Hətta məktəbdə hər birimiz tənlikləri və şübhəsiz ki, tənliklər sistemlərini öyrənirdik. Ancaq çox adam bilmir ki, onları həll etməyin bir neçə yolu var. Bu gün biz iki bərabərlikdən ibarət xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli üçün bütün üsulları ətraflı təhlil edəcəyik.
Tarix
Bu gün tənliklərin və onların sistemlərinin həlli sənətinin qədim Babil və Misirdə yarandığı məlumdur. Bununla belə, adi formada bərabərliklər 1556-cı ildə ingilis riyaziyyatçısı Rekord tərəfindən təqdim edilən bərabərlik işarəsi “=” göründükdən sonra meydana çıxdı. Yeri gəlmişkən, bu işarə bir səbəbdən seçilmişdir: iki paralel bərabər seqment deməkdir. Həqiqətən, bərabərliyin bundan yaxşı nümunəsi yoxdur.
Naməlumların və dərəcə işarələrinin müasir hərf təyinatının banisi fransız riyaziyyatçısı Fransua Vietdir. Lakin onun təyinatları indikilərdən xeyli fərqlənirdi. Məsələn, naməlum ədədin kvadratını Q (lat. “quadratus”), kubu isə C (lat. “cubus”) hərfi ilə qeyd etmişdir. Bu təyinatlar indi əlverişsiz görünür, amma sonraxətti cəbri tənliklər sistemlərini yazmağın ən başa düşülən yolu idi.
Lakin o vaxtkı həll üsullarının dezavantajı riyaziyyatçıların yalnız müsbət kökləri nəzərə almaları idi. Bəlkə də bu, mənfi dəyərlərin praktik olaraq istifadə edilməməsi ilə əlaqədardır. Bu və ya digər şəkildə, 16-cı əsrdə ilk dəfə mənfi kökləri nəzərdən keçirən italyan riyaziyyatçıları Nikolo Tartaglia, Gerolamo Cardano və Rafael Bombelli idi. Müasir görünüş, kvadrat tənliklərin həlli üçün əsas üsul (diskriminant vasitəsilə) yalnız 17-ci əsrdə Dekart və Nyutonun işi sayəsində yaradılmışdır.
18-ci əsrin ortalarında isveçrəli riyaziyyatçı Qabriel Kramer xətti tənliklər sistemlərinin həllini asanlaşdırmaq üçün yeni üsul tapdı. Bu üsul sonradan onun adını daşıyır və biz bu günə qədər ondan istifadə edirik. Ancaq Kramer metodu haqqında bir az sonra danışacağıq, lakin hələlik xətti tənlikləri və onların sistemdən ayrı həlli üsullarını müzakirə edəcəyik.
Xətti tənliklər
Xətti tənliklər dəyişən(lər) ilə ən sadə bərabərliklərdir. Onlar cəbri kimi təsnif edilir. Xətti tənliklər ümumi formada aşağıdakı kimi yazılır: 2+…a x =b. Sistemləri və matrisləri daha sonra tərtib edərkən onların bu formada təmsil olunmasına ehtiyacımız olacaq.
Xətti cəbri tənliklər sistemləri
Bu terminin tərifi belədir: ümumi bilinməyənlər və ümumi həlli olan tənliklər toplusudur. Bir qayda olaraq, məktəbdə hər şeyi sistemlər həll edirdiiki və ya hətta üç tənlik ilə. Ancaq dörd və ya daha çox komponentdən ibarət sistemlər var. Gəlin əvvəlcə onları necə yazacağımızı anlayaq ki, sonradan həll etmək rahat olsun. Birincisi, bütün dəyişənlər müvafiq indekslə x kimi yazılsa, xətti cəbri tənliklər sistemləri daha yaxşı görünəcəkdir: 1, 2, 3 və s. İkincisi, bütün tənliklər kanonik formaya endirilməlidir: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Bütün bu addımlardan sonra xətti tənliklər sistemlərinin həllini necə tapmaq barədə danışmağa başlaya bilərik. Matrislər bunun üçün çox faydalı olacaq.
