Aksiomatik metod artıq qurulmuş elmi nəzəriyyələrin qurulması üsuludur. Sübut və təkzib tələb etməyən arqumentlərə, faktlara, ifadələrə əsaslanır. Əslində, biliyin bu versiyası deduktiv struktur şəklində təqdim olunur ki, bu da ilkin olaraq əsaslardan - aksiomalardan məzmunun məntiqi əsaslandırılmasını ehtiva edir.
Bu üsul kəşf ola bilməz, ancaq təsnifat anlayışıdır. Tədris üçün daha uyğundur. Əsas ilkin müddəaları ehtiva edir, qalan məlumatlar isə məntiqi nəticə kimi gəlir. Nəzəriyyə qurmağın aksiomatik üsulu haradadır? O, ən müasir və köklü elmlərin əsasını təşkil edir.
Aksiomatik üsul anlayışının formalaşması və inkişafı, sözünün tərifi
İlk növbədə, bu konsepsiya Qədim Yunanıstanda Evklidin sayəsində yaranıb. O, həndəsədə aksiomatik metodun banisi oldu. Bu gün bütün elmlərdə geniş yayılmışdır, lakin ən çox riyaziyyatdadır. Bu üsul müəyyən edilmiş ifadələr əsasında formalaşır və sonrakı nəzəriyyələr məntiqi konstruksiya ilə əldə edilir.
Bu belə izah olunur: elə sözlər və anlayışlar var kidigər şərtlərlə müəyyən edilir. Nəticədə tədqiqatçılar belə qənaətə gəliblər ki, əsaslandırılmış və sabit olan elementar nəticələr var - əsas, yəni aksiomlar. Məsələn, teoremi sübut edən zaman onlar adətən artıq sübut olunmuş və təkzib tələb etməyən faktlara istinad edirlər.
Lakin bundan əvvəl onların əsaslandırılması lazım idi. Prosesdə belə çıxır ki, əsassız ifadə aksioma kimi götürülür. Sabit anlayışlar toplusuna əsaslanaraq, digər teoremlər sübut edilir. Onlar planimetriyanın əsasını təşkil edir və həndəsənin məntiqi strukturudur. Bu elmdə müəyyən edilmiş aksiomalar istənilən təbiətli obyektlər kimi müəyyən edilir. Onlar, öz növbəsində, daimi anlayışlarda müəyyən edilmiş xüsusiyyətlərə malikdirlər.
Aksiomların əlavə tədqiqi
Metod XIX əsrə qədər ideal hesab olunurdu. Əsas anlayışların axtarışının məntiqi vasitələri hələ o dövrlərdə öyrənilməmişdir, lakin Evklid sistemində aksiomatik üsuldan mənalı nəticələrin alınması strukturunu müşahidə etmək olar. Alimin tədqiqatı sırf deduktiv yola əsaslanan həndəsi biliklərin tam sistemini necə əldə etmək ideyasını göstərdi. Onlara açıq-aşkar doğru olan nisbətən az sayda təsdiq edilmiş aksioma təklif edildi.
Qədim Yunan ağıllarının ləyaqəti
Evklid bir çox anlayışları sübut etdi və onlardan bəziləri əsaslandırıldı. Lakin əksəriyyət bu xidmətləri Pifaqora, Demokritə və Hippokrata aid edir. Sonuncu tam həndəsə kursunu tərtib etdi. Düzdür, sonradan İsgəndəriyyədə çıxdımüəllifi Evklid olan "Başlanğıc" toplusu. Sonra adı dəyişdirilərək "Elementar Həndəsə" adlandırıldı. Bir müddət sonra onu bəzi səbəblərə görə tənqid etməyə başladılar:
- bütün dəyərlər yalnız xətkeş və kompasla qurulmuşdur;
- həndəsə və arifmetika ayrılmış və etibarlı ədədlər və anlayışlarla sübut edilmişdir;
- aksiomların, onlardan bəzilərinin, xüsusən də beşinci postulatın ümumi siyahıdan silinməsi təklif edildi.
Nəticədə qeyri-Evklid həndəsəsi 19-cu əsrdə peyda olur, burada heç bir obyektiv doğru postulat yoxdur. Bu hərəkət həndəsi sistemin gələcək inkişafına təkan verdi. Beləliklə, riyazi tədqiqatçılar deduktiv qurma üsullarına gəldilər.
Aksiomlara əsaslanan riyazi biliklərin inkişafı
Yeni həndəsə sistemi inkişaf etməyə başlayanda aksiomatik üsul da dəyişdi. Riyaziyyatda onlar daha tez-tez sırf deduktiv nəzəriyyə konstruksiyasına müraciət etməyə başladılar. Nəticədə bütün elmin əsas bölməsi olan müasir ədədi məntiqdə bütöv bir sübutlar sistemi yaranmışdır. Riyazi quruluşda əsaslandırma ehtiyacını anlamağa başladı.
