Leonhard Euler (1707-1783) - məşhur isveçrəli və rus riyaziyyatçısı, Sankt-Peterburq Elmlər Akademiyasının üzvü, ömrünün çox hissəsini Rusiyada keçirib. Riyazi analiz, statistika, informatika və məntiqdə ən məşhuru anlayışların əhatə dairəsini və elementlər çoxluğunu ifadə etmək üçün istifadə edilən Eyler dairəsidir (Euler-Venn diaqramı).
Con Venn (1834-1923) - İngilis filosofu və məntiqçisi, Eyler-Venn diaqramının həmmüəllifi.
Uyğun və uyğun olmayan anlayışlar
Məntiqdə anlayışa əsasən, bircins obyektlər sinfinin əsas xüsusiyyətlərini əks etdirən təfəkkür forması nəzərdə tutulur. Onlar bir və ya bir neçə söz qrupu ilə işarələnir: “dünya xəritəsi”, “dominant beşinci-yeddinci akkord”, “Bazar ertəsi” və s.
Bir anlayışın əhatə dairəsinin elementləri digərinin əhatə dairəsinə tam və ya qismən aid olduqda, uyğun gələn anlayışlardan danışılır. Bununla belə, müəyyən bir anlayışın əhatə dairəsinin heç bir elementi digərinin əhatə dairəsinə aid deyilsə, bizdə uyğun olmayan anlayışlar var.
Öz növbəsində, hər bir konsepsiya növü mümkün əlaqələrə malikdir. Uyğun konsepsiyalar üçün bunlar:
- cildlərin eyniliyi (ekvivalentliyi);
- keçid (qismən uyğunluq)cildlər;
- tabelik (tabelik).
Uyğun olmayanlar üçün:
- tabelik (koordinasiya);
- əks (əkslik);
- ziddiyyət (ziddiyyət).
Sxematik olaraq məntiqdəki anlayışlar arasındakı əlaqələr adətən Eyler-Venn dairələrindən istifadə etməklə işarələnir.
Ekvivalent əlaqələr
Bu halda anlayışlar eyni mövzunu ifadə edir. Müvafiq olaraq, bu anlayışların həcmləri tamamilə eynidir. Məsələn:
A - Ziqmund Freyd;
B psixoanalizin banisidir.
Və ya:
A kvadratdır;
B bərabərtərəfli düzbucaqlıdır;
C bərabərbucaqlı rombdur.
Tam üst-üstə düşən Eyler dairələri təyinat üçün istifadə olunur.
Kəsişmə (qismən uyğunluq)
Bu kateqoriyaya keçidlə əlaqəli ümumi elementləri olan anlayışlar daxildir. Yəni anlayışlardan birinin həcmi digərinin həcminə qismən daxildir:
A - müəllim;
B musiqi həvəskarıdır.
Bu nümunədən göründüyü kimi, anlayışların həcmləri qismən üst-üstə düşür: müəyyən qrup müəllimlər musiqisevərlər ola bilər və əksinə - musiqisevərlər arasında müəllimlik peşəsinin nümayəndələri ola bilər. Oxşar münasibət A anlayışının, məsələn, “vətəndaş”, B isə “sürücü” olduğu halda olacaq.
Tabelik (tabelik)
Sxematik olaraq müxtəlif miqyaslı Eyler dairələri kimi qeyd olunur. Əlaqələranlayışlar arasında bu halda tabeli anlayışın (həcmi daha kiçik) tamamilə tabeliyə (həcmi daha böyük) daxil olması ilə xarakterizə olunur. Eyni zamanda, tabeli anlayış tabe olanı tam tükəndirmir.
Məsələn:
A - ağac;
B - şam ağacı.
B konsepsiyası A anlayışına tabe olacaq. Şam ağacı ağaclara aid olduğu üçün bu misaldakı A anlayışı B anlayışının əhatə dairəsini "udaraq" tabe olur.
Koordinasiya (koordinasiya)
Əlaqə bir-birini istisna edən, lakin müəyyən ümumi ümumi dairəyə aid olan iki və ya daha çox anlayışı xarakterizə edir. Məsələn:
A – klarnet;
B - gitara;
C - skripka;
D musiqi alətidir.
A, B, C anlayışları bir-birinə münasibətdə kəsişmir, lakin onların hamısı musiqi alətləri kateqoriyasına aiddir (D anlayışı).
Əksinə (əksinə)
Anlayışlar arasında əks əlaqə bu anlayışların eyni cinsə aid olduğunu bildirir. Eyni zamanda, anlayışlardan biri müəyyən xüsusiyyətlərə (xüsusiyyətlərə) malikdir, digəri isə onları inkar edir, təbiətdə əks olanlarla əvəz edir. Beləliklə, biz antonimlərlə məşğul oluruq. Məsələn:
A cırtdandır;
B nəhəngdir.
Anlayışlar arasında əks əlaqə olan Eyler çevrəsiüç seqmentə bölünür, bunlardan birincisi A anlayışına, ikincisi B anlayışına, üçüncüsü isə bütün digər mümkün anlayışlara uyğundur.
