Təsadüfi dəyişənlərin və onların dəyişənlərinin paylanma funksiyalarını tapmaq üçün bu bilik sahəsinin bütün xüsusiyyətlərini öyrənmək lazımdır. Sözügedən dəyərləri tapmaq üçün bir neçə fərqli üsul var, o cümlədən dəyişəni dəyişdirmək və bir an yaratmaq. Paylanma dispersiya, variasiya kimi elementlərə əsaslanan anlayışdır. Bununla belə, onlar yalnız səpilmə amplitudasının dərəcəsini xarakterizə edir.
Təsadüfi dəyişənlərin daha vacib funksiyaları əlaqəli və müstəqil və bərabər paylanmış funksiyalardır. Məsələn, əgər X1 kişi populyasiyasından təsadüfi seçilmiş şəxsin çəkisidirsə, X2 başqasının çəkisidirsə, … və Xn kişi populyasiyasından daha bir nəfərin çəkisidirsə, onda biz təsadüfi funksiyanın necə olduğunu bilməliyik. X paylanır. Bu halda mərkəzi limit teoremi adlanan klassik teorem tətbiq olunur. Bu, böyük n üçün funksiyanın standart paylamalara əməl etdiyini göstərməyə imkan verir.
Bir təsadüfi dəyişənin funksiyaları
Mərkəzi Limit Teoremi binom və Puasson kimi nəzərdən keçirilən diskret dəyərləri təxmin etmək üçündür. Təsadüfi dəyişənlərin paylanma funksiyaları, ilk növbədə, bir dəyişənin sadə qiymətləri üzərində nəzərə alınır. Məsələn, əgər X öz ehtimal paylanmasına malik davamlı təsadüfi dəyişəndirsə. Bu halda biz iki fərqli yanaşmadan, yəni paylanma funksiyası metodundan və dəyişənin dəyişməsindən istifadə edərək Y-nin sıxlıq funksiyasının necə tapılacağını araşdırırıq. Birincisi, yalnız bir-bir dəyərlər nəzərə alınır. Sonra onun ehtimalını tapmaq üçün dəyişənin dəyişdirilməsi texnikasını dəyişdirməlisiniz. Nəhayət, tərs məcmu paylanma funksiyasının müəyyən ardıcıl nümunələri izləyən təsadüfi ədədləri modelləşdirməyə necə kömək edə biləcəyini öyrənməliyik.
Nəzərdən alınan dəyərlərin paylanması metodu
Təsadüfi dəyişənin sıxlığını tapmaq üçün onun ehtimal paylama funksiyası üsulu tətbiq edilir. Bu üsuldan istifadə edərkən məcmu dəyər hesablanır. Sonra onu fərqləndirərək ehtimal sıxlığını əldə edə bilərsiniz. İndi paylama funksiyası metoduna sahib olduğumuz üçün daha bir neçə nümunəyə baxa bilərik. X müəyyən ehtimal sıxlığına malik fasiləsiz təsadüfi dəyişən olsun.
x2-nin ehtimal sıxlığı funksiyası nədir? Funksiyaya (yuxarı və sağ) y \u003d x2 baxsanız və ya qrafikini çəksəniz, bunun artan X və 0 <y<1 olduğunu qeyd edə bilərsiniz. İndi Y-ni tapmaq üçün nəzərdən keçirilən üsuldan istifadə etməlisiniz. Əvvəlcə kumulyativ paylanma funksiyası tapılır, sadəcə ehtimal sıxlığını almaq üçün diferensiallaşdırmaq lazımdır. Bunu etməklə, əldə edirik: 0<y<1. Y-nin X-in artan funksiyası olduqda Y-ni tapmaq üçün paylama metodu uğurla həyata keçirilib. Yeri gəlmişkən, f(y) y üzərində 1-ə inteqrasiya edir.
Sonuncu misalda hansı təsadüfi dəyişənə aid olduqlarını göstərmək üçün məcmu funksiyaları və ehtimal sıxlığını X və ya Y ilə indeksləşdirmək üçün böyük diqqət göstərilmişdir. Məsələn, Y-nin məcmu paylanma funksiyasını taparkən X-i əldə etdik. Əgər X təsadüfi dəyişənini və onun sıxlığını tapmaq lazımdırsa, onda sadəcə onu diferensiallaşdırmaq lazımdır.
