Stereometriyada ümumi problemlərdən biri düz xətlərin və müstəvilərin kəsişməsi və onlar arasındakı bucaqların hesablanması tapşırıqlarıdır. Gəlin bu məqalədə koordinat metodu adlanan metodu və xətt ilə müstəvi arasındakı bucaqları daha ətraflı nəzərdən keçirək.
Həndəsədə xətt və müstəvi
Koordinat metodunu və xətt və müstəvi arasındakı bucağı nəzərdən keçirməzdən əvvəl siz adları çəkilən həndəsi obyektlərlə tanış olmalısınız.
Xətt kosmosda və ya müstəvidə belə nöqtələr toplusudur ki, onların hər biri əvvəlkini müəyyən vektora xətti şəkildə köçürməklə əldə edilə bilər. Aşağıda bu vektoru u¯ simvolu ilə işarə edirik. Bu vektor sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədə vurularsa, u¯-yə paralel vektor alarıq. Xətt xətti sonsuz obyektdir.
Müstəvi həm də elə yerləşmiş nöqtələr toplusudur ki, onlardan ixtiyari vektorlar düzəltsən, onda onların hamısı hansısa n¯ vektoruna perpendikulyar olacaq. Sonuncu normal və ya sadəcə normal adlanır. Təyyarə düz xəttdən fərqli olaraq ikiölçülü sonsuz obyektdir.
Həndəsə məsələlərinin həlli üçün koordinat metodu
Metodun özünün adına əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, söhbət analitik ardıcıl hesablamaların yerinə yetirilməsinə əsaslanan məsələlərin həlli metodundan gedir. Başqa sözlə desək, koordinat metodu universal cəbr alətlərindən istifadə etməklə həndəsi məsələləri həll etməyə imkan verir ki, bunlardan da başlıcası tənliklərdir.
Qeyd etmək lazımdır ki, nəzərdən keçirilən üsul müasir həndəsə və cəbrin başlanğıcında meydana çıxıb. Onun inkişafına 17-18-ci əsrlərdə Rene Dekart, Pyer de Ferma, İsaak Nyuton və Leybniz böyük töhfə vermişlər.
Metodun mahiyyəti məlum nöqtələrin koordinatları əsasında həndəsi elementlərin məsafələrini, bucaqlarını, sahələrini və həcmlərini hesablamaqdan ibarətdir. Nəzərə alın ki, alınan son tənliklərin forması koordinat sistemindən asılıdır. Çox vaxt problemlərdə düzbucaqlı Dekart sistemi istifadə olunur, çünki onunla işləmək daha rahatdır.
Xətt Tənliyi
Koordinat metodunun və xətt ilə müstəvi arasındakı bucaqların nəzərə alınması, xəttin tənliyini təyin etməklə başlayaq. Xətləri cəbri formada təqdim etməyin bir neçə yolu var. Burada biz yalnız vektor tənliyini nəzərdən keçiririk, çünki ondan istənilən başqa formada asanlıqla əldə edilə bilər və onunla işləmək asandır.
Fərz edək ki, iki nöqtə var: P və Q. Məlumdur ki, onların üzərindən xətt çəkmək olar və otək olacaq. Elementin müvafiq riyazi təsviri belə görünür:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Burada PQ¯ koordinatları aşağıdakı kimi alınan vektordur:
PQ¯=Q - P.
λ simvolu tamamilə istənilən ədədi qəbul edə bilən parametri bildirir.
Yazılı ifadədə vektorun istiqamətini dəyişdirə, həmçinin P nöqtəsinin yerinə Q koordinatlarını əvəz edə bilərsiniz. Bütün bu çevrilmələr xəttin həndəsi yerinin dəyişməsinə səbəb olmayacaq.
Qeyd edək ki, məsələləri həll edərkən bəzən yazılı vektor tənliyini açıq (parametrik) formada təqdim etmək tələb olunur.
Kosmosda təyyarə qurmaq
Düz xətt üçün olduğu kimi, müstəvi üçün də riyazi tənliyin bir neçə forması var. Onların arasında vektoru, seqmentlərdə tənliyi və ümumi formanı qeyd edirik. Bu yazıda sonuncu formaya xüsusi diqqət yetirəcəyik.
İxtiyari müstəvi üçün ümumi tənlik aşağıdakı kimi yazıla bilər:
Ax + By + Cz + D=0.
Latın böyük hərfləri müstəvini təyin edən müəyyən rəqəmlərdir.
Bu qeydin rahatlığı ondadır ki, o, açıq şəkildə müstəviyə normal vektoru ehtiva edir. Bu bərabərdir:
n¯=(A, B, C).
