"Ehtimal nəzəriyyəsi" anlayışı ilə qarşılaşan bir çoxları bunun hədsiz, çox mürəkkəb bir şey olduğunu düşünərək qorxurlar. Amma əslində hər şey o qədər də faciəli deyil. Bu gün biz ehtimal nəzəriyyəsinin əsas konsepsiyasını nəzərdən keçirəcəyik, konkret nümunələrdən istifadə edərək problemlərin həllini öyrənəcəyik.
Elm
Riyaziyyatın "ehtimal nəzəriyyəsi" kimi bir sahəsi nəyi öyrənir? O, təsadüfi hadisələrin və kəmiyyətlərin nümunələrini qeyd edir. Elm adamları ilk dəfə bu məsələ ilə hələ on səkkizinci əsrdə, qumar oyunlarını öyrənərkən maraqlandılar. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışı hadisədir. Bu, təcrübə və ya müşahidə ilə müəyyən edilən hər hansı bir faktdır. Bəs təcrübə nədir? Ehtimal nəzəriyyəsinin başqa bir əsas anlayışı. Bu o deməkdir ki, şəraitin bu tərkibi təsadüfi deyil, müəyyən bir məqsəd üçün yaradılmışdır. Müşahidəyə gəlincə, burada tədqiqatçı özü eksperimentdə iştirak etmir, sadəcə olaraq bu hadisələrin şahididir, baş verənlərə heç bir şəkildə təsir göstərmir.
Tədbirlər
Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışının hadisə olduğunu öyrəndik, lakin təsnifatı nəzərə almadıq. Onların hamısı aşağıdakı kateqoriyalara bölünür:
- Etibarlı.
- Mümkün deyil.
- Təsadüfi.
Fərqi yoxdurtəcrübə zamanı nə cür hadisələr müşahidə olunur və ya yaradılır, hamısı bu təsnifata tabedir. Növlərin hər biri ilə ayrıca tanış olmağı təklif edirik.
Müəyyən hadisə
Bu, lazımi tədbirlər toplusunun görüldüyü bir vəziyyətdir. Mahiyyəti daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misal vermək daha yaxşıdır. Fizika, kimya, iqtisadiyyat və ali riyaziyyat bu qanuna tabedir. Ehtimal nəzəriyyəsi müəyyən bir hadisə kimi vacib bir anlayışı ehtiva edir. Budur bəzi nümunələr:
- Biz işləyirik və əmək haqqı şəklində mükafat alırıq.
- İmtahanlardan yaxşı keçdik, müsabiqədən keçdik, buna görə təhsil müəssisəsinə qəbul şəklində mükafat alırıq.
- Banka pul yatırmışıq, lazım gələrsə onu geri alacağıq.
Belə hadisələr etibarlıdır. Əgər bütün lazımi şərtləri yerinə yetirmişiksə, o zaman gözlənilən nəticəni mütləq alacağıq.
Mümkün olmayan hadisələr
İndi biz ehtimal nəzəriyyəsinin elementlərini nəzərdən keçiririk. Növbəti növ hadisənin, yəni qeyri-mümkün olanın izahına keçməyi təklif edirik. Əvvəlcə ən vacib qaydanı qeyd edək - qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır.
Problemləri həll edərkən bu ifadədən yayına bilməzsiniz. Aydınlaşdırmaq üçün belə hadisələrə nümunələr var:
- Su üstəgəl onda dondu (bu mümkün deyil).
- Elektrik enerjisinin olmaması istehsala heç bir şəkildə təsir göstərmir (əvvəlki misalda olduğu kimi qeyri-mümkündür).
Daha çox nümunəQeyd etməyə dəyməz, çünki yuxarıda təsvir olunanlar bu kateqoriyanın mahiyyətini çox aydın şəkildə əks etdirir. Mümkün olmayan hadisə heç bir şəraitdə təcrübə zamanı baş verməyəcək.
Təsadüfi hadisələr
Ehtimal nəzəriyyəsinin elementlərini öyrənərkən bu xüsusi hadisə növünə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Elmin öyrəndiyi budur. Təcrübə nəticəsində nəsə baş verə bilər, olmaya da bilər. Bundan əlavə, test qeyri-məhdud sayda təkrarlana bilər. Canlı nümunələr bunlardır:
- Sikkə atmaq təcrübə və ya sınaqdır, başlıq hadisədir.
