İndiki dünyada biz getdikcə daha çox müxtəlif avtomobil və qadcetlərdən istifadə edirik. Həm də təkcə sözün həqiqi mənasında qeyri-insani güc tətbiq etmək lazım olduqda deyil: yükü hərəkət etdirin, hündürlüyə qaldırın, uzun və dərin xəndək qazın və s. kalkulyatorlar tərəfindən həyata keçirilir. Getdikcə daha çox "Boolean cəbri" ifadəsini eşidirik. Bəlkə də robotların yaradılmasında insanın rolunu və maşınların təkcə riyazi deyil, həm də məntiqi məsələləri həll etmək qabiliyyətini anlamağın vaxtı çatıb.
Məntiq
Yunan dilindən tərcümədə məntiq verilmiş şərtlər arasında əlaqələr yaradan və ilkin və fərziyyələr əsasında nəticə çıxarmağa imkan verən nizamlı düşüncə sistemidir. Çox vaxt bir-birimizdən soruşuruq: "Məntiqlidirmi?" Alınan cavab fərziyyələrimizi təsdiqləyir və ya düşüncə qatarını tənqid edir. Lakin proses dayanmır: biz düşünməyə davam edirik.
Bəzən şərtlərin sayı (giriş) o qədər çox olur və aralarındakı əlaqələr o qədər mürəkkəb və mürəkkəb olur ki, insan beyni hər şeyi bir anda "həzm edə" bilmir. Nə baş verdiyini anlamaq üçün bir aydan (həftə, il) çox vaxt lazım ola bilər. Ammamüasir həyat bizə qərar vermək üçün belə vaxt intervalları vermir. Və biz kompüterlərin köməyinə müraciət edirik. Öz qanunları və xassələri ilə məntiq cəbri də burada meydana çıxır. Bütün ilkin məlumatları endirməklə biz kompüterə bütün əlaqələri tanımağa, ziddiyyətləri aradan qaldırmağa və qənaətbəxş həll yolu tapmağa imkan veririk.
Riyaziyyat və Məntiq
Məşhur Qotfrid Vilhelm Leybniz "riyazi məntiq" anlayışını formalaşdırdı, onun problemləri yalnız dar bir elm adamları dairəsi üçün başa düşüldü. Bu istiqamət xüsusi maraq doğurmadı və 19-cu əsrin ortalarına qədər riyazi məntiq haqqında çox az adam bilirdi.
Elmi ictimaiyyətə böyük maraq ingilis Corc Bulin riyaziyyatın praktiki tətbiqi olmayan bir sahəsi yaratmaq niyyətini açıqladığı mübahisəyə səbəb oldu. Tarixdən xatırladığımız kimi, o dövrdə sənaye istehsalı fəal inkişaf edirdi, bütün növ köməkçi maşınlar və dəzgahlar hazırlanır, yəni bütün elmi kəşflər praktiki istiqamətə malik idi.
İrəli baxsaq, deyək ki, Boolean cəbri müasir dünyada riyaziyyatın ən çox istifadə olunan hissəsidir. Beləliklə, Bull arqumentini itirdi.
George Buhl
Müəllifin şəxsiyyəti xüsusi diqqətə layiqdir. Keçmişdə insanların bizdən əvvəl yetişdiyini nəzərə alsaq belə, hələ də qeyd etməmək mümkün deyil ki, C. Buhl 16 yaşında kənd məktəbində dərs deyir, 20 yaşında isə Linkolnda öz məktəbini açır. Riyaziyyatçı beş xarici dildə sərbəst danışırdı, boş vaxtlarında əsərlər oxuyurduNyuton və Laqranj. Və bütün bunlar sadə bir işçinin oğlu haqqındadır!
1839-cu ildə Boole ilk dəfə elmi məqalələrini Cambridge Mathematical Journal-a təqdim etdi. Alimin 24 yaşı var. Boole'un işi Kral Cəmiyyətinin üzvlərini o qədər maraqlandırdı ki, 1844-cü ildə riyazi analizin inkişafına verdiyi töhfəyə görə medal aldı. Riyazi məntiqin elementlərini təsvir edən daha bir neçə nəşr edilmiş əsər gənc riyaziyyatçıya Cork Kollecində professor vəzifəsini tutmağa imkan verdi. Xatırladaq ki, Bühl özü təhsilə malik deyildi.
