Bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri orta məktəb cəbrində tədris olunan mövzulardan biridir. Çətinlik baxımından ən çətin deyil, çünki sadə qaydalara malikdir (onlar haqqında bir az sonra). Bir qayda olaraq, məktəblilər bərabərsizlik sistemlərinin həllini çox asanlıqla öyrənirlər. Bu həm də ondan irəli gəlir ki, müəllimlər sadəcə olaraq bu mövzuda öz tələbələrinə “məşq edir”. Və bunu edə bilməzlər, çünki gələcəkdə digər riyazi kəmiyyətlərin istifadəsi ilə öyrənilir, həmçinin OGE və Vahid Dövlət İmtahanı üçün yoxlanılır. Məktəb dərsliklərində bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri mövzusu çox təfərrüatlı şəkildə əhatə olunur, ona görə də onu öyrənəcəksinizsə, onlara müraciət etmək daha yaxşıdır. Bu məqalə yalnız bir çox materialın ifadəsidir və bəzi çatışmazlıqlar ola bilər.
Bərabərsizliklər sistemi konsepsiyası
Elmi dilə müraciət etsək, “sistem” anlayışını müəyyən edə bilərikbərabərsizliklər". Bu, bir neçə bərabərsizliyi təmsil edən elə bir riyazi modeldir. Təbii ki, bu model həll tələb edir və bu, tapşırığın içində təklif olunan sistemin bütün bərabərsizlikləri üçün ümumi cavab olacaq (adətən belə yazılır, çünki misal: "4 x + 1 > 2 və 30 - x > 6… bərabərsizliklər sistemini həll edin").
Bərabərsizliklər və tənliklər sistemləri
Yeni mövzunun öyrənilməsi prosesində tez-tez anlaşılmazlıqlar yaranır. Bir tərəfdən hər şey aydındır və mən daha çox tapşırıqların həllinə başlamaq istərdim, amma digər tərəfdən bəzi məqamlar “kölgədə” qalır, yaxşı başa düşülmür. Həmçinin, artıq əldə edilmiş biliklərin bəzi elementləri yeniləri ilə iç-içə ola bilər. Çox vaxt səhvlər bu üst-üstə düşmə nəticəsində baş verir.
Ona görə də mövzumuzun təhlilinə keçməzdən əvvəl tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı fərqləri, onların sistemlərini xatırlatmalıyıq. Bunun üçün bu riyazi anlayışların nə olduğunu bir daha aydınlaşdırmaq lazımdır. Tənlik həmişə bərabərlikdir və həmişə nəyəsə bərabərdir (riyaziyyatda bu söz “= işarəsi ilə işarələnir). Bərabərsizlik, bir dəyərin digərindən böyük və ya kiçik olduğu və ya onların eyni olmadığı iddiasını ehtiva edən bir modeldir. Beləliklə, birinci halda bərabərlikdən danışmaq yerinə düşər, ikincidə isə nə qədər açıq-aydın səslənsə də.adın özü, ilkin məlumatların bərabərsizliyi haqqında. Tənliklər və bərabərsizliklər sistemləri praktiki olaraq bir-birindən fərqlənmir və onların həlli üsulları eynidir. Yeganə fərq ondadır ki, birincisi bərabərliklərdən, ikincisi isə bərabərsizliklərdən istifadə edir.
Bərabərsizlik növləri
İki növ bərabərsizlik var: ədədi və naməlum dəyişənli. Birinci növə bir-birinə bərabər olmayan qiymətlər (rəqəmlər) verilir, məsələn, 8 > 10. İkinci növ naməlum dəyişəni ehtiva edən bərabərsizliklərdir (latın əlifbasının bəzi hərfi ilə, əksər hallarda X ilə göstərilir). Bu dəyişəni tapmaq lazımdır. Onların sayından asılı olaraq, riyazi model bir ilə bərabərsizlikləri (bir dəyişənli bərabərsizliklər sistemini təşkil edir) və ya bir neçə dəyişənli (bir neçə dəyişəni olan bərabərsizliklər sistemini təşkil edirlər) ayırır.