Dəyişən Dəyişiklik Texnikası
X ortaq məxrəcli f (x) ilə paylanma funksiyası tərəfindən verilən davamlı təsadüfi dəyişən olsun. Bu halda, əgər y-nin qiymətini X=v (Y) -ə qoysanız, onda siz x-in qiymətini alırsınız, məsələn, v (y). İndi biz fasiləsiz təsadüfi dəyişən Y-nin paylanma funksiyasını almalıyıq. Birinci və ikinci bərabərliyin məcmu Y-nin tərifindən alındığı yerdə. Üçüncü bərabərlik yerinə yetirilir, çünki funksiyanın u (X) ≦ y olduğu hissəsidir. X ≦ v (Y) olduğu da doğrudur. Sonuncu isə davamlı X təsadüfi kəmiyyətində ehtimalı müəyyən etmək üçün edilir. İndi Y ehtimal sıxlığını əldə etmək üçün Y-nin məcmu paylanma funksiyası olan FY (y) törəməsini götürməliyik.
Az altma funksiyası üçün ümumiləşdirmə
X c1<x<c2 üzərində müəyyən edilmiş ümumi f (x) ilə davamlı təsadüfi dəyişən olsun. Və Y=u (X) tərs X=v (Y) ilə X-in azalan funksiyası olsun. Funksiya davamlı və azalan olduğundan, tərs funksiya X=v (Y) var.
Bu problemi həll etmək üçün siz kəmiyyət məlumatı toplaya və empirik məcmu paylanma funksiyasından istifadə edə bilərsiniz. Bu məlumatla və ona müraciət etməklə siz vasitə nümunələrini, standart kənarlaşmaları, media məlumatlarını və s. birləşdirməlisiniz.
Eyni şəkildə, hətta kifayət qədər sadə ehtimal modelinin çoxlu sayda nəticələri ola bilər. Məsələn, bir sikkəni 332 dəfə çevirsəniz. Onda flipsdən əldə edilən nəticələrin sayı google-dan (10100) çoxdur - bir rəqəm, lakin məlum kainatdakı elementar hissəciklərdən ən azı 100 kvintilyon dəfə yüksəkdir. Hər mümkün nəticəyə cavab verən təhlillə maraqlanmır. Başların sayı və ya quyruqların ən uzun vuruşu kimi daha sadə bir konsepsiya tələb olunacaq. Maraqlanan məsələlərə diqqət yetirmək üçün xüsusi bir nəticə qəbul edilir. Bu halda tərif aşağıdakı kimidir: təsadüfi dəyişən ehtimal fəzasına malik real funksiyadır.
Təsadüfi dəyişənin S diapazonu bəzən vəziyyət fəzası adlanır. Beləliklə, əgər X sözügedən qiymətdirsə, o zaman N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc və s. Bunlardan sonuncusu, X-in ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırılması mərtəbə funksiyası adlanır.
Paylaşma funksiyaları
Təsadüfi dəyişən x üçün maraqların paylanma funksiyası müəyyən edildikdən sonra adətən sual yaranır: "X-nin B dəyərlərinin bəzi alt çoxluğuna düşmə şansı nədir?". Məsələn, X olan nəticələri göstərmək üçün B={tək ədədlər}, B={1-dən böyük} və ya B={2 ilə 7 arasında}, dəyəritəsadüfi dəyişən, A alt çoxluğunda. Beləliklə, yuxarıdakı nümunədə hadisələri aşağıdakı kimi təsvir edə bilərsiniz.
{X tək ədəddir}, {X 1-dən böyükdür}={X> 1}, {X 2 ilə 7 arasındadır}={2 <X <7} B alt çoxluğu üçün yuxarıdakı üç seçimə uyğundur. Təsadüfi kəmiyyətlərin bir çox xassələri konkret X ilə əlaqəli deyil. Əksinə, onlar X-in öz dəyərlərini necə bölüşdürməsindən asılıdır. Bu, belə səslənən tərifə gətirib çıxarır: x təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası kümülatifdir və kəmiyyət müşahidələri ilə müəyyən edilir.