- Torbadan kor-koranə top çıxarmaq bir sınaqdır, qırmızı topun tutulması hadisədir və s.
Belə misallar qeyri-məhdud sayda ola bilər, lakin, ümumiyyətlə, mahiyyət aydın olmalıdır. Hadisələr haqqında əldə edilən bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək üçün cədvəl verilir. Ehtimal nəzəriyyəsi təqdim olunanların yalnız sonuncu növünü öyrənir.
| başlıq | tərif | nümunə |
| Etibarlı | Müəyyən şərtlər altında 100% zəmanətlə baş verən hadisələr. | Yaxşı qəbul imtahanı ilə təhsil müəssisəsinə qəbul. |
| Mümkün deyil | Heç bir şəraitdə baş verməyəcək hadisələr. | Otuz dərəcə Selsi temperaturunda qar yağır. |
| Təsadüfi | Təcrübə/test zamanı baş verə və ya olmaya bilən hadisə. | Basketbol topu halqaya atan zaman vurun və ya qaçırın. |
Qanunlar
Ehtimal nəzəriyyəsi bir hadisənin baş vermə ehtimalını öyrənən elmdir. Digərləri kimi, onun da bəzi qaydaları var. Ehtimal nəzəriyyəsinin aşağıdakı qanunları var:
- Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması.
- Böyük ədədlər qanunu.
Kompleksin mümkünlüyünü hesablayarkən, nəticəni daha asan və daha sürətli şəkildə əldə etmək üçün sadə hadisələr kompleksindən istifadə edə bilərsiniz. Qeyd edək ki, ehtimal nəzəriyyəsinin qanunları bəzi teoremlərin köməyi ilə asanlıqla isbat olunur. Birinci qanunla başlayaq.
Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığının yaxınlaşması
Qeyd edək ki, konvergensiyanın bir neçə növü var:
- Təsadüfi dəyişənlərin ardıcıllığı ehtimalla birləşir.
- Demək olar ki, qeyri-mümkün.
- RMS yaxınlaşması.
- Paylaşmada yaxınlaşma.
Beləliklə, tez bir zamanda bunun dibinə varmaq çox çətindir. Bu mövzunu başa düşməyinizə kömək edəcək bəzi təriflər var. İlk baxışdan başlayaq. Aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə, ardıcıllığa ehtimal üzrə konvergent deyilir: n sonsuzluğa meyllidir, ardıcıllığın meyl etdiyi ədəd sıfırdan böyük və birə yaxındır.
Növbəti görünüşə gedirik, demək olar ki, mütləq. Bunu deyirlərardıcıllıq demək olar ki, n sonsuzluğa, P isə birinə yaxın dəyərə meylli təsadüfi dəyişənə yaxınlaşır.
Növbəti növ kök-orta-kvadrat yaxınlaşmasıdır. SC-konvergensiyasından istifadə edərkən vektor təsadüfi proseslərin tədqiqi onların koordinat təsadüfi proseslərinin öyrənilməsinə qədər azaldılır.
Sonuncu növ qalır, problemlərin həllinə birbaşa keçmək üçün ona qısaca nəzər salaq. Dağıtım konvergensiyasının başqa adı var - "zəif", bunun səbəbini aşağıda izah edəcəyik. Zəif yaxınlaşma limit paylama funksiyasının davamlılığının bütün nöqtələrində paylanma funksiyalarının yaxınlaşmasıdır.
Vədi yerinə yetirməyinizə əmin olun: zəif yaxınlaşma yuxarıda göstərilənlərin hamısından təsadüfi dəyişənin ehtimal fəzasında müəyyən edilməməsi ilə fərqlənir. Bu mümkündür, çünki şərt yalnız paylama funksiyalarından istifadə etməklə formalaşır.
Böyük ədədlər qanunu
Bu qanunun sübutunda əla köməkçilər ehtimal nəzəriyyəsinin teoremləri olacaq, məsələn:
- Çebışev bərabərsizliyi.
- Çebışev teoremi.
- Ümumiləşdirilmiş Çebışev teoremi.
- Markov teoremi.
Bütün bu teoremləri nəzərə alsaq, bu sual bir neçə onlarla vərəq üçün uzana bilər. Bizim əsas vəzifəmiz ehtimal nəzəriyyəsini praktikada tətbiq etməkdir. Sizi indi bunu etməyə dəvət edirik. Amma bundan əvvəl ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomlarını nəzərdən keçirək, onlar məsələlərin həllində əsas köməkçilər olacaqlar.