Son iki növ konstruksiya dərəcəsinə və həllin mürəkkəblik səviyyəsinə görə sadə və mürəkkəbə bölünür. Sadə olanlara xətti bərabərsizliklər də deyilir. Onlar da öz növbəsində sərt və qeyri-ciddi bölünürlər. Bir dəyərin ya az, ya da daha çox olması lazım olduğunu ciddi şəkildə "deyin", buna görə də bu təmiz bərabərsizlikdir. Bir neçə misal var: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 və s. Qeyri-ciddi olanlara bərabərlik də daxildir. Yəni bir qiymət digər qiymətdən böyük və ya ona bərabər ola bilər ("≧" işarəsi) və ya digər qiymətdən kiçik və ya bərabər ola bilər ("≦" işarəsi). Hələ də sıradaBərabərsizliklərdə dəyişən kökdə, kvadratda dayanmır, heç nəyə bölünmür, ona görə də onlara “sadə” deyilir. Mürəkkəb olanlara naməlum dəyişənlər daxildir, onların tapılması daha çox riyazi əməliyyatlar tələb edir. Onlar tez-tez kvadrat, kub və ya kök altında olurlar, modul, loqarifmik, kəsr və s. ola bilər. Amma bizim vəzifəmiz bərabərsizliklər sistemlərinin həllini başa düşmək olduğundan, xətti bərabərsizliklər sistemindən danışacağıq. Ancaq bundan əvvəl onların xüsusiyyətləri haqqında bir neçə söz söyləmək lazımdır.
Bərabərsizliklərin xassələri
Bərabərsizliklərin xüsusiyyətlərinə aşağıdakı müddəalar daxildir:
- Tərəflərin ardıcıllığını dəyişdirmək əməliyyatı tətbiq edilərsə, bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir (məsələn, əgər t1 ≦ t2, sonra t 2 ≧ t1).
- Bərabərsizliyin hər iki hissəsi sizə eyni ədədi özünüzə əlavə etməyə imkan verir (məsələn, əgər t1 ≦ t2, sonra t 1 + rəqəm ≦ t2 + rəqəm).
- Eyni istiqamət işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik onların sol və sağ hissələrini əlavə etməyə imkan verir (məsələn, əgər t1 ≧ t2 olarsa , t3 ≧ t4, sonra t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Bərabərsizliyin hər iki hissəsi özünü eyni müsbət ədədə vurmağa və ya bölməyə imkan verir (məsələn, əgər t1 ≦ t2və rəqəm ≦ 0, sonra t1 ≧ rəqəm t2).
- Müsbət şərtləri və eyni istiqamətin işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik imkan verirbir-birini çox altmaq (məsələn, əgər t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 sonra t1 t3 ≦ t2 t4).
- Bərabərsizliyin hər iki hissəsi özünü eyni mənfi ədədə vurmağa və ya bölməyə imkan verir, lakin bərabərsizlik işarəsi dəyişir (məsələn, əgər t1 ≦ t2 və rəqəm ≦ 0, sonra t1 ≧ rəqəm t2).
- Bütün bərabərsizliklər keçidlidir (məsələn, əgər t1 ≦ t2 və t2≦ t3, sonra t1 ≦ t3).
İndi bərabərsizliklərlə bağlı nəzəriyyənin əsas müddəalarını öyrəndikdən sonra onların sistemlərinin həlli qaydalarının nəzərdən keçirilməsinə birbaşa keçə bilərik.
Bərabərsizlik sistemlərinin həlli. Ümumi məlumat. Həlllər
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, həll yolu verilmiş sistemin bütün bərabərsizliklərinə uyğun dəyişənin qiymətləridir. Bərabərsizlik sistemlərinin həlli son nəticədə bütün sistemin həllinə gətirib çıxaran və ya onun həlli olmadığını sübut edən riyazi əməliyyatların həyata keçirilməsidir. Bu halda dəyişənin boş say çoxluğuna aid olduğu deyilir (aşağıdakı kimi yazılır: dəyişəni bildirən hərf ∈ (“mənsubdur” işarəsi) ø (“boş çoxluq” işarəsi), məsələn, x ∈ ø (belə oxunur: “X” dəyişəni boş çoxluğa aiddir”). Bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin bir neçə yolu var:qrafiki, cəbri, əvəzetmə üsulu. Qeyd etmək lazımdır ki, onlar bir neçə naməlum dəyişəni olan riyazi modellərə istinad edirlər. Yalnız birinin olduğu halda, boşluq metodu işləyəcək.
