Vektor mühüm həndəsi obyektdir, xassələrinin köməyi ilə müstəvidə və kosmosda bir çox məsələləri həll etmək rahatdır. Bu məqalədə biz onu müəyyənləşdirəcəyik, onun əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin kosmosdakı vektorun təyyarələri təyin etmək üçün necə istifadə oluna biləcəyini göstərəcəyik.
Vektor nədir: ikiölçülü hal
İlk növbədə hansı obyektdən danışdığımızı aydın başa düşmək lazımdır. Həndəsədə istiqamətlənmiş seqment vektor adlanır. Hər hansı bir seqment kimi, o, iki əsas elementlə xarakterizə olunur: başlanğıc və son nöqtələr. Bu nöqtələrin koordinatları vektorun bütün xüsusiyyətlərini unikal şəkildə müəyyən edir.
Gəlin təyyarədəki vektor nümunəsini nəzərdən keçirək. Bunun üçün qarşılıqlı perpendikulyar iki x və y oxu çəkirik. İxtiyari P(x, y) nöqtəsini qeyd edək. Bu nöqtəni mənbəyə (O nöqtəsi) birləşdirsək və sonra P istiqamətini təyin etsək, OP¯ vektorunu alırıq (məqalənin sonrakı hissəsində simvolun üstündəki çubuq vektoru nəzərdən keçirdiyimizi göstərir). Təyyarədə vektor rəsmi aşağıda göstərilib.
Burada başqa AB¯ vektoru da göstərilir və siz onun xüsusiyyətlərinin OP¯ ilə tam eyni olduğunu, lakin koordinat sisteminin fərqli bir hissəsində olduğunu görə bilərsiniz. Paralel tərcümə OP¯ ilə siz eyni xassələrə malik sonsuz sayda vektor əldə edə bilərsiniz.
Kosmosdakı vektor
Bizi əhatə edən bütün real obyektlər üçölçülü fəzadadır. Üçölçülü fiqurların həndəsi xassələrinin öyrənilməsi üçölçülü vektorlar anlayışı ilə işləyən stereometriya ilə məşğul olur. Onlar ikiölçülülərdən yalnız ona görə fərqlənirlər ki, onların təsviri üçüncü perpendikulyar x və y oxu z boyunca ölçülən əlavə koordinat tələb edir.
Aşağıdakı şəkildə kosmosda vektor göstərilir. Hər bir ox boyunca onun ucunun koordinatları rəngli seqmentlərlə göstərilir. Vektorun başlanğıcı hər üç koordinat oxunun kəsişmə nöqtəsində yerləşir, yəni koordinatlara malikdir (0; 0; 0).
Müstəvidəki vektor məkan yönümlü seqmentin xüsusi halı olduğundan, məqalədə yalnız üçölçülü vektoru nəzərdən keçirəcəyik.
Vektor koordinatları başlanğıc və sonunun məlum koordinatlarına əsaslanır
Fərz edək ki, iki nöqtə var P(x1; y1; z1) və Q(x2; y2; z2). PQ¯ vektorunun koordinatlarını necə təyin etmək olar. Əvvəlcə nöqtələrdən hansının vektorun başlanğıcı və hansının sonu olacağını razılaşdırmaq lazımdır. Riyaziyyatda sözügedən obyekti istiqaməti üzrə yazmaq adətdir, yəni P başlanğıcdır, Q- son. İkincisi, PQ¯ vektorunun koordinatları son və başlanğıcın müvafiq koordinatları arasındakı fərq kimi hesablanır, yəni:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Qeyd edək ki, vektorun istiqamətini dəyişdirməklə onun koordinatları işarəni aşağıdakı kimi dəyişəcək:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Bu, PQ¯=-QP¯ deməkdir.
Bir şeyi də başa düşmək vacibdir. Yuxarıda deyildi ki, müstəvidə verilənə bərabər sonsuz sayda vektor var. Bu fakt məkan halı üçün də keçərlidir. Əslində, yuxarıdakı misalda PQ¯-nin koordinatlarını hesablayanda biz bu vektorun paralel tərcüməsi əməliyyatını elə həyata keçirdik ki, mənşəyi ilə üst-üstə düşsün. PQ¯ vektoru mənbədən M nöqtəsinə istiqamətlənmiş seqment kimi çəkilə bilər((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektor xassələri
Hər hansı bir həndəsə obyekti kimi, vektor da problemləri həll etmək üçün istifadə oluna bilən bəzi xas xüsusiyyətlərə malikdir. Gəlin onları qısaca sadalayaq.