Matrisalar
Matrisa sətir və sütunlardan ibarət cədvəldir və onun elementləri onların kəsişməsində yerləşir. Bunlar xüsusi dəyərlər və ya dəyişənlər ola bilər. Çox vaxt elementləri təyin etmək üçün onların altına alt işarələr qoyulur (məsələn, a11 və ya a23). Birinci indeks sətir nömrəsini, ikincisi isə sütun nömrəsini bildirir. Matrislərdə, eləcə də hər hansı digər riyazi elementdə müxtəlif əməliyyatlar yerinə yetirmək olar. Beləliklə, edə bilərsiniz:
1) Eyni ölçülü cədvəlləri çıxarın və əlavə edin.
2) Matrisi hansısa ədədə və ya vektora vurun.
3) Transpoze edin: Matris sətirlərini sütunlara, sütunları isə sıralara çevirin.
4) Əgər onlardan birinin sətirlərinin sayı digərinin sütunlarının sayına bərabərdirsə, matrisləri çox altın.
Bütün bu texnikaları daha ətraflı müzakirə edəcəyik, çünki onlar gələcəkdə bizim üçün faydalı olacaq. Matrisləri çıxarmaq və əlavə etmək çox asandır. Belə kieyni ölçülü matrisləri götürdükdə, bir cədvəlin hər bir elementi digərinin hər bir elementinə uyğun gəlir. Beləliklə, bu iki elementi əlavə edirik (çıxırıq) (matrislərində eyni yerlərdə olmaları vacibdir). Bir matrisi ədədə və ya vektora vurarkən, sadəcə olaraq, matrisin hər bir elementini həmin ədədə (və ya vektora) vurmaq lazımdır. Transpozisiya çox maraqlı bir prosesdir. Bunu real həyatda görmək bəzən çox maraqlıdır, məsələn, planşet və ya telefonun oriyentasiyasını dəyişdirərkən. İş masasındakı nişanlar matrisdir və siz mövqeyi dəyişdiyiniz zaman o, yerini dəyişir və genişlənir, lakin hündürlüyü azalır.
Matrisin vurulması kimi prosesə bir daha nəzər salaq. Bizim üçün faydalı olmasa da, onu bilmək yenə də faydalı olacaq. İki matrisi yalnız bir cədvəldəki sütunların sayı digərindəki sətirlərin sayına bərabər olduqda vura bilərsiniz. İndi bir matrisin sıra elementlərini və digər matrisin müvafiq sütununun elementlərini götürək. Biz onları bir-birinə vururuq və sonra əlavə edirik (məsələn, a11 və a12 ilə b 12və b22 bərabər olacaq: a11b12 + a 12 b22). Beləliklə, cədvəlin bir elementi alınır və o, oxşar üsulla daha da doldurulur.
İndi xətti tənliklər sisteminin necə həll olunduğuna baxa bilərik.
Gauss metodu
Bu mövzu hətta məktəbdə də keçməyə başlayır. Biz “iki xətti tənliklər sistemi” anlayışını yaxşı bilirik və onların həllini bilirik. Bəs tənliklərin sayı ikidən çox olarsa necə? Gauss metodu bu işdə bizə kömək edəcək.
Təbii ki, sistemdən matris düzəltsəniz, bu üsuldan istifadə etmək rahatdır. Lakin siz onu dəyişdirə və ən təmiz formada həll edə bilməzsiniz.
Bəs bu üsul xətti Qauss tənlikləri sistemini necə həll edir? Yeri gəlmişkən, bu üsul onun adını daşısa da, qədim zamanlarda kəşf edilib. Qauss aşağıdakıları təklif edir: bütün dəsti nəhayət pilləli formaya endirmək üçün tənliklərlə əməliyyatlar aparmaq. Yəni, yuxarıdan aşağıya doğru (düzgün yerləşdirilibsə) birinci tənlikdən sonuncuya qədər bir naməlumun azalması lazımdır. Başqa sözlə, əmin olmalıyıq ki, üç tənlik alırıq: birincidə - üç naməlum, ikincidə - iki, üçüncüdə - bir. Sonra sonuncu tənlikdən birinci naməlumu tapırıq, onun dəyərini ikinci və ya birinci tənliklə əvəz edirik və sonra qalan iki dəyişəni tapırıq.