İdeya
Prinsipcə, Boolean cəbri çox sadədir. Riyaziyyat baxımından yalnız iki sözlə müəyyən edilə bilən ifadələr (məntiqi ifadələr) var: “doğru” və ya “yanlış”. Məsələn, yazda ağaclar çiçək açır - doğrudur, yayda qar yağır - yalan. Bu riyaziyyatın gözəlliyi ondadır ki, yalnız rəqəmlərdən istifadə etməyə ciddi ehtiyac yoxdur. Birmənalı mənası olan hər hansı ifadələr mühakimə cəbri üçün olduqca uyğundur.
Beləliklə, məntiq cəbrindən hərfi mənada hər yerdə istifadə oluna bilər: təlimatların planlaşdırılması və yazılması, hadisələr haqqında ziddiyyətli məlumatların təhlili və hərəkətlərin ardıcıllığının müəyyən edilməsi. Ən əsası başa düşməkdir ki, ifadənin doğru və ya yalan olduğunu necə müəyyənləşdirdiyimiz tamamilə əhəmiyyətsizdir. Bu "necə" və "niyə" mücərrədləşdirilməlidir. Yalnız faktın ifadəsi vacibdir: doğru-yanlış.
Əlbəttə, proqramlaşdırma üçün məntiq cəbrinin müvafiq funksiyaları tərəfindən yazılan funksiyaları vacibdir.işarələr və simvollar. Onları öyrənmək isə yeni xarici dilə yiyələnmək deməkdir. Heç bir şey mümkün deyil.
Əsas anlayışlar və təriflər
Daha dərinə getmədən terminologiya ilə məşğul olaq. Beləliklə, Boole cəbri belə qəbul edir:
- bəyanatlar;
- məntiqi əməliyyatlar;
- funksiyalar və qanunlar.
İfadələr birmənalı şərh edilə bilməyən hər hansı təsdiqedici ifadələrdir. Onlar rəqəmlər kimi yazılır (5 > 3) və ya tanış sözlərlə ifadə edilir (fil ən böyük məməli heyvandır). Eyni zamanda, "zürafənin boynu yoxdur" ifadəsinin də mövcud olmaq hüququ var, yalnız Boolean cəbri onu "yanlış" olaraq təyin edəcək.
Bütün ifadələr birmənalı olmalıdır, lakin onlar elementar və mürəkkəb ola bilər. Sonuncular məntiqi bağlayıcılardan istifadə edirlər. Yəni mühakimə cəbrində məntiqi əməllər vasitəsilə elementar müddəalar əlavə edilərək mürəkkəb müddəalar əmələ gəlir.
Boolean cəbr əməliyyatları
Biz artıq xatırlayırıq ki, mühakimələr cəbrində əməliyyatlar məntiqlidir. Rəqəm cəbri ədədləri əlavə etmək, çıxmaq və ya müqayisə etmək üçün hesabdan istifadə etdiyi kimi, riyazi məntiqin elementləri də sizə mürəkkəb ifadələr verməyə, inkar etməyə və ya yekun nəticəni hesablamağa imkan verir.
Formallaşdırma və sadəlik üçün məntiqi əməliyyatlar arifmetikada bizə tanış olan düsturlarla yazılır. Boolean cəbrinin xassələri tənlikləri yazmağa və naməlumları hesablamağa imkan verir. Məntiqi əməliyyatlar adətən həqiqət cədvəlindən istifadə etməklə yazılır. Onun sütunlarıhesablamanın elementlərini və onlar üzərində yerinə yetirilən əməliyyatı müəyyən edin və sətirlər hesablamanın nəticəsini göstərir.
Əsas məntiqi hərəkətlər
Boolean cəbrində ən ümumi əməliyyatlar inkar (NOT) və məntiqi AND və OR əməliyyatlarıdır. Mühakimələr cəbrində demək olar ki, bütün hərəkətləri bu şəkildə təsvir etmək olar. Gəlin üç əməliyyatın hər birini daha ətraflı öyrənək.
