Kosinus törəməsi necə alınır

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 05:16

Kosinusun törəməsi sinusun törəməsi ilə analogiya yolu ilə tapılır, sübutun əsasını funksiyanın həddinin təyini təşkil edir. Bucaqların kosinusu və sinusu üçün triqonometrik azalma düsturlarından istifadə edərək başqa üsuldan istifadə edə bilərsiniz. Bir funksiyanı digər funksiya ilə ifadə edin - kosinusu sinus baxımından ifadə edin və sinusu mürəkkəb arqumentlə fərqləndirin.

(Cos(x))' düsturu əldə etməyin ilk nümunəsini nəzərdən keçirin

Y=Cos(x) funksiyasının x arqumentinə əhəmiyyətsiz dərəcədə kiçik artım Δx verin. х+Δх arqumentinin yeni qiyməti ilə Cos(х+Δх) funksiyasının yeni qiymətini alırıq. Onda Δy funksiya artımı Cos(х+Δx)-Cos(x) bərabər olacaq.

Funksiya artımının Δх nisbəti belə olacaq: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Əldə edilən kəsrin payında eyni çevrilmələr aparaq. Bucaqların kosinuslarındakı fərq üçün düsturu xatırlayın, nəticədə -2Sin (Δx / 2) dəfə Sin (x + Δx / 2) məhsulu olacaq. Δx sıfıra meyl etdiyi üçün bu məhsulun əmsal həddini Δx üzərində tapırıq. Məlumdur ki, birinci(buna gözəl deyilir) həddi lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) 1-ə, -Sin(x+Δx/2) həddi -Sin(x)-ə Δx kimi bərabərdir. sıfıra meyl edir. Nəticəni yazın: (Cos(x))'-nin törəməsi - Sin(x)-ə bərabərdir.

Bəzi insanlar eyni düsturu əldə etməyin ikinci yoluna üstünlük verir

Triqonometriyanın gedişindən məlumdur: Cos(x) Sin(0, 5 ∏-x), eynilə Sin(x) də Cos(0, 5 ∏-x) ilə bərabərdir. Sonra mürəkkəb funksiyanı - əlavə bucağın sinusunu (x kosinusunun əvəzinə) diferensial edirik.

Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' hasilini alırıq, çünki sinus x-in törəməsi X kosinusuna bərabərdir. (0,5 ∏-x)'=-1 olduğunu nəzərə alaraq, kosinusu sinusla əvəz etməyin Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) ikinci düsturuna müraciət edirik. İndi biz -Sin(x). Beləliklə, kosinusun törəməsi tapılır, y=Cos(x) funksiyası üçün y'=-Sin(x).

Kvadrat kosinus törəməsi

Kosinus törəməsinin istifadə edildiyi geniş istifadə olunan nümunə. y=Cos²(x) funksiyası çətindir. Əvvəlcə 2-ci göstərici ilə güc funksiyasının diferensialını tapırıq, o, 2·Cos(x) olacaq, sonra onu -Sin(x)-ə bərabər olan törəmə (Cos(x))' ilə vururuq. y'=-2 Cos(x) Sin(x) alırıq. Qoşa bucağın sinusu olan Sin(2x) düsturunu tətbiq etdikdə yekun sadələşdirilmişcavab y'=-Sin(2x) alırıq.

Hiperbolik funksiyalar

Onlardan bir çox texniki fənlərin öyrənilməsində istifadə olunur: riyaziyyatda, məsələn, inteqralların hesablanmasını, diferensial tənliklərin həllini asanlaşdırır. Onlar xəyali ilə triqonometrik funksiyalar baxımından ifadə edilirarqument, beləliklə, hiperbolik kosinus ch(x)=Cos(i x), burada i xəyali vahiddir, hiperbolik sinus sh(x)=Sin(i x).

Hiperbolik kosinusun törəməsi olduqca sadə hesablanır.

Y=funksiyasını nəzərdən keçirin (e^x+e^-x) /2, bu və hiperbolik kosinus ch(x). İki ifadənin cəminin törəməsinin tapılması qaydasından, törəmənin işarəsindən sabit əmsalın (Const) çıxarılması qaydasından istifadə edirik. İkinci termin 0.5 e^-x mürəkkəb funksiyadır (onun törəməsi -0.5 e^-x), 0.5 e^х - birinci dövr. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' yazıla bilər başqa şəkildə: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, çünki törəmə (e - x^{)' bərabərdir -1 dəfə e}-x^{. Nəticə fərqdir və bu hiperbolik sinus sh(x).}Çıxış: (ch(x))'=sh(x).

Gəlin necə ediləcəyinə dair bir nümunəyə baxaq. y=ch(x

3^{+1) funksiyasının törəməsini hesablayın.}Kosinusun hiperbolik diferensiallaşdırılması qaydasına əsasən y'=sh(x

arqumenti ilə 3^{+1) (x} 3^{+1)', burada (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Cavab: bu funksiyanın törəməsi 3 x

2^sh(x3^+1).

Nəzərdən keçirilən funksiyaların cədvəl törəmələri y=ch(x) və y=Cos(x)

Nümunələri həll edərkən hər dəfə onları təklif olunan sxemə görə fərqləndirməyə ehtiyac yoxdur, nəticədən istifadə etmək kifayətdir.

Nümunə. y=funksiyasını diferensiallayınCos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Hesablamaq asan (cədvəl məlumatından istifadə edin), y'=-Sin(x) +Günah(2 x)-5 Ş(5 x).