaqlarını apararaq, böyük ədədlər qanununun sübutunu təqdim etməyi bacardı. Öz növbəsində, XIX əsrin əvvəllərində çalışmış alimlər Puasson və Laplas orijinal teoremləri sübut edə bildilər. Məhz bu andan etibarən ehtimal nəzəriyyəsi müşahidələr zamanı səhvləri təhlil etmək üçün istifadə olunmağa başladı. Rus alimləri, daha doğrusu Markov, Çebışev və Dyapunov da bu elmdən yan keçə bilmədilər. Böyük dahilərin gördüyü işlərə əsaslanaraq bu fənni riyaziyyatın bir qolu kimi təsbit etdilər. Bu rəqəmlər artıq on doqquzuncu əsrin sonunda işləyirdi və onların töhfələri sayəsində aşağıdakı kimi hadisələr baş verdi:
- böyük ədədlər qanunu;
- Markov zəncir nəzəriyyəsi;
- mərkəzi limit teoremi.
Beləliklə, elmin yaranma tarixi və ona təsir edən əsas insanlarla hər şey az-çox aydındır. İndi bütün faktları konkretləşdirməyin vaxtıdır.
Əsas anlayışlar
Qanunlara və teoremlərə toxunmazdan əvvəl ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarını öyrənməyə dəyər. Tədbirdə aparıcı rol oynayır. Bu mövzu kifayət qədər həcmlidir, lakin onsuz hər şeyi başa düşmək mümkün olmayacaq.
Ehtimal nəzəriyyəsində hadisə təcrübənin hər hansı nəticələri toplusudur. Bu fenomenlə bağlı o qədər də çox anlayış yoxdur. Beləliklə, alim Lotman,bu sahədə çalışan dedi ki, bu halda söhbət “baş vermiş, lakin olmaya da bilər” bir şeydən gedir.
Təsadüfi hadisələr (ehtimal nəzəriyyəsi onlara xüsusi diqqət yetirir) baş vermə qabiliyyətinə malik olan tamamilə hər hansı bir hadisəni nəzərdə tutan anlayışdır. Və ya əksinə, bir çox şərtlər yerinə yetirildikdə bu ssenari baş verməyə bilər. Baş vermiş hadisələrin bütün həcmini tutan təsadüfi hadisələr olduğunu da bilməyə dəyər. Ehtimal nəzəriyyəsi göstərir ki, bütün şərtlər daim təkrarlana bilər. Məhz onların davranışı "təcrübə" və ya "sınaq" adlanırdı.
Müəyyən bir hadisə verilmiş testdə 100% baş verəcək hadisədir. Müvafiq olaraq, qeyri-mümkün hadisə baş verməyəcək bir hadisədir.
Bir cüt hərəkətin birləşməsi (şərti olaraq A halı və B halı) eyni vaxtda baş verən hadisədir. Onlar AB kimi təyin olunub.
A və B hadisələrinin cütlərinin cəmi C-dir, başqa sözlə, onlardan ən azı biri baş verərsə (A və ya B) onda C alınacaq. Təsvir olunan hadisənin düsturu aşağıdakı kimi yazılır.: C=A + B.
Ehtimal nəzəriyyəsində ayrı-ayrı hadisələr iki halın bir-birini istisna etdiyini nəzərdə tutur. Onlar heç vaxt eyni anda baş verə bilməzlər. Ehtimal nəzəriyyəsində birgə hadisələr onların antipodudur. Bu o deməkdir ki, əgər A baş veribsə, o zaman B-yə müdaxilə etmir.
Qarşı hadisələri (ehtimal nəzəriyyəsi onlarla təfərrüatı ilə izah edir) başa düşmək asandır. Müqayisə edərək onlarla məşğul olmaq daha yaxşıdır. Onlar demək olar ki, eynidirvə ehtimal nəzəriyyəsində uyğun olmayan hadisələr. Lakin onların fərqi ondadır ki, çoxlu hadisələrdən biri hər halda baş verməlidir.
Ekvivalent hadisələr mümkünlüyü bərabər olan hərəkətlərdir. Bunu daha aydın etmək üçün biz sikkənin atılmasını təsəvvür edə bilərik: onun tərəflərindən birinin düşməsi digər tərəfin də düşmə ehtimalı eynidir.
Uğurlu hadisəni bir nümunə ilə görmək daha asandır. Tutaq ki, B və A epizodu var. Birincisi, tək ədədin görünüşü ilə zarın atılması, ikincisi isə zarda beş rəqəminin görünməsidir. Sonra məlum olur ki, A B-yə üstünlük verir.