Axiomlar
Qeyri-mümkün hadisə haqqında danışarkən birinci ilə artıq qarşılaşdıq. Xatırlayaq: mümkün olmayan bir hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır. Çox parlaq və yaddaqalan bir misal gətirdik: havanın temperaturu otuz dərəcə Selsi olanda qar yağıb.
İkincisi belə səslənir: 1-ə bərabər ehtimalla etibarlı hadisə baş verir. İndi riyazi dildən istifadə edərək necə yazılacağını göstərək: P(B)=1.
Üçüncü: Təsadüfi hadisə baş verə bilər və ya olmaya da bilər, lakin ehtimal həmişə sıfırdan birə qədər dəyişir. Dəyər birinə nə qədər yaxın olarsa, şans da bir o qədər çox olar; dəyər sıfıra yaxınlaşarsa, ehtimal çox aşağıdır. Bunu riyazi dildə yazaq: 0<Р(С)<1.
Belə səslənən sonuncu, dördüncü aksioma baxaq: iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir. Riyazi dildə yazırıq: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Ehtimal nəzəriyyəsinin aksiomları yadda saxlamaq asan olan ən sadə qaydalardır. Artıq əldə edilmiş biliklərə əsaslanaraq bəzi problemləri həll etməyə çalışaq.
Lotereya bileti
İlk olaraq ən sadə nümunəni - lotereyanı nəzərdən keçirək. Təsəvvür edin ki, uğurlar üçün bir lotereya bileti almısınız. Ən azı iyirmi rubl qazanmağınız ehtimalı nədir? Ümumilikdə tirajda min bilet iştirak edir, onlardan biri beş yüz rubl, on yüz rubl, əlli iyirmi rubl və yüz beş rubl mükafata malikdir. Ehtimal nəzəriyyəsində problemlər ehtimalın tapılmasına əsaslanıruğurlar. İndi birlikdə yuxarıda təqdim olunan tapşırığın həllini təhlil edəcəyik.
Əgər A hərfi ilə beş yüz rubl uduşu işarələsək, onda A-nın alınma ehtimalı 0,001 olacaq. Biz onu necə əldə etdik? Sadəcə "şanslı" biletlərin sayını onların ümumi sayına bölmək lazımdır (bu halda: 1/1000).
B yüz rubl uduşdur, ehtimal 0,01 olacaq. İndi biz əvvəlki hərəkətdə olduğu kimi eyni prinsipə əsasən hərəkət etdik (10/1000)
C - uduşlar iyirmi rubla bərabərdir. 0,05-ə bərabər olan ehtimalı tapın.
Biletlərin qalan hissəsi bizim üçün maraqlı deyil, çünki onların mükafat fondu şərtdə göstəriləndən azdır. Dördüncü aksioma tətbiq edək: Ən azı iyirmi rubl qazanma ehtimalı P(A)+P(B)+P(C). P hərfi bu hadisənin baş vermə ehtimalını ifadə edir, biz onları əvvəlki addımlarda artıq tapmışıq. Yalnız lazımi məlumatları əlavə etmək qalır, cavabda 0, 061 alırıq. Bu nömrə tapşırığın sualına cavab olacaq.
Kart göyərtəsi
Ehtimal nəzəriyyəsi problemləri daha mürəkkəb ola bilər, məsələn, aşağıdakı tapşırığı götürün. Sizdən əvvəl otuz altı kartdan ibarət bir göyərtə var. Tapşırıq yığını qarışdırmadan ard-arda iki kartı çəkməkdir, birinci və ikinci kartlar as olmalıdır, kostyumun fərqi yoxdur.
Əvvəlcə, birinci kartın as olacağı ehtimalını tapaq, bunun üçün dördü otuz altıya bölürük. Bir kənara qoydular. İkinci kartı çıxarırıq, bu, üç otuz beşdə bir ehtimalı olan bir ace olacaq. İkinci hadisənin baş vermə ehtimalı, hansı kartı birinci çəkdiyimizdən asılıdır, bizi maraqlandırırbu ace idi ya yox. Bundan belə nəticə çıxır ki, B hadisəsi A hadisəsindən asılıdır.