Beləliklə, əsrin sonlarında mürəkkəb teoremdən ən sadə məntiqi ifadəyə endirilən aydın tapşırıqlar və mürəkkəb anlayışların qurulması formalaşdı. Beləliklə, qeyri-Evklid həndəsəsi aksiomatik metodun sonrakı mövcudluğu, eləcə də ümumi xarakterli məsələlərin həlli üçün möhkəm zəmin yaratdı.riyazi konstruksiyalar:
- ardıcıllıq;
- dolğunluq;
- müstəqillik.
Prosesdə təfsir metodu yarandı və uğurla inkişaf etdirildi. Bu üsul aşağıdakı kimi təsvir edilmişdir: nəzəriyyədə hər bir çıxış konsepsiyası üçün məcmusuna sahə adlanan riyazi obyekt qoyulur. Göstərilən elementlər haqqında bəyanat yalan və ya doğru ola bilər. Nəticədə, nəticələrdən asılı olaraq ifadələr adlandırılır.
Tərcümə nəzəriyyəsinin xüsusiyyətləri
Bir qayda olaraq riyazi sistemdə sahə və xassələrə də baxılır və o, öz növbəsində aksiomatik ola bilər. Təfsir nisbi ardıcıllığın mövcud olduğu ifadələri sübut edir. Əlavə seçim nəzəriyyənin ziddiyyətli olduğu bir sıra faktlardır.
Əslində şərt bəzi hallarda yerinə yetirilir. Nəticədə məlum olur ki, ifadələrdən birinin ifadələrində iki yanlış və ya doğru anlayış varsa, o, mənfi və ya müsbət hesab olunur. Bu üsul Evklidin həndəsəsinin ardıcıllığını sübut etmək üçün istifadə edilmişdir. Təfsir metodundan istifadə edərək, aksiomlar sistemlərinin müstəqilliyi məsələsini həll etmək olar. Əgər hər hansı bir nəzəriyyəni təkzib etmək lazımdırsa, o zaman anlayışlardan birinin digərindən törəmədiyini və səhv olduğunu sübut etmək kifayətdir.
Lakin, uğurlu ifadələrlə yanaşı, metodun zəif tərəfləri də var. Aksiomlar sistemlərinin ardıcıllığı və müstəqilliyi nisbi nəticələr əldə edən suallar kimi həll edilir. Təfsirdə yeganə mühüm nailiyyətdirardıcıllıq məsələsinin bir sıra digər elmlərə endirildiyi bir struktur kimi arifmetikanın rolunun kəşfi.
Aksiomatik riyaziyyatın müasir inkişafı
Aksiomatik üsul Gilbertin işində inkişaf etməyə başladı. Onun məktəbində nəzəriyyə və formal sistem anlayışının özü aydınlaşdırıldı. Nəticədə ümumi sistem yarandı və riyazi obyektlər dəqiqləşdi. Bundan əlavə, əsaslandırma məsələlərini həll etmək mümkün oldu. Beləliklə, formal sistem düstur və teoremlərin alt sistemlərini ehtiva edən dəqiq bir sinif tərəfindən qurulur.
Bu strukturu qurmaq üçün yalnız texniki rahatlığı rəhbər tutmaq lazımdır, çünki onların semantik yükü yoxdur. Onlar işarələrlə, simvollarla yazıla bilər. Yəni əslində sistemin özü elə qurulub ki, formal nəzəriyyə adekvat və tam şəkildə tətbiq oluna bilsin.
Nəticədə konkret riyazi məqsəd və ya tapşırıq faktiki məzmuna və ya deduktiv əsaslandırmaya əsaslanan nəzəriyyəyə tökülür. Rəqəm elminin dili formal sistemə keçir, prosesdə istənilən konkret və mənalı ifadə formula ilə müəyyən edilir.
Formallaşdırma metodu
Əşyaların təbii vəziyyətində belə bir üsul ardıcıllıq kimi qlobal məsələləri həll edə, eləcə də əldə edilmiş düsturlara əsasən riyazi nəzəriyyələrin müsbət mahiyyətini qura biləcək. Və əsasən bütün bunlar sübut edilmiş ifadələrə əsaslanan formal sistemlə həll olunacaq. Riyazi nəzəriyyələr daim əsaslandırmalarla mürəkkəbləşirdi vəGilbert bu strukturu sonlu metodlardan istifadə edərək tədqiq etməyi təklif etdi. Lakin bu proqram uğursuz oldu. Artıq 20-ci əsrdə Gödelin nəticələri aşağıdakı nəticələrə gətirib çıxardı:
- təbii ardıcıllıq qeyri-mümkündür, çünki bu sistemdən rəsmiləşdirilmiş hesab və ya digər oxşar elmlər natamam olacaq;
- həll olunmayan düsturlar ortaya çıxdı;
- iddialar sübut olunmur.
Əsl mühakimələr və ağlabatan sonlu bitirmə rəsmiləşdirilə bilən hesab olunur. Bunu nəzərə alaraq, aksiomatik metodun bu nəzəriyyə daxilində müəyyən və aydın sərhədləri və imkanları var.
