Kosmosda həndəsi məsələləri həll edərkən çox vaxt müxtəlif fəza obyektləri arasındakı bucaqları hesablamaq lazım olanlar olur. Bu yazıda biz təyyarələr arasında və onlar arasında bucaqların və düz xəttin tapılması məsələsini nəzərdən keçirəcəyik.
Kosmosda xətt
Məlumdur ki, müstəvidə tamamilə istənilən düz xətti aşağıdakı bərabərliklə təyin etmək olar:
y=ax + b
Burada a və b bəzi rəqəmlərdir. Əgər fəzada düz xətti eyni ifadə ilə təmsil etsək, onda z oxuna paralel bir müstəvi alarıq. Məkan xəttinin riyazi tərifi üçün ikiölçülü vəziyyətdən fərqli bir həll üsulu istifadə olunur. O, "istiqamət vektoru" anlayışından istifadə etməkdən ibarətdir.
Düz xəttin istiqamət vektoru onun fəzada oriyentasiyasını göstərir. Bu parametr xəttə aiddir. Kosmosda paralel olan sonsuz vektorlar çoxluğu olduğundan, nəzərə alınan həndəsi obyekti unikal şəkildə müəyyən etmək üçün ona məxsus nöqtənin koordinatlarını da bilmək lazımdır.
Fərz edək ki, varnöqtəsi P(x0; y0; z0) və istiqamət vektoru v¯(a; b; c), onda düz xəttin tənliyi aşağıdakı kimi verilə bilər:
(x; y; z)=P + αv¯ və ya
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Bu ifadə düz xəttin parametrik vektor tənliyi adlanır. α əmsalı tamamilə istənilən real qiymətləri qəbul edə bilən parametrdir. Bu bərabərliyi genişləndirməklə xəttin koordinatları açıq şəkildə göstərilə bilər:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Təyyarənin tənliyi
Kosmosda müstəvi üçün tənlik yazmağın bir neçə forması var. Burada iki müstəvi və ya onlardan biri ilə düz xətt arasındakı bucaqların hesablanması zamanı ən çox istifadə olunan onlardan birini nəzərdən keçirəcəyik.
İstənilən müstəviyə perpendikulyar olan n¯(A; B; C) vektoru məlumdursa və P(x0; y ona aid olan 0; z0), onda sonuncu üçün ümumi tənlik belədir:
Ax + By + Cz + D=0 burada D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Biz olduqca sadə olan bu ifadənin törəməsini buraxdıq. Burada yalnız onu qeyd edirik ki, müstəvi tənliyindəki dəyişənlərin əmsallarını bilməklə ona perpendikulyar olan bütün vektorları asanlıqla tapmaq olar. Sonuncular normallar adlanır və maili ilə müstəvi arasındakı bucaqların hesablanmasında istifadə olunur.ixtiyari analoqlar.
Təyyarələrin yeri və aralarındakı bucaq düsturu
Deyək ki, iki təyyarə var. Onların kosmosda nisbi mövqeyinin hansı variantları var. Təyyarənin iki sonsuz ölçüsü və bir sıfırı olduğundan, onların qarşılıqlı orientasiyası üçün yalnız iki variant mümkündür:
- onlar bir-birinə paralel olacaqlar;
- onlar üst-üstə düşə bilər.
Təyyarələr arasındakı bucaq onların istiqamət vektorları, yəni normalları n1¯ və n2¯ arasındakı göstəricidir.
Aydındır ki, əgər onlar müstəviyə paraleldirlərsə, onda onların arasında kəsişmə bucağı sıfırdır. Əgər onlar kəsişirsə, onda sıfırdan fərqlidir, lakin həmişə kəskindir. Təyyarələr bir-birinə perpendikulyar olduqda, kəsişmənin xüsusi halı 90o bucağı olacaqdır.
n1¯ və n2¯ arasındakı α bucağı bu vektorların skalyar hasilindən asanlıqla müəyyən edilir. Yəni düstur baş verir:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Fərz edək ki, bu vektorların koordinatları: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Sonra vektorların koordinatları vasitəsilə skalyar hasilini və modullarını hesablamaq üçün düsturlardan istifadə edərək yuxarıdakı ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Saydırıcıdakı modul küt bucaqların dəyərlərini istisna etmək üçün ortaya çıxdı.
Müyyarların kəsişmə bucağını təyin etmək üçün məsələlərin həlli nümunələri
Müyyarələr arasındakı bucağı necə tapacağımızı bilməklə, aşağıdakı məsələni həll edəcəyik. Tənlikləri olan iki təyyarə verilmişdir:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Təyyarələr arasındakı bucaq nə qədərdir?