Təsadüfi dəyişənlər və paylama funksiyaları
Beləliklə, x təsadüfi dəyişənin paylama funksiyasının intervalda qiymətlər alması ehtimalını çıxma yolu ilə hesablaya bilərsiniz. Son nöqtələri daxil etmək və ya xaric etmək barədə düşünün.
Təsadüfi dəyişən sonlu və ya hesablana bilən sonsuz vəziyyət fəzasına malikdirsə, onu diskret adlandıracağıq. Beləliklə, X, p ehtimalı ilə artan qərəzli sikkənin üç müstəqil vərəqindəki başların sayıdır. X üçün diskret təsadüfi dəyişən FX-in kumulyativ paylama funksiyasını tapmalıyıq. Qoy X üç kartdan ibarət kolleksiyada zirvələrin sayı olsun. Sonra FX vasitəsilə Y=X3. FX 0-da başlayır, 1-də bitir və x dəyərləri artdıqca azalmır. Diskret təsadüfi dəyişən X-in məcmu FX paylama funksiyası sıçrayışlar istisna olmaqla, sabitdir. Atlama zamanı FX davamlıdır. Doğru ilə bağlı ifadəni sübut edintərifdən istifadə etməklə ehtimal xassəsindən paylanma funksiyasının davamlılığı mümkündür. Bu belə səslənir: sabit təsadüfi dəyişənin diferensiallana bilən kumulyativ FX var.
Bunun necə baş verə biləcəyini göstərmək üçün misal verə bilərik: vahid radiuslu hədəf. Ehtimal ki. dart göstərilən sahəyə bərabər paylanır. Bəzi λ> 0 üçün. Beləliklə, fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin paylanma funksiyaları rəvan artır. FX paylama funksiyasının xüsusiyyətlərinə malikdir.
Bir kişi avtobus gələnə qədər dayanacaqda gözləyir. Gözləmə 20 dəqiqəyə çatdıqda imtina edəcəyinə qərar verdi. Burada T üçün kumulyativ paylanma funksiyasını tapmaq lazımdır. İnsanın hələ də avtovağzalda olacağı və ya getməyəcəyi vaxtı. Hər bir təsadüfi dəyişən üçün məcmu paylanma funksiyasının müəyyən edilməsinə baxmayaraq. Eyni zamanda, digər xüsusiyyətlər olduqca tez-tez istifadə ediləcək: diskret dəyişən üçün kütlə və təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı funksiyası. Adətən dəyər bu iki dəyərdən biri vasitəsilə çıxarılır.
Kütləvi funksiyalar
Bu dəyərlər ümumi (kütləvi) xarakter daşıyan aşağıdakı xüsusiyyətlərə görə nəzərə alınır. Birincisi, ehtimalların mənfi olmadığına əsaslanır. İkincisi müşahidədən belə çıxır ki, bütün x=2S üçün çoxluq, X üçün vəziyyət fəzası X-in ehtimal azadlığının bir hissəsini təşkil edir. Misal: nəticələri müstəqil olan qərəzli sikkə atmaq. Davam edə bilərsinizbaşları yuvarlanana qədər müəyyən hərəkətlər. X birinci başın qarşısındakı quyruqların sayını verən təsadüfi dəyişəni işarələsin. Və p hər hansı bir hərəkətdə ehtimalı bildirir.
Beləliklə, kütlə ehtimalı funksiyası aşağıdakı xarakterik xüsusiyyətlərə malikdir. Terminlər ədədi ardıcıllıq təşkil etdiyinə görə X həndəsi təsadüfi dəyişən adlanır. Həndəsi sxem c, cr, cr2,.,,, crn cəmi var. Və buna görə də, sn-nin n 1 kimi limiti var. Bu halda, sonsuz cəmi limitdir.
Yuxarıdakı kütlə funksiyası nisbəti olan həndəsi ardıcıllıq əmələ gətirir. Buna görə a və b natural ədədləri. Paylanma funksiyasındakı dəyərlər fərqi kütlə funksiyasının dəyərinə bərabərdir.
Nəzərdə tutulan sıxlıq dəyərlərinin tərifi var: X FX paylanması törəmə olan təsadüfi dəyişəndir. Z xFX (x)=fX (t) dt-1-i təmin edən FX ehtimal sıxlığı funksiyası adlanır. X isə davamlı təsadüfi dəyişən adlanır. Hesablamanın əsas teoremində sıxlıq funksiyası paylanmanın törəməsidir. Siz müəyyən inteqralları hesablayaraq ehtimalları hesablaya bilərsiniz.