Ehtimal nəzəriyyəsində müstəqil hadisələr yalnız iki və ya daha çox hal üzrə proqnozlaşdırılır və hər hansı bir hərəkətin digərindən müstəqilliyini nəzərdə tutur. Məsələn, A sikkə atılan zaman quyruqların itməsi, B isə göyərtədən domkrat çəkilməsidir. Onlar ehtimal nəzəriyyəsində müstəqil hadisələrdir. Bu dəqiqə daha aydın oldu.
Ehtimal nəzəriyyəsində asılı hadisələr də yalnız onların çoxluğu üçün qəbul edilir. Onlar birinin digərindən asılılığını nəzərdə tutur, yəni B hadisəsi yalnız o halda baş verə bilər ki, A artıq olub və ya əksinə, baş verməmiş, bu B üçün əsas şərt olduqda.
Bir komponentdən ibarət təsadüfi təcrübənin nəticəsi elementar hadisələrdir. Ehtimal nəzəriyyəsi bunun yalnız bir dəfə baş vermiş fenomen olduğunu izah edir.
Əsas düsturlar
Beləliklə, "hadisə", "ehtimal nəzəriyyəsi" anlayışları,bu elmin əsas terminlərinin tərifi də verilmişdir. İndi vacib düsturlarla birbaşa tanış olmaq vaxtıdır. Bu ifadələr ehtimal nəzəriyyəsi kimi çətin bir mövzuda bütün əsas anlayışları riyazi olaraq təsdiqləyir. Hadisənin baş vermə ehtimalı burada da böyük rol oynayır.
Kombinatorikanın əsas düsturları ilə başlamaq daha yaxşıdır. Onlara keçməzdən əvvəl bunun nə olduğunu düşünməyə dəyər.
Kombinatorika ilk növbədə riyaziyyatın bir sahəsidir, o, çoxlu sayda tam ədədlərin, eləcə də həm ədədlərin özlərinin, həm də elementlərinin müxtəlif dəyişmələrinin, müxtəlif verilənlərin və s.-nin tədqiqi ilə məşğul olur və bu, onların yaranmasına səbəb olur. bir sıra birləşmələr. Ehtimal nəzəriyyəsinə əlavə olaraq, bu sahə statistika, kompüter elmləri və kriptoqrafiya üçün vacibdir.
İndi biz düsturların özünü təqdim etməyə və onları müəyyən etməyə davam edə bilərik.
Birincisi permütasyonların sayı üçün ifadə olacaq, belə görünür:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Tənlik yalnız elementlər yalnız ardıcıllıqla fərqləndikdə tətbiq edilir.
İndi yerləşdirmə düsturuna baxılacaq, belə görünür:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Bu ifadə təkcə elementin sırasına deyil, həm də tərkibinə aiddir.
Kombinatorikanın üçüncü tənliyi və o, həm də sonuncudur, birləşmələrin sayı düsturu adlanır:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinasiyalar müvafiq olaraq sıralanmayan seçimlərdir və bu qayda onlara aiddir.
Kombinatorikanın düsturlarını tapmaq asan oldu, indi ehtimalların klassik tərifinə keçə bilərik. Bu ifadə belə görünür:
P(A)=m: n.
Bu düsturda m A hadisəsi üçün əlverişli şərtlərin sayı, n isə tamamilə eyni dərəcədə mümkün və elementar nəticələrin sayıdır.
Çoxlu sayda ifadələr var, məqalə onların hamısını əhatə etməyəcək, lakin onların ən mühümlərinə toxunulacaq, məsələn, hadisələrin cəminin ehtimalı:
P(A + B)=P(A) + P(B) - bu teorem yalnız uyğun olmayan hadisələri əlavə etmək üçündür;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - və bu yalnız uyğun olanları əlavə etmək üçündür.
Hadisələrin yaranma ehtimalı:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – bu teorem müstəqil hadisələr üçündür;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - və bu, üçün narkomanlar.
Tədbir düsturu siyahını bitir. Ehtimal nəzəriyyəsi bizə Bayes teoremi haqqında məlumat verir, o, belə görünür:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Bu düsturda H1, H2, …, H hipotezlərin tam qrupu.
Burada dayanaq, sonra təcrübədən konkret problemlərin həlli üçün düsturların tətbiqi nümunələri nəzərdən keçiriləcək.
Nümunələr
Hər hansı bölməni diqqətlə öyrənsənizriyaziyyat, bu, məşqlər və nümunə həllər olmadan keçmir. Ehtimal nəzəriyyəsi də belədir: buradakı hadisələr, nümunələr elmi hesablamaları təsdiqləyən ayrılmaz komponentdir.