Vektor modulu istiqamətlənmiş seqmentin uzunluğudur. Koordinatları bilməklə onu hesablamaq asandır. Yuxarıdakı nümunədəki PQ¯ vektoru üçün modul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektor modulu aktivdirmüstəvi yalnız üçüncü koordinatın iştirakı olmadan oxşar düsturla hesablanır.
Vektorların cəmi və fərqi üçbucaq qaydasına əsasən həyata keçirilir. Aşağıdakı şəkildə bu obyektlərin necə əlavə və çıxılacağı göstərilir.
Cəm vektorunu əldə etmək üçün ikincinin əvvəlini birinci vektorun sonuna əlavə edin. İstədiyiniz vektor birinci vektorun əvvəlində başlayacaq və ikinci vektorun sonunda bitəcək.
Fərq çıxarılan vektorun əksi ilə əvəz edilməsi nəzərə alınmaqla yerinə yetirilir və sonra yuxarıda təsvir edilən toplama əməliyyatı yerinə yetirilir.
Əlavə və çıxma ilə yanaşı vektoru ədədə vura bilmək vacibdir. Əgər ədəd k-yə bərabərdirsə, onda modulu orijinaldan k dəfə fərqli və istiqaməti ya eyni (k>0) və ya orijinalın əksinə (k<0) olan vektor alınır.
Vektorların öz aralarında vurulması əməliyyatı da müəyyən edilmişdir. Məqalədə bunun üçün ayrıca paraqraf ayıracağıq.
Skalar və vektor vurma
Fərz edək ki, iki vektor var u¯(x1; y1; z1) və v¯(x2; y2; z2). Vektora görə vektor iki fərqli şəkildə vurula bilər:
- Skalar. Bu halda nəticə rəqəmdir.
- Vektor. Nəticə yeni vektordur.
u¯ və v¯ vektorlarının skalyar hasili aşağıdakı kimi hesablanır:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Burada α verilmiş vektorlar arasındakı bucaqdır.
Göstərmək olar ki, u¯ və v¯ koordinatlarını bilməklə onların nöqtə hasilini aşağıdakı düsturla hesablamaq olar:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skayar hasil vektoru iki perpendikulyar seqmentə parçalayarkən istifadə etmək rahatdır. O, həmçinin vektorların paralelliyini və ya ortoqonallığını hesablamaq və onlar arasındakı bucağı hesablamaq üçün istifadə olunur.
u¯ və v¯ çarpaz hasilatı orijinallara perpendikulyar olan və modulu olan yeni vektor verir:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Yeni vektorun aşağı və ya yuxarı istiqaməti sağ əlin qaydası ilə müəyyən edilir (sağ əlin dörd barmağı birinci vektorun sonundan ikincinin sonuna qədər yönəldilir və baş barmaq yuxarı qalxır. yeni vektorun istiqamətini göstərir). Aşağıdakı rəqəm ixtiyari a¯ və b¯ üçün çarpaz hasilin nəticəsini göstərir.
Çarpaz hasil rəqəmlərin sahələrini hesablamaq, həmçinin verilmiş müstəviyə perpendikulyar vektorun koordinatlarını təyin etmək üçün istifadə olunur.
Vektorlar və onların xassələri müstəvi tənliyini təyin edərkən istifadə etmək üçün əlverişlidir.
Təyyarənin normal və ümumi tənliyi
Müstəvini təyin etməyin bir neçə yolu var. Onlardan biri birbaşa ona perpendikulyar olan vektor və müstəviyə aid olan bəzi məlum nöqtə haqqında biliklərdən irəli gələn müstəvinin ümumi tənliyinin törəməsidir.