Ziddiyyət (ziddiyyət)
Bu halda hər iki anlayış eyni cinsin növləridir. Əvvəlki misalda olduğu kimi, anlayışlardan biri müəyyən keyfiyyətləri (xüsusiyyətləri) göstərir, digəri isə onları inkar edir. Lakin əksliklərin münasibətindən fərqli olaraq, ikinci, əks anlayış inkar edilən xassələri başqa, alternativ olanlarla əvəz etmir. Məsələn:
A çətin işdir;
B asan məsələdir (A deyil).
Bu cür anlayışların həcmini ifadə edərək, Eyler dairəsi iki hissəyə bölünür - üçüncü, bu halda aralıq əlaqə yoxdur. Beləliklə, anlayışlar həm də antonimdir. Eyni zamanda, onlardan biri (A) müsbət olur (bəzi xüsusiyyəti təsdiqləyir), ikincisi (B və ya qeyri-A) mənfi olur (müvafiq xüsusiyyəti inkar edir): "ağ kağız" - "ağ kağız deyil", " milli tarix” – “xarici tarix” və s.
Beləliklə, anlayışların həcmlərinin bir-birinə nisbəti Eyler çevrələrini müəyyən edən əsas xüsusiyyətdir.
Dəstlər arasında əlaqələr
Həmçinin, həcmi Eyler dairələri ilə göstərilən elementlər və çoxluqlar anlayışlarını fərqləndirmək lazımdır. Çoxluq anlayışı riyaziyyat elmindən götürülmüşdür və kifayət qədər geniş məna daşıyır. Məntiq və riyaziyyatdakı nümunələr onu müəyyən obyektlər toplusu kimi göstərir. Obyektlərin özləridirbu dəstin elementləri. "Çoxları bir kimi düşünür" (Georg Kantor, çoxluqlar nəzəriyyəsinin banisi).
Dəstlər böyük hərflərlə işarələnir: A, B, C, D… və s., çoxluq elementləri kiçik hərflərlə təyin olunur: a, b, c, d… və s. Çoxluğa misal olaraq, tələbələr ola bilər bir sinifdə, müəyyən rəfdə olan kitablar (və ya, məsələn, müəyyən kitabxanadakı bütün kitablar), gündəlikdəki səhifələr, meşə təmizliyində giləmeyvə və s.
Öz növbəsində müəyyən çoxluqda tək element yoxdursa, o zaman boş adlanır və Ø işarəsi ilə işarələnir. Məsələn, paralel xətlərin kəsişmə nöqtələri çoxluğu, x2=-5.
tənliyinin həllər çoxluğu.
Problemin həlli
Eyler dairələri çoxlu sayda problemləri həll etmək üçün fəal şəkildə istifadə olunur. Məntiqdəki nümunələr məntiqi əməliyyatlarla çoxluq nəzəriyyəsi arasındakı əlaqəni aydın şəkildə nümayiş etdirir. Bu zaman anlayışların həqiqət cədvəllərindən istifadə olunur. Məsələn, A ilə işarələnmiş dairə həqiqət bölgəsini təmsil edir. Beləliklə, dairədən kənar sahə yalanı təmsil edəcəkdir. Məntiqi əməliyyat üçün diaqramın sahəsini müəyyən etmək üçün A və B elementləri üçün onun dəyərlərinin doğru olacağı Eyler dairəsini müəyyən edən sahələri kölgə salmalısınız.
Eyler dairələrinin istifadəsi müxtəlif sənaye sahələrində geniş praktik tətbiq tapmışdır. Məsələn, peşəkar bir seçim olan bir vəziyyətdə. Əgər subyekt gələcək peşə seçimi ilə maraqlanırsa, o, aşağıdakı meyarları rəhbər tuta bilər:
W – mən nə etməyi xoşlayıram?
D – mən nə edirəm?
S– mən necə yaxşı pul qazana bilərəm?
Bunu diaqram kimi çəkək: Eyler dairələri (məntiqdə nümunələr - kəsişmə əlaqəsi):
Nəticə hər üç dairənin kəsişməsində olacaq peşələr olacaq.
Eyler-Venn dairələri birləşmələr və xassələri hesablayarkən riyaziyyatda (çoxluq nəzəriyyəsi) ayrıca yer tutur. Elementlər çoxluğunun Eyler çevrələri universal çoxluğu (U) bildirən düzbucaqlının təsvirinə daxil edilmişdir. Dairələrin yerinə başqa qapalı fiqurlardan da istifadə etmək olar, lakin bunun mahiyyəti dəyişmir. Fiqurlar problemin şərtlərinə görə (ən ümumi halda) bir-biri ilə kəsişir. Həmçinin, bu rəqəmlər müvafiq olaraq etiketlənməlidir. Baxılan çoxluqların elementləri diaqramın müxtəlif seqmentlərinin daxilində yerləşən nöqtələr ola bilər. Buna əsaslanaraq, siz xüsusi sahələrə kölgə sala və bununla da yeni yaradılmış dəstləri təyin edə bilərsiniz.
Bu çoxluqlarla əsas riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək mümkündür: toplama (elementlər çoxluqlarının cəmi), çıxma (fərq), vurma (məhsul). Bundan əlavə, Eyler-Venn diaqramları sayəsində çoxluqları onlara daxil olan elementlərin sayına görə müqayisə etmək mümkündür, onları saymadan.