Permutasiyaların sayı üçün düstur
Deyək ki, kart göyərtəsində nominal dəyəri birindən başlayaraq otuz kart var. Növbəti sual. Nominal dəyəri bir və iki olan kartların bir-birinin yanında olmaması üçün göyərtəni yığmağın neçə yolu var?
Tapşırıq təyin olundu, indi onun həllinə keçək. Əvvəlcə otuz elementin dəyişdirilməsinin sayını təyin etməlisiniz, bunun üçün yuxarıda göstərilən düsturu alırıq, belə çıxır ki, P_30=30!.
Bu qaydaya əsasən, göyərtəni müxtəlif üsullarla qatlamaq üçün neçə variantın olduğunu öyrənəcəyik, lakin onlardan birinci və ikinci kartların növbəti olanlarını çıxarmaq lazımdır. Bunu etmək üçün birinci ikincinin üstündə olan variantdan başlayaq. Belə çıxır ki, birinci kart iyirmi doqquz yer tuta bilər - birincidən iyirmi doqquzuncuya, ikinci kart ikincidən otuzuncuya qədər, bir cüt kart üçün iyirmi doqquz yer çıxır. Öz növbəsində, qalanları iyirmi səkkiz yer tuta bilər və istənilən qaydada. Yəni, iyirmi səkkiz kartın dəyişdirilməsi üçün P_28=28 iyirmi səkkiz variant var!
Nəticədə belə çıxır ki, birinci kart ikincini keçdikdə həlli nəzərdən keçirsək, 29 ⋅ 28 əlavə imkan var!=29!
Eyni üsuldan istifadə edərək, birinci kartın ikincinin altında olması halı üçün lazımsız variantların sayını hesablamalısınız. Bu da 29 ⋅ 28 olur!=29!
Belə ki, 2 ⋅ 29 əlavə seçim var!, göyərtə qurmaq üçün 30 tələb olunan üsul var! - 2 ⋅ 29!. Yalnız saymaq qalır.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
İndi birdən iyirmi doqquza qədər bütün rəqəmləri birlikdə vurmalısan, sonra isə hər şeyi 28-ə vurmalısan. Cavab 2-dir, 4757335 ⋅〖10〗^32
Nümunənin həlli. Yerləşdirmə Nömrəsi Düsturası
Bu problemdə on beş cildi bir rəfə qoymağın neçə yolu olduğunu öyrənməlisiniz, lakin cəmi otuz cild olması şərti ilə.
Bu problemin əvvəlkindən bir qədər asan həlli var. Artıq məlum düsturdan istifadə edərək, on beşdən otuz cilddən yerlərin ümumi sayını hesablamaq lazımdır.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2073 3 0 3
Cavab müvafiq olaraq 202 843 204 931 727 360 000 olacaq.
İndi tapşırığı bir az daha çətinləşdirək. Bir rəfdə yalnız on beş cild ola bilərsə, iki kitab rəfində otuz kitabı yerləşdirməyin neçə yolu olduğunu öyrənməlisiniz.
Həll yoluna başlamazdan əvvəl aydınlaşdırmaq istərdim ki, bəzi problemlər bir neçə yolla həll olunur, ona görə də bunda iki yol var, lakin hər ikisində eyni düstur istifadə olunur.
Bu problemdə siz əvvəlkindən cavab ala bilərsiniz, çünki orada on beş kitabla rəfi neçə dəfə doldura biləcəyinizi hesablamışıq.fərqli. Məlum oldu ki, A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
İkinci rəfi permutasiya düsturundan istifadə edərək hesablayacağıq, çünki orada on beş kitab yerləşdirilib, cəmi on beşi qalıb. P_15=15 düsturundan istifadə edin!.
Məlum oldu ki, cəmi A_30^15 ⋅ P_15 yol olacaq, lakin əlavə olaraq, otuzdan on altıya qədər olan bütün ədədlərin hasili birdən on beşə qədər olan ədədlərin hasilinə vurulmalı olacaq. nəticə, birdən otuza qədər bütün ədədlərin hasilidir, buna görə də cavab 30-dur!
Lakin bu problem başqa yolla həll edilə bilər - daha asan. Bunu etmək üçün otuz kitab üçün bir rəf olduğunu təsəvvür edə bilərsiniz. Hamısı bu müstəvidə yerləşdirilir, lakin şərt iki rəf olmasını tələb etdiyinə görə, birini uzun birini yarıya bölürük, hər biri iki on beş çıxır. Buradan belə çıxır ki, yerləşdirmə seçimləri P_30=30 ola bilər!.