Fərz edək ki, n¯ (A; B; C) vektoru və P nöqtəsi var (x0; y0; z 0). Müstəvinin bütün Q(x; y; z) nöqtələrini hansı şərt ödəyəcək? Bu şərt hər hansı PQ¯ vektorunun normal n¯-ə perpendikulyar olmasından ibarətdir. İki perpendikulyar vektor üçün nöqtə hasili sıfır olur (cos(90o)=0), bunu yazın:
(n¯PQ¯)=0 və ya
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Mötərizələri açaraq əldə edirik:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 və ya
Ax + By + Cz +D=0 burada D=-Ax0-By0-Cz0.
Bu tənlik təyyarə üçün ümumi adlanır. Biz görürük ki, x, y və z qarşısındakı əmsallar n¯ perpendikulyar vektorunun koordinatlarıdır. Bu, təyyarə bələdçisi adlanır.
Müstəvinin vektor parametrik tənliyi
Müstəvini təyin etməyin ikinci yolu onun içində olan iki vektordan istifadə etməkdir.
Fərz edək ki, u¯(x1; y1; z1 vektorları var) və v¯(x2; y2; z2). Deyildiyi kimi, kosmosda onların hər biri sonsuz sayda eyni istiqamətlənmiş seqmentlərlə təmsil oluna bilər, buna görə də müstəvini unikal şəkildə müəyyən etmək üçün daha bir nöqtə lazımdır. Qoy bu nöqtə P(x0;y0; z0). Əgər PQ¯ vektoru u¯ və v¯ birləşmələri kimi təqdim oluna bilərsə, istənilən Q(x; y; z) nöqtəsi istənilən müstəvidə yerləşəcək. Yəni bizdə:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Burada α və β bəzi real ədədlərdir. Bu bərabərlikdən belə ifadə gəlir:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
2 u¯ və v¯ vektoruna müstəvinin parametrik vektor tənliyi adlanır. İxtiyari α və β parametrlərini əvəz etməklə, bu müstəviyə aid olan bütün nöqtələri (x; y; z) tapmaq olar.
Bu tənlikdən təyyarə üçün ümumi ifadəni almaq asandır. Bunun üçün hər iki u¯ və v¯ vektoruna perpendikulyar olacaq n¯ istiqamət vektorunu tapmaq kifayətdir, yəni onların vektor hasilatı tətbiq edilməlidir.
Müstəvinin ümumi tənliyini təyin etmək məsələsi
Yuxarıdakı düsturlardan həndəsi məsələləri həll etmək üçün necə istifadə edəcəyimizi göstərək. Fərz edək ki, təyyarənin istiqamət vektoru n¯(5; -3; 1) olsun. P(2; 0; 0) nöqtəsinin ona aid olduğunu bilə-bilə təyyarənin tənliyini tapmalısınız.
Ümumi tənlik belə yazılır:
Ax + By + Cz +D=0.
Müstəviyə perpendikulyar vektor məlum olduğu üçün tənlik formasını alacaq:
5x - 3y + z +D=0.
Sərbəst D terminini tapmaq qalır. Biz onu P koordinatlarına görə hesablayırıq:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Beləliklə, təyyarənin istənilən tənliyi formaya malikdir:
5x - 3y + z -10=0.
Aşağıdakı rəqəm nəticədə təyyarənin necə göründüyünü göstərir.
Nöqtələrin göstərilən koordinatları təyyarənin x, y və z oxları ilə kəsişmə nöqtələrinə uyğundur.
Müstəvini iki vektor və bir nöqtə vasitəsilə təyin etmək problemi
İndi tutaq ki, əvvəlki müstəvi başqa cür müəyyən edilib. İki u¯(-2; 0; 10) və v¯(-2; -10/3; 0) vektoru, həmçinin P(2; 0; 0) nöqtəsi məlumdur. Müstəvi tənliyi vektor parametrik formada necə yazmaq olar? Nəzərə alınan müvafiq düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Qeyd edək ki, bu müstəvi tənliyinin tərifləri, u¯ və v¯ vektorları tamamilə hər hansı qəbul edilə bilər, lakin bir şərtlə: onlar paralel olmamalıdır. Əks halda, müstəvi unikal şəkildə müəyyən edilə bilməz, lakin bir şüa və ya təyyarələr dəsti üçün tənlik tapmaq olar.