Məlumat çoxlu müşahidələrdən toplandığı üçün eksperimental prosedurları modelləşdirmək üçün eyni vaxtda birdən çox təsadüfi dəyişən nəzərə alınmalıdır. Buna görə də, bu dəyərlərin çoxluğu və iki dəyişən X1 və X2 üçün birgə paylanması hadisələrə baxmaq deməkdir. Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün birgə ehtimal kütlə funksiyaları müəyyən edilir. Davamlı olanlar üçün fX1, X2 nəzərə alınır, buradabirgə ehtimal sıxlığı təmin edilir.
Müstəqil təsadüfi dəyişənlər
İki təsadüfi dəyişən X1 və X2, əgər onlarla əlaqəli hər hansı iki hadisə eyni olarsa, müstəqildir. Sözlə desək, {X1 2 B1} və {X2 2 B2} iki hadisənin eyni vaxtda baş verməsi ehtimalı, y, yuxarıdakı dəyişənlərin hasilinə bərabərdir ki, onların hər biri ayrı-ayrılıqda baş verir. Müstəqil diskret təsadüfi dəyişənlər üçün məhdudlaşdırıcı ion həcminin məhsulu olan birgə ehtimal kütlə funksiyası mövcuddur. Müstəqil olan davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün birgə ehtimal sıxlığı funksiyası marjinal sıxlıq qiymətlərinin məhsuludur. Nəhayət, n müstəqil müşahidəni x1, x2, hesab edirik.,,, xn naməlum sıxlıq və ya kütlə funksiyasından yaranan f. Məsələn, avtobusun gözləmə müddətini təsvir edən eksponensial təsadüfi dəyişən funksiyalarında naməlum parametr.
Təsadüfi dəyişənlərin imitasiyası
Bu nəzəri sahənin əsas məqsədi sağlam statistika elmi prinsiplərinə əsaslanan nəticə çıxarmaq prosedurlarını inkişaf etdirmək üçün lazım olan alətləri təmin etməkdir. Beləliklə, proqram üçün çox vacib istifadə hallarından biri faktiki məlumatları təqlid etmək üçün psevdoməlumat yaratmaq bacarığıdır. Bu, analiz üsullarını real verilənlər bazalarında istifadə etməzdən əvvəl sınaqdan keçirməyə və təkmilləşdirməyə imkan verir. Bu, məlumatların xüsusiyyətlərini araşdırmaq üçün tələb olunurmodelləşdirmə. Təsadüfi dəyişənlərin çox istifadə olunan ailələri üçün R onları yaratmaq üçün əmrlər təqdim edir. Digər hallar üçün ümumi paylanmaya malik müstəqil təsadüfi dəyişənlər ardıcıllığının modelləşdirilməsi üsulları tələb olunacaq.
Diskret təsadüfi dəyişənlər və Komanda nümunəsi. Nümunə əmri sadə və təbəqələşdirilmiş təsadüfi nümunələr yaratmaq üçün istifadə olunur. Nəticədə, əgər x ardıcıllığı daxil edilirsə, nümunə(x, 40) x-dən 40 qeyd seçir ki, 40 ölçülü bütün seçimlərin eyni ehtimalı olsun. Bu, əvəz etmədən əldə etmək üçün standart R əmrindən istifadə edir. Diskret təsadüfi dəyişənləri modelləşdirmək üçün də istifadə edilə bilər. Bunun üçün x vektorunda vəziyyət fəzasını və f kütlə funksiyasını təmin etmək lazımdır. Əvəz etmək üçün çağırış=TRUE seçmənin dəyişdirmə ilə baş verdiyini göstərir. Sonra ümumi f kütlə funksiyasına malik olan n müstəqil təsadüfi dəyişən nümunəsini vermək üçün nümunədən (x, n, əvəz=TRUE, prob=f) istifadə olunur.