İnkar (yox) yalnız bir elementə (operand) aiddir. Buna görə də inkar əməliyyatı unar adlanır. "A deyil" anlayışını yazmaq üçün aşağıdakı simvollardan istifadə edin: ¬A, A¯¯¯ və ya !A. Cədvəl şəklində belə görünür:
İnkar funksiyası aşağıdakı müddəa ilə xarakterizə olunur: əgər A doğrudursa, onda B yalandır. Məsələn, Ay Yer ətrafında fırlanır - doğrudur; Yer ayın ətrafında fırlanır - yalan.
Məntiqi vurma və toplama
Məntiqi AND birləşmə əməliyyatı adlanır. Bunun mənası nədi? Birincisi, o, iki operanda tətbiq oluna bilər, yəni ikili əməliyyatdır. İkincisi, yalnız hər iki operandın (həm A, həm də B) həqiqəti olduğu halda ifadənin özü doğrudur. "Səbr və zəhmət hər şeyi üyüdəcək" atalar sözü insana çətinliklərin öhdəsindən gəlməyə yalnız hər iki amilin kömək edəcəyini göstərir.
Yazmaq üçün istifadə olunan simvollar: A∧B, A⋅B və ya A&&B.
Bağlama arifmetikada vurma əməliyyatına bənzəyir. Bəzən deyirlər ki, məntiqi vurma. Cədvəlin elementlərini sətir-sətir vursaq, məntiqi əsaslandırmaya oxşar nəticə əldə edirik.
Ayrılma məntiqi YA əməliyyatdır. Həqiqətin dəyərini alırmüddəalardan ən azı biri doğru olduqda (ya A, ya da B). Bu belə yazılır: A∨B, A+B və ya A||B. Bu əməliyyatlar üçün həqiqət cədvəlləri bunlardır:
Ayrılma arifmetik toplama kimidir. Məntiqi toplama əməliyyatının yalnız bir məhdudiyyəti var: 1+1=1. Ancaq xatırlayırıq ki, rəqəmsal formatda riyazi məntiq 0 və 1 ilə məhdudlaşır (burada 1 doğrudur, 0 yanlışdır). Məsələn, “muzeydə siz şah əsəri görə bilərsiniz və ya maraqlı həmsöhbətlə tanış ola bilərsiniz” ifadəsi o deməkdir ki, siz sənət əsərlərini görə bilərsiniz və ya maraqlı insanla tanış ola bilərsiniz. Eyni zamanda, hər iki hadisənin eyni vaxtda baş verməsi ehtimalı da istisna edilmir.
Funksiyalar və qanunlar
Beləliklə, biz Boole cəbrinin hansı məntiqi əməliyyatlardan istifadə etdiyini artıq bilirik. Funksiyalar riyazi məntiq elementlərinin bütün xassələrini təsvir edir və məsələlərin mürəkkəb mürəkkəb şərtlərini sadələşdirməyə imkan verir. Ən başa düşülən və sadə xüsusiyyət törəmə əməliyyatların rədd edilməsi kimi görünür. Törəmələr eksklüziv OR, implikasiya və ekvivalentdir. Biz yalnız əsas əməliyyatları öyrəndiyimiz üçün yalnız onların xassələrini də nəzərdən keçirəcəyik.
Assosiativlik o deməkdir ki, "və A, və B və C" kimi ifadələrdə operandların sırasının əhəmiyyəti yoxdur. Düstur belə yazılır:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Gördüyünüz kimi, bu, təkcə birləşmə üçün deyil, həm də disjunksiya üçün xarakterikdir.
Komutativlik nəticənin olduğunu bildirirkonyunksiya və ya disjunksiya hansı elementin ilk nəzərdən keçirildiyindən asılı deyil:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distribütivlik mürəkkəb məntiqi ifadələrdə mötərizələri genişləndirməyə imkan verir. Qaydalar cəbrdə vurma və toplamada mötərizənin açılmasına bənzəyir:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Operandlardan biri ola bilən bir və sıfırın xassələri də cəbri sıfıra və ya birə vurmağa və bir ilə toplamaya bənzəyir:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
İdempotensiyası bizə deyir ki, əgər iki bərabər operandaya münasibətdə əməliyyatın nəticəsi oxşar olarsa, o zaman mülahizələrin gedişatını çətinləşdirən əlavə operandları “tuta” bilərik. Həm birləşmə, həm də disjunksiya idempotent əməliyyatlardır.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorbsiya həmçinin tənlikləri sadələşdirməyə imkan verir. Absorbsiya bildirir ki, eyni elementli başqa əməliyyat bir operandlı ifadəyə tətbiq edildikdə, nəticə udma əməliyyatından operand olur.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Əməliyyatların ardıcıllığı
Əməliyyatların ardıcıllığı heç də az əhəmiyyət kəsb etmir. Əslində, cəbrə gəldikdə, Boolean cəbrinin istifadə etdiyi funksiyaların prioriteti var. Düsturlar yalnız əməliyyatların əhəmiyyəti müşahidə edildikdə sadələşdirilə bilər. Ən əhəmiyyətlidən ən kiçiyə doğru sıralayaraq, aşağıdakı ardıcıllığı əldə edirik:
1. İnkar.