Nümunənin həlli
kombinasiya nömrəsi üçün düstur
İndi biz kombinatorikadan üçüncü məsələnin variantını nəzərdən keçirəcəyik. Siz tamamilə eyni olan otuz kitab arasından seçim etmək şərtilə, on beş kitabı tənzimləmək üçün neçə yol olduğunu öyrənməlisiniz.
Həlil üçün, əlbəttə ki, birləşmələrin sayı üçün düstur tətbiq olunacaq. Şərtdən məlum olur ki, eyni on beş kitabın sırası vacib deyil. Buna görə də, ilkin olaraq on beşdən ibarət otuz kitabın birləşmələrinin ümumi sayını öyrənməlisiniz.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: on beş!=155 117 520
Belədir. Bu düsturdan istifadə edərək, mümkün olan ən qısa müddətdə mümkün oldubelə bir problemi həll etsəniz, cavab müvafiq olaraq 155 117 520-dir.
Nümunənin həlli. Ehtimalın klassik tərifi
Yuxarıdakı düsturla sadə məsələnin cavabını tapa bilərsiniz. Lakin bu, hərəkətlərin gedişatını vizual olaraq görməyə və izləməyə kömək edəcək.
Məsələdə verilir ki, qabda on tamamilə eyni top var. Bunlardan dördü sarı, altısı isə mavidir. Bir top qabdan götürülür. Siz mavi rəng alma ehtimalını öyrənməlisiniz.
Problemi həll etmək üçün mavi topun əldə edilməsini A hadisəsi kimi təyin etmək lazımdır. Bu təcrübənin on nəticəsi ola bilər ki, bu da öz növbəsində elementar və eyni dərəcədə ehtimal olunur. Eyni zamanda, on nəfərdən altısı A hadisəsi üçün əlverişlidir. Düsturla həll edirik:
P(A)=6: 10=0, 6
Bu düsturun tətbiqi nəticəsində məlum oldu ki, mavi top əldə etmək ehtimalı 0,6-dır.
Nümunənin həlli. Hadisələrin cəminin ehtimalı
İndi hadisələrin cəminin ehtimalı düsturu ilə həll olunan variant təqdim olunacaq. Beləliklə, iki qutunun olması şərti ilə birincidə bir boz və beş ağ top, ikincisində isə səkkiz boz və dörd ağ top var. Nəticədə onlardan biri birinci və ikinci qutudan götürülüb. Əldə etdiyiniz topların boz və ağ olması şansının nə olduğunu öyrənməlisiniz.
Bu problemi həll etmək üçün hadisələri etiketləməlisiniz.
- Beləliklə, A - birinci qutudan boz top götürün: P(A)=1/6.
- A’ – ilk qutudan da ağ top götürün: P(A')=5/6.
- B – boz top artıq ikinci qutudan çıxarılıb: P(B)=2/3.
- B’ – ikinci qutudan boz top götürün: P(B')=1/3.
Problemin şərtinə uyğun olaraq hadisələrdən biri baş verməlidir: AB' və ya A'B. Düsturdan istifadə edərək əldə edirik: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
İndi ehtimal vurma düsturu istifadə edilmişdir. Sonra, cavabı tapmaq üçün onların əlavə edilməsi üçün tənliyi tətbiq etməlisiniz:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Düsturdan istifadə edərək oxşar problemləri belə həll edə bilərsiniz.
Nəticə
Məqalədə hadisənin baş vermə ehtimalının həlledici rol oynadığı "Ehtimal nəzəriyyəsi" mövzusunda məlumat verilmişdir. Əlbəttə ki, hər şey nəzərə alınmadı, lakin təqdim olunan mətnə əsasən nəzəri cəhətdən riyaziyyatın bu bölməsi ilə tanış olmaq olar. Sözügedən elm təkcə peşəkar işdə deyil, həm də gündəlik həyatda faydalı ola bilər. Onun köməyi ilə siz istənilən hadisənin istənilən ehtimalını hesablaya bilərsiniz.
Mətn həmçinin ehtimal nəzəriyyəsinin bir elm kimi formalaşması tarixində əlamətdar tarixlərə və ona əsərləri yatırılan insanların adlarına toxunulub. Beləliklə, insan marağı insanların təsadüfi hadisələri belə hesablamağı öyrənməsinə səbəb oldu. Bir vaxtlar sadəcə maraqlanırdılar, amma bu gün artıq hamı bu barədə bilir. Və heç kim bizi gələcəkdə nələrin gözlədiyini, nəzərdən keçirilən nəzəriyyə ilə bağlı daha hansı parlaq kəşflərin ediləcəyini deməyəcək. Ancaq bir şey əmindir - tədqiqat hələ də dayanmır!