Məsələnin sualına cavab vermək üçün müstəvinin ümumi tənliyindəki dəyişənlərin əmsallarının istiqamətləndirici vektorun koordinatları olduğunu xatırlayaq. Göstərilən təyyarələr üçün onların normallarının aşağıdakı koordinatlarına sahibik:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
İndi bu vektorların və onların modullarının skalyar hasilini tapırıq, bizdə:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
İndi tapılan rəqəmləri əvvəlki paraqrafda verilmiş düsturla əvəz edə bilərsiniz. Alırıq:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Nəticədə qiymət şərtdə göstərilən müstəvilərin kəskin kəsişmə bucağına uyğundurtapşırıqlar.
İndi başqa bir nümunəyə nəzər salın. İki təyyarə verilir:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Onlar kəsişirmi? Onların istiqamət vektorlarının koordinatlarının qiymətlərini yazaq, onların skalyar hasilini və modullarını hesablayaq:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Onda kəsişmə bucağı:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Bu bucaq təyyarələrin kəsişmədiyini, əksinə paralel olduğunu göstərir. Onların bir-birinə uyğun gəlmədiyini yoxlamaq asandır. Bunun üçün onlardan birincisinə aid olan ixtiyari nöqtəni götürək, məsələn, P(0; 3; 2). Onun koordinatlarını ikinci tənliyə əvəz etsək, alarıq:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Yəni P nöqtəsi yalnız birinci müstəviyə aiddir.
Deməli, iki təyyarə normal olduqda paraleldir.
Təyyarə və düz xətt
Bir müstəvi ilə düz xətt arasındakı nisbi mövqe nəzərə alındıqda, iki təyyarə ilə müqayisədə bir neçə daha çox seçim var. Bu fakt düz xəttin birölçülü obyekt olması ilə bağlıdır. Xətt və təyyarə ola bilər:
- qarşılıqlı paralel, bu halda təyyarə xətti kəsmir;
- sonuncu təyyarəyə aid ola bilər, eyni zamanda ona paralel olacaq;
- hər iki obyekt ola bilərmüəyyən bucaqda kəsişir.
Əvvəlcə sonuncu halı nəzərdən keçirək, çünki bu, kəsişmə bucağı anlayışının tətbiqini tələb edir.
Xət və müstəvi, aralarındakı bucaq
Əgər düz xətt müstəvi ilə kəsişirsə, ona nisbətən maillik deyilir. Kəsişmə nöqtəsi yamacın əsası adlanır. Bu həndəsi cisimlər arasındakı bucağı müəyyən etmək üçün istənilən nöqtədən müstəviyə perpendikulyar olan düzü aşağı salmaq lazımdır. Sonra perpendikulyarın müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi və onunla meylli xəttin kəsişmə yeri düz xətt təşkil edir. Sonuncu orijinal xəttin nəzərdən keçirilən müstəviyə proyeksiyası adlanır. Xətt və onun proyeksiyası arasındakı kəskin bucaq tələb olunandır.
Müstəvi ilə maillik arasındakı bucağın müəyyən qədər çaşdırıcı tərifi aşağıdakı rəqəmi aydınlaşdıracaq.
Burada ABO bucağı AB xətti ilə a müstəvisi arasındakı bucaqdır.
Bunun düsturunu yazmaq üçün bir nümunə nəzərdən keçirin. Tənliklərlə təsvir olunan düz xətt və müstəvi olsun:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Xəttin istiqamət vektorları ilə müstəvi arasında skalyar hasil tapsanız, bu obyektlər üçün istədiyiniz bucağı hesablamaq asandır. Yaranan kəskin bucaq 90o-dən çıxılmalıdır, sonra düz xətt və müstəvi arasında əldə edilir.
Yuxarıdakı rəqəm tapmaq üçün təsvir edilmiş alqoritmi göstərirbucaq hesab olunur. Burada β normal ilə xətt arasındakı bucaq, α isə xətt ilə onun müstəviyə proyeksiyası arasındadır. Onların cəminin 90o olduğunu görmək olar.
Yuxarıda təyyarələr arasında bucağı necə tapmaq olar sualına cavab verən düstur təqdim edilmişdir. İndi düz xətt və müstəvi halı üçün uyğun ifadəni veririk:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Düsturdakı modul yalnız iti bucaqları hesablamağa imkan verir. Arksinus funksiyası triqonometrik funksiyalar arasında müvafiq reduksiya düsturunun istifadəsi səbəbindən arksinun əvəzinə meydana çıxdı (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problem: Təyyarə düz xəttlə kəsişir
İndi yuxarıdakı düsturla necə işləməyi göstərək. Məsələni həll edək: y oxu ilə müstəvi arasındakı bucağı hesablamaq lazımdır:
y - z + 12=0
Bu təyyarə şəkildə göstərilib.