1-in təmsil olunan ən kiçik dəyər və 4-ün hamıdan böyüyü olduğunu təyin etdik. Əgər prob=f əmri buraxılıbsa, onda nümunə x vektorunda olan dəyərlərdən bərabər şəkildə seçiləcək. Siz==ikiqat bərabərdir işarəsinə baxaraq, simulyasiyanı verilənləri yaradan kütlə funksiyası ilə yoxlaya bilərsiniz. Və x üçün hər mümkün dəyəri alan müşahidələrin yenidən hesablanması. Bir masa düzəldə bilərsiniz. Bunu 1000 üçün təkrarlayın və simulyasiyanı müvafiq kütlə funksiyası ilə müqayisə edin.
Ehtimal çevrilməsinin təsviri
Birinciu1, u2, təsadüfi dəyişənlərin homojen paylanma funksiyalarını simulyasiya edin.,,, un [0, 1] intervalında. Rəqəmlərin təxminən 10%-i [0, 3, 0, 4] daxilində olmalıdır. Bu, göstərilən FX paylama funksiyası ilə təsadüfi dəyişən üçün [0, 28, 0, 38] intervalında simulyasiyaların 10%-nə uyğundur. Eynilə, təsadüfi ədədlərin təxminən 10%-i [0, 7, 0, 8] intervalında olmalıdır. Bu, FX paylama funksiyası ilə təsadüfi dəyişənin [0, 96, 1, 51] intervalında 10% simulyasiyalara uyğundur. X oxundakı bu dəyərləri FX-dən tərsini götürməklə əldə etmək olar. Əgər X öz domeninin hər yerində sıxlığı fX müsbət olan fasiləsiz təsadüfi dəyişəndirsə, paylama funksiyası ciddi şəkildə artır. Bu halda FX, kvantil funksiyası kimi tanınan tərs FX-1 funksiyasına malikdir. FX (x) u yalnız x FX-1 (u) olduqda. Ehtimal çevrilməsi təsadüfi dəyişən U=FX (X) təhlilindən irəli gəlir.
FX 0-dan 1-ə qədər diapazona malikdir. O, 0-dan aşağı və ya 1-dən yuxarı ola bilməz. 0 və 1 arasındakı u dəyərləri üçün. Əgər U simulyasiya edilə bilərsə, onda FX paylanması ilə təsadüfi dəyişən olmalıdır. kvant funksiyası vasitəsilə simulyasiya edilmişdir. Törəmə götürək ki, u sıxlığı 1 daxilində dəyişir. U təsadüfi kəmiyyəti mümkün qiymətləri intervalında sabit sıxlığa malik olduğundan, [0, 1] intervalında vahid adlanır. R-də runif əmri ilə modelləşdirilmişdir. Şəxsiyyət ehtimallı çevrilmə adlanır. Bunun necə işlədiyini dart taxtası nümunəsində görə bilərsiniz. X 0 ilə 1 arasında, funksiyapaylanması u=FX (x)=x2 və deməli, kvantil funksiyası x=FX-1 (u). Dart panelinin mərkəzindən məsafənin müstəqil müşahidələrini modelləşdirmək və beləliklə, U1, U2, vahid təsadüfi dəyişənləri yaratmaq mümkündür.,, Un. Paylanma funksiyası və empirik funksiya dart taxtasının paylanmasının 100 simulyasiyasına əsaslanır. Eksponensial təsadüfi dəyişən üçün, ehtimal ki, u=FX (x)=1 - exp (- x) və deməli, x=- 1 ln (1 - u). Bəzən məntiq ekvivalent ifadələrdən ibarətdir. Bu halda, arqumentin iki hissəsini birləşdirməlisiniz. Kəsişmə eyniliyi bəzi dəyər əvəzinə bütün 2 {S i i} S üçün oxşardır. Ci birliyi S dövlət fəzasına bərabərdir və hər bir cüt bir-birini istisna edir. Çünki Bi - üç aksioma bölünür. Hər bir yoxlama müvafiq P ehtimalına əsaslanır. İstənilən alt çoxluq üçün. Cavabın interval son nöqtələrinin daxil olub-olmamasından asılı olmadığına əmin olmaq üçün şəxsiyyətdən istifadə edin.
Eksponensial funksiya və onun dəyişənləri
Bütün hadisələrdə hər bir nəticə üçün ehtimalların davamlılığının ikinci xassəsindən istifadə olunur ki, bu da aksiomatik hesab olunur. Burada təsadüfi dəyişən funksiyasının paylanma qanunu göstərir ki, hər birinin öz həlli və cavabı var.