Növbəti addım eyni vaxtda həyata keçirilmə ehtimalını tapmaqdır, yəni A və B-ni çoxaldırıq. Onların məhsulu aşağıdakı kimi tapılır: bir hadisənin baş vermə ehtimalı digər hadisənin şərti ehtimalına vurulur, biz bunu hesablayırıq., ilk hadisənin baş verdiyini fərz etsək, yəni ilk kartla bir as çəkdik.
Hər şeyi aydınlaşdırmaq üçün hadisənin şərti ehtimalı kimi elementə təyinat verək. A hadisəsinin baş verdiyini fərz etməklə hesablanır. Aşağıdakı kimi hesablanır: P(B/A).
Problemimizi həll etməyə davam edin: P(AB)=P(A)P(B/A) və ya P (AB)=P(B)P(A/B). Ehtimal (4/36)((3/35)/(4/36). Yüzdə birə yuvarlaqlaşdırmaqla hesablayın. Bizdə: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Ardıcıl iki as çəkməyimiz ehtimalı yüzdə doqquzdur. Dəyər çox kiçikdir, ondan belə nəticə çıxır ki, hadisənin baş vermə ehtimalı çox kiçikdir.
Unudulmuş nömrə
Ehtimal nəzəriyyəsi ilə öyrənilən tapşırıqlar üçün daha bir neçə variantı təhlil etməyi təklif edirik. Bu məqalədə onlardan bəzilərinin həlli nümunələrini artıq görmüsünüz, gəlin aşağıdakı problemi həll etməyə çalışaq: oğlan dostunun telefon nömrəsinin son rəqəmini unutdu, lakin zəng çox vacib olduğundan hər şeyi növbə ilə yığmağa başladı. Onun üç dəfədən çox olmayan zəng etmə ehtimalını hesablamalıyıq. Ehtimal nəzəriyyəsinin qaydaları, qanunları və aksiomları məlumdursa, problemin həlli ən sadədir.
Baxmazdan əvvəlhəll, özünüz həll etməyə çalışın. Bilirik ki, son rəqəm sıfırdan doqquza qədər ola bilər, yəni cəmi on dəyər var. Doğru olanı əldə etmək ehtimalı 1/10-dur.
Sonra, hadisənin mənşəyi ilə bağlı variantları nəzərdən keçirməliyik, fərz edək ki, oğlan düzgün təxmin edib və dərhal düzgün qol vurdu, belə bir hadisənin baş vermə ehtimalı 1/10-dur. İkinci seçim: birinci zəng buraxılmış, ikincisi isə hədəfdədir. Belə bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 1/9-a vurun, nəticədə biz də 1/10 alırıq. Üçüncü seçim: birinci və ikinci zənglər səhv ünvanda oldu, yalnız üçüncüdən oğlan istədiyi yerə çatdı. Belə bir hadisənin ehtimalını hesablayırıq: 9/10-u 8/9-a və 1/8-ə vururuq, nəticədə 1/10 alırıq. Problemin vəziyyətinə görə, başqa variantlar bizi maraqlandırmır, ona görə də nəticələri toplamaq bizə qalır, nəticədə 3/10-a sahibik. Cavab: Oğlanın üç dəfədən çox zəng etmə ehtimalı 0,3-dür.
Nömrəli kartlar
Qarşınızda doqquz kart var, hər birində birdən doqquza qədər rəqəm yazılır, nömrələr təkrarlanmır. Onlar bir qutuya qoyuldu və hərtərəfli qarışdırıldı. Siz
ehtimalını hesablamalısınız.
- cüt rəqəm gələcək;
- ikirəqəmli.
Həllinə keçməzdən əvvəl şərt edək ki, m uğurlu halların sayı, n isə variantların ümumi sayıdır. Ədədin cüt olma ehtimalını tapın. Dörd cüt ədədin olduğunu hesablamaq çətin olmayacaq, bu bizim m olacaq, cəmi doqquz variant var, yəni m=9. Sonra ehtimal0, 44 və ya 4/9-a bərabərdir.
İkinci halı nəzərdən keçirək: variantların sayı doqquzdur və heç bir uğurlu nəticə ümumiyyətlə ola bilməz, yəni m sıfıra bərabərdir. Çəkilmiş kartın ikirəqəmli nömrənin olması ehtimalı da sıfırdır.