Siz onun y və z oxlarını müvafiq olaraq (0; -12; 0) və (0; 0; 12) nöqtələrində kəsdiyini və x oxuna paralel olduğunu görə bilərsiniz.
y xəttinin istiqamət vektorunun koordinatları var (0; 1; 0). Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan vektor koordinatlarla (0; 1; -1) xarakterizə olunur. Düz xəttin və müstəvinin kəsişmə bucağı üçün düstur tətbiq edirik, alırıq:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problem: təyyarəyə paralel düz xətt
İndi qərar verəksualı fərqli qoyulan əvvəlki problemə bənzər. Təyyarənin və düz xəttin tənlikləri məlumdur:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Bu həndəsi cisimlərin bir-birinə paralel olub olmadığını öyrənmək lazımdır.
İki vektorumuz var: düz xəttin istiqaməti (0; 2; 2) və təyyarənin istiqaməti (1; 1; -1). Onların nöqtə məhsulunu tapın:
01 + 12 - 12=0
Nəticədə sıfır bu vektorlar arasındakı bucağın 90o olduğunu göstərir ki, bu da xəttin və müstəvinin paralel olduğunu sübut edir.
İndi isə bu xəttin yalnız paralel olub olmadığını yoxlayaq, yoxsa müstəvidə də yerləşir. Bunu etmək üçün xəttdə ixtiyari bir nöqtə seçin və onun təyyarəyə aid olub olmadığını yoxlayın. Məsələn, λ=0 götürək, onda P(1; 0; 0) nöqtəsi xəttə aiddir. P müstəvisinin tənliyinə əvəz edin:
1 - 3=-2 ≠ 0
P nöqtəsi müstəviyə aid deyil, bu o deməkdir ki, bütün xətt də onun içində deyil.
Nəzərdən alınan həndəsi obyektlər arasındakı bucaqları bilmək harada vacibdir?
Yuxarıda göstərilən düsturlar və problemin həlli nümunələri təkcə nəzəri maraq doğurmur. Onlar tez-tez prizmalar və ya piramidalar kimi real üçölçülü fiqurların mühüm fiziki kəmiyyətlərini təyin etmək üçün istifadə olunur. Fiqurların həcmlərini və onların səthlərinin sahələrini hesablayarkən təyyarələr arasındakı bucağı müəyyən edə bilmək vacibdir. Üstəlik, düz prizma vəziyyətində müəyyən etmək üçün bu düsturlardan istifadə etməmək mümkün olarsamüəyyən edilmiş dəyərlər varsa, o zaman istənilən piramida növü üçün onların istifadəsi qaçılmazdır.
Aşağıda kvadrat əsaslı piramidanın bucaqlarını təyin etmək üçün yuxarıdakı nəzəriyyədən istifadə nümunəsini nəzərdən keçirin.
Piramida və onun küncləri
Aşağıdakı şəkildə piramida göstərilir, onun əsasında tərəfi a olan kvadrat yerləşir. Şəklin hündürlüyü h-dir. İki künc tapmaq lazımdır:
- yan səthlə əsas arasında;
- yan qabırğa ilə baza arasında.
Problemi həll etmək üçün əvvəlcə koordinat sisteminə daxil olmalı və müvafiq təpələrin parametrlərini təyin etməlisiniz. Şəkildə göstərilir ki, koordinatların başlanğıcı kvadrat əsasın mərkəzindəki nöqtə ilə üst-üstə düşür. Bu halda, əsas müstəvi tənliklə təsvir edilir:
z=0
Yəni istənilən x və y üçün üçüncü koordinatın qiyməti həmişə sıfırdır. ABC yan müstəvisi z oxunu B(0; 0; h) nöqtəsində, y oxunu isə (0; a/2; 0) koordinatları olan nöqtədə kəsir. O, x oxunu keçmir. Bu o deməkdir ki, ABC müstəvisinin tənliyi belə yazıla bilər:
y / (a / 2) + z / h=1 və ya
2hy + az - ah=0
Vektor AB¯ yan kənardır. Onun başlanğıc və son koordinatları aşağıdakılardır: A(a/2; a/2; 0) və B(0; 0; h). Sonra vektorun özünün koordinatları:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Biz bütün lazımi tənlikləri və vektorları tapdıq. İndi nəzərdən keçirilən düsturlardan istifadə etmək qalır.
Əvvəlcə piramidada təməl müstəviləri arasındakı bucağı hesablayırıqvə yan. Müvafiq normal vektorlar bunlardır: n1¯(0; 0; 1) və n2¯(0; 2h; a). Sonra bucaq belə olacaq:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Müstəvi ilə AB kənarı arasındakı bucaq:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Tələb olunan bucaqları əldə etmək üçün əsasın a tərəfinin və h hündürlüyünün xüsusi dəyərlərini əvəz etmək qalır.