Qrafik metod
Bir neçə naməlum (iki və ya daha çox) olan bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Bu üsul sayəsində xətti bərabərsizliklər sistemi kifayət qədər asan və tez həll edilir, ona görə də ən çox yayılmış üsuldur. Bunun səbəbi, planların tərtib edilməsi riyazi əməliyyatların yazılmasının miqdarını azaldır. Qələmdən bir az ara vermək, hökmdarla qələm götürmək və çox iş görüləndə və bir az müxtəliflik istəyəndə onların köməyi ilə sonrakı hərəkətlərə davam etmək xüsusilə xoş olur. Ancaq bəziləri bu üsulu sevmirlər, çünki tapşırıqdan qoparaq zehni fəaliyyətinizi rəsmə keçirməlisiniz. Bununla belə, bu, çox təsirli bir yoldur.
Bərabərsizliklər sistemini qrafik üsulla həll etmək üçün hər bərabərsizliyin bütün üzvlərini onların sol tərəfinə köçürmək lazımdır. İşarələr tərsinə çevriləcək, sağda sıfır yazılmalı, sonra hər bərabərsizlik ayrıca yazılmalıdır. Nəticədə bərabərsizliklərdən funksiyalar alınacaq. Bundan sonra, bir qələm və bir hökmdar əldə edə bilərsiniz: indi əldə edilən hər bir funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır. Onların kəsişmə intervalında olacaq bütün ədədlər dəsti bərabərsizliklər sisteminin həlli olacaq.
Cəbri yol
İki naməlum dəyişəni olan bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Bərabərsizliklər də eyni bərabərsizlik işarəsinə malik olmalıdırlar (yəni onlar ya yalnız “böyük” işarəsini, ya da yalnız “kiçik” işarəsini və s. ehtiva etməlidirlər) Məhdudiyyətlərinə baxmayaraq, bu üsul da daha mürəkkəbdir. O, iki mərhələdə tətbiq edilir.
Birincisi naməlum dəyişənlərdən birindən qurtulmağı nəzərdə tutur. Əvvəlcə onu seçməlisiniz, sonra bu dəyişənin qarşısında nömrələrin olub olmadığını yoxlayın. Heç biri yoxdursa (onda dəyişən tək hərf kimi görünəcək), onda biz heç nəyi dəyişmirik, əgər varsa (dəyişənin növü, məsələn, 5y və ya 12y olacaq), onda əmin olmaq lazımdır. ki, hər bərabərsizlikdə seçilmiş dəyişənin qarşısındakı ədəd eynidir. Bunun üçün bərabərsizliklərin hər bir üzvünü ümumi əmsala vurmaq lazımdır, məsələn, birinci bərabərsizlikdə 3y, ikincidə 5y yazılıbsa, onda birinci bərabərsizliyin bütün üzvlərini 5-ə vurmaq lazımdır., ikincisi isə 3 ilə. Siz müvafiq olaraq 15y və 15y alırsınız.
Qərarın ikinci mərhələsi. Hər bir bərabərsizliyin sol tərəfini hər bir terminin işarəsini əks tərəfə dəyişdirərək sağ tərəflərinə köçürmək lazımdır, sağ tərəfə sıfır yazın. Sonra əyləncəli hissə gəlir: bərabərsizlikləri əlavə edərkən seçilmiş dəyişəndən (başqa bir şəkildə "azalma" kimi tanınır) xilas olmaq. Həll edilməli olan bir dəyişənli bərabərsizlik əldə edəcəksiniz. Bundan sonra, eyni şeyi etməlisiniz, yalnız başqa bir naməlum dəyişən ilə. Əldə edilən nəticələr sistemin həlli olacaq.
Əvəzetmə üsulu
Yeni dəyişən təqdim etmək imkanınız olduqda bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Adətən bu üsul bərabərsizliyin bir üzvündə naməlum dəyişən dördüncü dərəcəyə qaldırıldıqda, digər termində isə kvadratlaşdırıldıqda istifadə olunur. Beləliklə, bu üsul sistemdəki bərabərsizliklərin dərəcəsini az altmağa yönəldilmişdir. Nümunə bərabərsizliyi x4 - x2 - 1 ≦ 0 bu şəkildə aşağıdakı kimi həll edilir. Yeni dəyişən təqdim olunur, məsələn t. Onlar yazırlar: "Let t=x2", sonra model yeni formada yenidən yazılır. Bizim vəziyyətimizdə t2 - t - 1 ≦0 alırıq. Bu bərabərsizliyi interval üsulu ilə həll etmək lazımdır (bu barədə bir az sonra), sonra yenidən X dəyişəninə qayıtmaq, sonra başqa bərabərsizliklə eyni şeyi etmək lazımdır. Alınan cavablar sistemin qərarı olacaq.