2. Bağlayıcı.
3. Ayrılıq, eksklüzivOR.
4. Təsir, ekvivalentlik.
Gördüyünüz kimi yalnız inkar və bağlayıcı bərabər üstünlüyə malik deyil. Və disjunksiya və XOR prioritetləri, eləcə də implikasiya və ekvivalentlik prioritetləri bərabərdir.
İmplikasiya və ekvivalentlik funksiyaları
Daha əvvəl dediyimiz kimi, əsas məntiqi əməliyyatlarla yanaşı, riyazi məntiq və alqoritmlər nəzəriyyəsi törəmələrdən istifadə edir. Ən çox istifadə edilənlər implikasiya və ekvivalentdir.
Təsir və ya məntiqi nəticə bir hərəkətin şərt, digərinin isə onun həyata keçirilməsinin nəticəsi olduğu ifadədir. Başqa sözlə, bu, "əgər … onda" ön sözləri olan bir cümlədir. "Əgər sürməyi sevirsənsə, xizək sürməyi sev." Yəni xizək sürmək üçün xizəkdən təpəyə qədər bərkitmək lazımdır. Dağdan enmək istəyi yoxdursa, xizək daşımağa ehtiyac yoxdur. Bu belə yazılır: A→B və ya A⇒B.
Ekvivalentlik fərz edir ki, nəticələnən fəaliyyət yalnız hər iki operand doğru olduqda baş verir. Məsələn, günəş üfüqdə yüksəldikdə (və yalnız o zaman) gecə gündüzə çevrilir. Riyazi məntiqin dilində bu ifadə aşağıdakı kimi yazılır: A≡B, A⇔B, A==B.
Boolean cəbrinin digər qanunları
Mühakimə cəbri inkişaf edir və bir çox maraqlanan elm adamları yeni qanunlar tərtib etdilər. Şotlandiyalı riyaziyyatçı O. de Morqanın postulatları ən məşhur hesab olunur. O, yaxın inkar, tamamlama və ikiqat inkar kimi xassələri görüb müəyyən etdi.
Bağlama inkarı o deməkdir ki, mötərizədən əvvəl heç bir inkar yoxdur:deyil (A və ya B)=A deyil və ya DEYİL B.
Operand inkar edildikdə, dəyərindən asılı olmayaraq, tamamlayıcıdan danışılır:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Və nəhayət, ikiqat inkar özünü kompensasiya edir. Bunlar. ya inkar operanddan əvvəl yox olur, ya da yalnız biri qalır.
Testləri necə həll etmək olar
Riyazi məntiq verilmiş tənliklərin sadələşdirilməsini nəzərdə tutur. Cəbrdə olduğu kimi, əvvəlcə şərti mümkün qədər asanlaşdırmalısınız (mürəkkəb daxiletmələrdən və onlarla əməliyyatlardan xilas olmalısan), sonra düzgün cavabı axtarmağa başlamalısınız.
Sadələşdirmək üçün nə etmək olar? Bütün törəmə əməliyyatları sadə olanlara çevirin. Sonra bütün mötərizələri açın (və ya əksinə, bu elementi qıs altmaq üçün onu mötərizələrdən çıxarın). Növbəti addım Boole cəbrinin xassələrini praktikada tətbiq etmək olmalıdır (udma, sıfırın və birin xassələri və s.).
Son nəticədə tənlik sadə əməliyyatlarla birləşdirilmiş naməlumların minimum sayından ibarət olmalıdır. Həll tapmağın ən asan yolu çoxlu sayda yaxın neqativlərə nail olmaqdır. Sonra cavab sanki öz-özünə görünəcək.