Kramer metodu
Bu üsula yiyələnmək üçün matrisləri toplama, çıxma vərdişlərinə yiyələnmək həyati əhəmiyyət kəsb edir, həmçinin müəyyənediciləri tapmağı bacarmaq lazımdır. Buna görə də, əgər bütün bunları zəif etsəniz və ya ümumiyyətlə necə edəcəyinizi bilmirsinizsə, öyrənib məşq etməli olacaqsınız.
Bu metodun mahiyyəti nədir və onu xətti Kramer tənlikləri sistemi əldə etmək üçün necə etmək olar? Hər şey çox sadədir. Biz xətti cəbri tənliklər sisteminin ədədi (demək olar ki, həmişə) əmsallarından matris qurmalıyıq. Bunu etmək üçün sadəcə olaraq bilinməyənlərin qarşısındakı nömrələri götürün və onları düzünsistemdə qeyd olunduğu ardıcıllıqla cədvəl. Rəqəmdən əvvəl "-" işarəsi varsa, mənfi bir əmsal yazırıq. Beləliklə, biz birinci matrisi bərabər işarələrdən sonrakı ədədləri daxil etmədən naməlumların əmsallarından tərtib etdik (təbii ki, tənlik yalnız sağda olanda, bütün naməlumlar isə kanonik formaya endirilməlidir. əmsallar solda). Sonra daha bir neçə matris yaratmalısınız - hər dəyişən üçün bir. Bunun üçün növbə ilə hər bir sütunu birinci matrisdəki əmsallarla bərabər işarədən sonra ədədlər sütunu ilə əvəz edirik. Beləliklə, biz bir neçə matris əldə edirik və sonra onların təyinedicilərini tapırıq.
Biz müəyyənediciləri tapdıqdan sonra məsələ kiçikdir. Bizim ilkin matrisamız var və müxtəlif dəyişənlərə uyğun gələn bir neçə nəticə matris var. Sistemin həllərini almaq üçün nəticə cədvəlinin determinantını ilkin cədvəlin determinantına bölürük. Nəticədə alınan ədəd dəyişənlərdən birinin qiymətidir. Eynilə, biz bütün naməlumları tapırıq.
Digər üsullar
Xətti tənliklər sistemlərinin həllini əldə etmək üçün daha bir neçə üsul var. Məsələn, kvadrat tənliklər sisteminin həllini tapmaq üçün istifadə olunan və matrislərin istifadəsi ilə də əlaqəli olan Gauss-Jordan metodu adlanır. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli üçün Yakobi üsulu da mövcuddur. Bu, kompüterə uyğunlaşmaq üçün ən asandır və hesablamada istifadə olunur.
Çətin hallar
Mürəkkəblik adətən tənliklərin sayı dəyişənlərin sayından az olduqda baş verir. Onda əminliklə deyə bilərik ki, ya sistem uyğunsuzdur (yəni onun kökləri yoxdur), ya da onun həllərinin sayı sonsuzluğa meyllidir. Əgər ikinci halımız varsa, onda xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini yazmalıyıq. O, ən azı bir dəyişəndən ibarət olacaq.
Nəticə
Budur, sona gəldik. Xülasə etmək üçün: sistemin və matrisin nə olduğunu təhlil etdik, xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini necə tapmağı öyrəndik. Bundan əlavə, digər variantlar da nəzərdən keçirilib. Xətti tənliklər sisteminin necə həll olunduğunu öyrəndik: Gauss metodu və Kramer metodu. Çətin hallar və həll yollarını tapmaq üçün digər yollar haqqında danışdıq.
Əslində bu mövzu daha genişdir və onu daha yaxşı başa düşmək istəyirsinizsə, sizə daha çox ixtisaslaşmış ədəbiyyat oxumağı məsləhət görürük.