Riyaziyyatçıların əsərlərində aksiomaların inkişafının nəticələri
Bəzi mühakimələrin təkzib edilməsinə və düzgün işlənməməsinə baxmayaraq, daimi anlayışlar üsulu riyaziyyatın əsaslarının formalaşmasında mühüm rol oynayır. Bundan əlavə, elmdə təfsir və aksiomatik metod çox nəzəriyyədə ardıcıllığın, seçim müddəalarının və fərziyyələrin müstəqilliyinin fundamental nəticələrini ortaya qoydu.
Ardıcıllıq məsələsini həll edərkən əsas odur ki, təkcə müəyyən edilmiş anlayışları tətbiq etmək deyil. Onlar həmçinin ideyalar, konsepsiyalar və sonlu bitirmə vasitələri ilə tamamlanmalıdır. Bu zaman məntiqi məna və əsaslandırma nəzərə alınmalı olan müxtəlif baxışlar, metodlar, nəzəriyyələr nəzərdən keçirilir.
Formal sistemin ardıcıllığı induksiya, sayma, transfinit ədədə əsaslanan hesabın oxşar tamamlanmasını göstərir. Elmi sahədə aksiomatizasiya ən mühümdürəsas götürülən təkzibedilməz konsepsiyaları və ifadələri olan alətdir.
İlkin ifadələrin mahiyyəti və onların nəzəriyyələrdə rolu
Aksiomatik metodun qiymətləndirilməsi onu göstərir ki, onun mahiyyətində hansısa struktur var. Bu sistem əsas konsepsiyanın və qeyri-müəyyən fundamental ifadələrin müəyyən edilməsi əsasında qurulur. Eyni şey orijinal hesab edilən və sübut olmadan qəbul edilən teoremlərlə də baş verir. Təbiət elmlərində bu cür ifadələr qaydalar, fərziyyələr, qanunlarla dəstəklənir.
Sonra qurulmuş əsaslandırma əsaslarının təsbit edilməsi prosesi baş verir. Bir qayda olaraq, dərhal göstərilir ki, bir mövqedən başqa bir nəticə çıxarılır və prosesdə qalanlar çıxır ki, bu da mahiyyət etibarilə deduktiv üsulla üst-üstə düşür.
Müasir dövrdə sistemin xüsusiyyətləri
Aksiomatik sistemə daxildir:
- məntiqi nəticələr;
- terminlər və təriflər;
- qismən yanlış ifadələr və anlayışlar.
Müasir elmdə bu üsul mücərrədliyini itirmişdir. Evklid həndəsi aksiomatizasiyası intuitiv və doğru təkliflərə əsaslanırdı. Və nəzəriyyə özünəməxsus, təbii şəkildə şərh edildi. Bu gün aksiom özü-özlüyündə aşkar olan müddəadır və razılaşma və istənilən razılaşma əsaslandırma tələb etməyən ilkin anlayış kimi çıxış edə bilər. Nəticədə, orijinal dəyərlər təsviridən uzaq ola bilər. Bu üsul yaradıcılıq, münasibətlər və əsas nəzəriyyə haqqında bilik tələb edir.
Nəticələrin çıxarılmasının əsas prinsipləri
Deduktiv aksiomatik metod müəyyən sxem üzrə qurulmuş, düzgün reallaşdırılmış fərziyyələrə əsaslanan, empirik faktlar haqqında müddəalar çıxaran elmi bilikdir. Belə bir nəticə məntiqi strukturlar əsasında, sərt törəmə yolu ilə qurulur. Aksiomalar başlanğıcda sübut tələb etməyən təkzibedilməz ifadələrdir.
Çıxarma zamanı ilkin anlayışlara müəyyən tələblər tətbiq edilir: ardıcıllıq, tamlıq, müstəqillik. Təcrübə göstərir ki, birinci şərt formal məntiqi biliyə əsaslanır. Yəni nəzəriyyədə həqiqət və yalan mənaları olmamalıdır, çünki o, artıq məna və dəyərə malik olmayacaq.
Əgər bu şərt yerinə yetirilməzsə, o zaman uyğunsuz sayılır və onda hər hansı məna itib gedir, çünki həqiqətlə batil arasındakı semantik yük itirilir. Deduktiv olaraq aksiomatik metod elmi biliyin qurulması və əsaslandırılması üsuludur.
Metodun praktik tətbiqi
Elmi biliyin qurulmasının aksiomatik metodunun praktiki tətbiqi var. Əslində, bu yol riyaziyyata təsir edir və qlobal əhəmiyyət kəsb edir, baxmayaraq ki, bu bilik artıq öz zirvəsinə çatıb. Aksiomatik metodun nümunələri aşağıdakılardır:
- affin təyyarələrinin üç ifadəsi və tərifi var;
- ekvivalentlik nəzəriyyəsinin üç sübutu var;
- ikili münasibətlər təriflər, anlayışlar və əlavə tapşırıqlar sisteminə bölünür.
Əgər orijinal mənanı formalaşdırmaq istəyirsinizsə, çoxluqların və elementlərin təbiətini bilməlisiniz. Mahiyyət etibarı ilə aksiomatik metod müxtəlif elm sahələrinin əsasını təşkil edirdi.
