Müstəvilərin paralelliyini və perpendikulyarlığını təyin etmək, həmçinin bu həndəsi cisimlər arasındakı məsafələri hesablamaq üçün bu və ya digər növ ədədi funksiyalardan istifadə etmək rahatdır. Müstəvi tənliyini seqmentlərdə istifadə etmək hansı məsələlər üçün əlverişlidir? Bu yazıda bunun nə olduğunu və praktiki tapşırıqlarda necə istifadə edəcəyini nəzərdən keçirəcəyik.
Xətt seqmentlərində tənlik nədir?
Müstəvi 3D məkanında bir neçə yolla müəyyən edilə bilər. Bu yazıda onlardan bəziləri müxtəlif növ problemlərin həlli zamanı veriləcəkdir. Burada müstəvi seqmentlərində tənliyin ətraflı təsvirini veririk. Ümumiyyətlə aşağıdakı formaya malikdir:
x/p + y/q + z/r=1.
Burada p, q, r simvolları bəzi xüsusi rəqəmləri bildirir. Bu tənliyi asanlıqla ümumi ifadəyə və müstəvi üçün ədədi funksiyaların digər formalarına tərcümə etmək olar.
Tənliyin seqmentlərə yazılmasının rahatlığı ondadır ki, onun müstəvi ilə perpendikulyar koordinat oxları ilə kəsişməsinin açıq koordinatlarını ehtiva edir. X oxundamənşəyə nisbətən müstəvi p uzunluğunda, y oxunda - q-a bərabər, z-də - r uzunluğunda seqmenti kəsir.
Əgər üç dəyişəndən hər hansı biri tənlikdə yoxdursa, bu o deməkdir ki, müstəvi müvafiq oxdan keçmir (riyaziyyatçılar sonsuzluqda kəsişdiyini deyirlər).
Sonra, bu tənliklə necə işləməyi göstərəcəyimiz bəzi problemlər var.
Ümumi və tənliklərin seqmentlərində əlaqə
Məlumdur ki, təyyarə aşağıdakı bərabərliklə verilir:
2x - 3y + z - 6=0.
Müstəvinin bu ümumi tənliyini seqmentlərlə yazmaq lazımdır.
Oxşar problem yarandıqda bu texnikaya əməl etməlisiniz: sərbəst termini bərabərliyin sağ tərəfinə köçürürük. Sonra bütün tənliyi bu terminə bölürük, əvvəlki paraqrafda verilmiş formada ifadə etməyə çalışırıq. Bizdə:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Seqmentlərdə əvvəlcə ümumi formada verilmiş müstəvi tənliyini əldə etdik. Maraqlıdır ki, təyyarə x, y və z oxları üçün müvafiq olaraq 3, 2 və 6 uzunluqlu seqmentləri kəsir. Y oxu müstəvini mənfi koordinat sahəsində kəsir.
Seqmentlər üzrə tənlik tərtib edilərkən, bütün dəyişənlərin qarşısında "+" işarəsinin olması vacibdir. Yalnız bu halda, bu dəyişənin bölündüyü nömrə oxda kəsilmiş koordinatı göstərəcək.
Normal vektor və təyyarədəki nöqtə
Məlumdur ki, bəzi müstəvilərin istiqamət vektoru var (3; 0; -1). (1; 1; 1) nöqtəsindən keçdiyi də məlumdur. Bu müstəvi üçün seqmentlərdə tənlik yazın.
Bu problemi həll etmək üçün əvvəlcə bu iki ölçülü həndəsi obyekt üçün ümumi formadan istifadə etməlisiniz. Ümumi forma belə yazılır:
Ax + By + Cz + D=0.
Burada ilk üç əmsal problem bəyanatında göstərilən bələdçi vektorunun koordinatlarıdır, yəni:
A=3;
B=0;
C=-1.
Sərbəst D terminini tapmaq qalır. Onu aşağıdakı düsturla müəyyən etmək olar:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Burada 1 indeksli koordinat qiymətləri müstəviyə aid nöqtənin koordinatlarına uyğundur. Biz onların dəyərlərini problemin vəziyyətindən əvəz edirik, alırıq:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
İndi tam tənliyi yaza bilərsiniz:
3x - z - 2=0.
Bu ifadəni müstəvi seqmentlərində tənliyə çevirmək texnikası artıq yuxarıda nümayiş etdirilmişdir. Tətbiq edin:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Problemin cavabı alındı. Qeyd edək ki, bu müstəvi yalnız x və z oxları ilə kəsişir. y üçün paraleldir.
Müstəvini təyin edən iki düz xətt
Məkan həndəsəsi kursundan hər bir tələbə bilir ki, iki ixtiyari xətti unikal şəkildə bir müstəvini təyin edir.üçölçülü məkan. Gəlin oxşar problemi həll edək.
İki xətt tənliyi məlumdur:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Müstəvi tənliyini bu xətlərdən keçərək seqmentlərə yazmaq lazımdır.
Hər iki xətt müstəvidə yatmalı olduğundan, bu o deməkdir ki, onların vektorları (bələdçiləri) müstəvi üçün vektora (bələdçi) perpendikulyar olmalıdır. Eyni zamanda məlumdur ki, ixtiyari iki istiqamətlənmiş seqmentin vektor məhsulu nəticəni iki orijinala perpendikulyar olan üçüncünün koordinatları şəklində verir. Bu xassəni nəzərə alaraq, istədiyiniz müstəviyə normal vektorun koordinatlarını alırıq:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Onu ixtiyari ədədə vurmaq mümkün olduğundan, bu, orijinala paralel yeni istiqamətlənmiş seqment əmələ gətirdiyindən, alınan koordinatların işarəsini əksi ilə əvəz edə bilərik (-1-ə vurun), alırıq:
(1; 2; 1).
Biz istiqamət vektorunu bilirik. Düz xətlərdən birinin ixtiyari nöqtəsini götürmək və təyyarənin ümumi tənliyini tərtib etmək qalır:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Bu bərabərliyi seqmentlərdəki ifadəyə çevirərək əldə edirik:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Beləliklə, təyyarə koordinat sisteminin müsbət bölgəsində hər üç oxu kəsir.
Üç nöqtə və bir təyyarə
İki düz xətt kimi, üç nöqtə üçölçülü fəzada müstəvini unikal şəkildə müəyyənləşdirir. Müstəvidə yerləşən nöqtələrin aşağıdakı koordinatları məlumdursa, müvafiq tənliyi seqmentlərə yazırıq:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Aşağıdakıları edək: bu nöqtələri birləşdirən iki ixtiyari vektorun koordinatlarını hesablayın, sonra tapılmış yönəlmiş seqmentlərin hasilini hesablayaraq müstəviyə normal olan n¯ vektorunu tapın. Alırıq:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
P nöqtəsini nümunə götürün, müstəvi tənliyini tərtib edin:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 və ya z=0.
Verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində xy müstəvisinə uyğun gələn sadə ifadə əldə etdik. Onu seqmentlərə yazmaq olmaz, çünki x və y oxları müstəviyə aiddir və z oxunda kəsilmiş seqmentin uzunluğu sıfıra bərabərdir (nöqtə (0; 0; 0) müstəviyə aiddir).