İnterval metodu
Bu, bərabərsizliklər sistemlərini həll etməyin ən asan yoludur və eyni zamanda universal və geniş yayılmışdır. Orta məktəbdə, hətta orta məktəbdə də istifadə olunur. Onun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, şagird dəftərdə çəkilmiş say xəttində bərabərsizlik intervallarını axtarır (bu, qrafik deyil, sadəcə ədədlərdən ibarət adi düz xəttdir). Bərabərsizliklərin intervallarının kəsişdiyi yerdə sistemin həlli tapılır. Boşluq metodundan istifadə etmək üçün bu addımları yerinə yetirin:
- Hər bərabərsizliyin bütün üzvləri işarəni əks tərəfə dəyişdirməklə sol tərəfə köçürülür (sağda sıfır yazılır).
- Bərabərsizliklər ayrıca yazılır, onların hər birinin həlli müəyyən edilir.
- Rəqəmdəki bərabərsizliklərin kəsişmə nöqtələridüz. Bu kəsişmələrdəki bütün nömrələr həll yolu olacaq.
Hansı üsuldan istifadə etməli?
Aydındır ki, ən asan və ən rahat görünən, lakin tapşırıqların müəyyən üsul tələb etdiyi vaxtlar olur. Çox vaxt deyirlər ki, ya qrafikdən istifadə etməklə, ya da interval metodundan istifadə etməklə həll etmək lazımdır. Cəbri üsul və əvəzetmə çox nadir hallarda istifadə olunur və ya ümumiyyətlə istifadə edilmir, çünki onlar olduqca mürəkkəb və çaşdırıcıdır və bundan əlavə, onlar bərabərsizliklərdən daha çox tənlik sistemlərinin həlli üçün daha çox istifadə olunur, buna görə də qrafiklər və intervallar çəkməyə müraciət etməlisiniz. Onlar riyazi əməliyyatların səmərəli və sürətli aparılmasına kömək edən görünmə qabiliyyətini gətirir.
Bir şey işləmirsə
Cəbrdə müəyyən mövzunun öyrənilməsi zamanı təbii ki, onun dərk edilməsində problemlər yarana bilər. Bu da normaldır, çünki beynimiz elə qurulub ki, mürəkkəb materialı bir anda dərk edə bilməyəcək. Tez-tez bir paraqrafı yenidən oxumaq, müəllimdən kömək almaq və ya tipik problemləri həll etmək üçün məşq etmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə, məsələn, belə görünürlər: "3 x + 1 ≧ 0 və 2 x - 1 > 3 bərabərsizliklər sistemini həll edin". Beləliklə, şəxsi səy, kənardan kömək və təcrübə istənilən mürəkkəb mövzunu başa düşməyə kömək edir.
Reshebnik?
Və həll kitabı da çox yaxşıdır, lakin ev tapşırığını aldatmaq üçün deyil, özünə kömək etmək üçün. Onlarda həlli olan bərabərsizliklər sistemlərini tapa bilərsiniz, baxınonları (şablonlar kimi), həll müəllifinin tapşırığın öhdəsindən necə gəldiyini dəqiq anlamağa çalışın və sonra bunu öz başına etməyə çalışın.
Nəticələr
Cəbr məktəbdə ən çətin fənlərdən biridir. Yaxşı, nə edə bilərsən? Riyaziyyat həmişə belə olub: bəziləri üçün asan gəlir, bəziləri üçün isə çətindir. Amma hər halda yadda saxlamaq lazımdır ki, ümumi təhsil proqramı elə qurulub ki, istənilən şagird onun öhdəsindən gələ bilsin. Bundan əlavə, çox sayda köməkçini yadda saxlamaq lazımdır. Onlardan bəziləri yuxarıda qeyd edilmişdir.