Bu vektoru bilmək müstəvi tənliyinə qısaca baxmaqla sonuncunun koordinat sistemindəki yerini təsəvvür etməyə imkan verir.
Qarşılıqlı tənzimləməxətt və müstəvi boşluğu
Məqalənin növbəti bəndində koordinat metodunun və xətt ilə müstəvi arasındakı bucağın nəzərdən keçirilməsinə keçəcəyik. Burada nəzərdən keçirilən həndəsi elementlərin kosmosda necə yerləşə biləcəyi sualına cavab verəcəyik. Üç yol var:
- Düz xətt təyyarə ilə kəsişir. Koordinat metodundan istifadə edərək, xəttin və təyyarənin hansı tək nöqtədə kəsişdiyini hesablaya bilərsiniz.
- Düz xəttin müstəvisi paraleldir. Bu halda həndəsi elementlərin tənliklər sisteminin həlli yoxdur. Paralelliyi sübut etmək üçün adətən düz xəttin istiqamətləndirici vektoru ilə müstəvi normalının skalyar hasilinin xassəsindən istifadə edilir.
- Təyyarədə xətt var. Bu halda tənliklər sistemini həll edərək belə bir nəticəyə gələcəyik ki, λ parametrinin istənilən qiyməti üçün düzgün bərabərlik alınır.
İkinci və üçüncü hallarda göstərilən həndəsi obyektlər arasındakı bucaq sıfıra bərabərdir. Birinci halda, 0 və 90o arasındadır.
Xətlər və müstəvilər arasında bucaqların hesablanması
İndi isə birbaşa məqalənin mövzusuna keçək. Xəttin və müstəvinin hər hansı kəsişməsi müəyyən bucaq altında baş verir. Bu bucaq düz xəttin özü və onun müstəviyə proyeksiyası ilə əmələ gəlir. Düz xəttin hər hansı bir nöqtəsindən müstəviyə bir perpendikulyar endirilərsə, proyeksiya əldə edilə bilər və sonra müstəvi ilə perpendikulyarın kəsişmə nöqtəsi və müstəvi ilə orijinal xəttin kəsişmə nöqtəsi vasitəsilə bir xətt çəkin. proyeksiya olacaq düz xətt.
Xətlər və müstəvilər arasındakı bucaqların hesablanması çətin məsələ deyil. Onu həll etmək üçün müvafiq həndəsi cisimlərin tənliklərini bilmək kifayətdir. Tutaq ki, bu tənliklər belə görünür:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
İstənilən bucaq u¯ və n¯ skalar vektorlarının hasilinin xassəsindən istifadə etməklə asanlıqla tapılır. Son düstur belə görünür:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Bu düsturda deyilir ki, xətt və müstəvi arasındakı bucağın sinusu işarələnmiş vektorların skalyar hasilinin modulunun onların uzunluqlarının hasilinə nisbətinə bərabərdir. Kosinus əvəzinə sinusun niyə göründüyünü anlamaq üçün aşağıdakı rəqəmə müraciət edək.
Görünür ki, kosinus funksiyasını tətbiq etsək, u¯ və n¯ vektorları arasında bucaq əldə edəcəyik. İstədiyiniz bucaq θ (şəkildə α) aşağıdakı kimi alınır:
θ=90o- β.
Sinus azalma düsturlarının tətbiqi nəticəsində görünür.
Nümunə problem
Əldilmiş biliklərin praktiki istifadəsinə keçək. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaqla bağlı tipik bir məsələni həll edək. Dörd nöqtənin aşağıdakı koordinatları verilmişdir:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Məlumdur ki, PQM məntəqələri vasitəsiləondan müstəvi, MN-dən isə düz xətt keçir. Koordinat metodundan istifadə edərək müstəvi ilə xətt arasındakı bucaq hesablanmalıdır.
Əvvəlcə düz xəttin və müstəvinin tənliklərini yazaq. Düz xətt üçün onu tərtib etmək asandır:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Müstəvi tənliyini yaratmaq üçün əvvəlcə onun normalını tapırıq. Onun koordinatları verilmiş müstəvidə yerləşən iki vektorun vektor hasilinə bərabərdir. Bizdə:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
İndi onun içində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatlarını ümumi müstəvi tənliyində əvəz edək ki, sərbəst D termininin qiymətini əldə edək:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Təyyarə tənliyi:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Məsələnin cavabını almaq üçün düz xəttin müstəvi ilə kəsişməsində əmələ gələn bucağın düsturunu tətbiq etmək qalır. Bizdə:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Bu məsələni nümunə kimi istifadə edərək, həndəsi məsələləri həll etmək üçün koordinat metodundan necə istifadə edəcəyimizi göstərdik.
