Kosmosda təyyarə. Kosmosda təyyarələrin yeri

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2024-01-02 17:41

Müstəvi, xassələrindən nöqtələrin və xətlərin proyeksiyalarını qurarkən, həmçinin üçölçülü fiqurların elementləri arasında məsafələr və dihedral bucaqları hesablayarkən istifadə olunan həndəsi obyektdir. Gəlin bu məqalədə təyyarələrin kosmosdakı yerini öyrənmək üçün hansı tənliklərdən istifadə oluna biləcəyini nəzərdən keçirək.

Təyyarənin tərifi

Hər kəs intuitiv olaraq hansı obyektin müzakirə ediləcəyini təsəvvür edir. Həndəsi nöqteyi-nəzərdən müstəvi nöqtələr toplusudur, aralarında hər hansı vektorlar hansısa bir vektora perpendikulyar olmalıdır. Məsələn, fəzada m müxtəlif nöqtə varsa, o zaman onlardan nöqtələri cüt-cüt birləşdirərək m(m-1) / 2 müxtəlif vektor hazırlamaq olar. Əgər bütün vektorlar hansısa bir istiqamətə perpendikulyardırsa, bu, bütün m nöqtələrinin eyni müstəviyə aid olması üçün kifayət şərtdir.

Ümumi tənlik

Məkan həndəsəsində müstəvi x, y və z oxlarına uyğun gələn üç naməlum koordinatdan ibarət tənliklərdən istifadə etməklə təsvir edilir. üçünfəzada müstəvi koordinatlarda ümumi tənliyi əldə edin, tutaq ki, n¯(A; B; C) vektoru və M(x₀; y_{0 var.}; z_{0). Bu iki obyektdən istifadə edərək təyyarə unikal şəkildə müəyyən edilə bilər.}

Həqiqətən, tutaq ki, koordinatları məlum olmayan ikinci P(x; y; z) nöqtəsi var. Yuxarıda verilmiş tərifə görə MP¯ vektoru n¯-ə perpendikulyar olmalıdır, yəni onlar üçün skalyar hasil sıfıra bərabərdir. Sonra aşağıdakı ifadəni yaza bilərik:

(n¯MP¯)=0 və ya

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Mötərizələri açıb yeni D əmsalı tətbiq etməklə biz ifadəni alırıq:

Ax + By + Cz + D=0 burada D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Bu ifadə müstəvi üçün ümumi tənlik adlanır. Xatırlamaq lazımdır ki, x, y və z qarşısındakı əmsallar müstəviyə perpendikulyar olan n¯(A; B; C) vektorunun koordinatlarını təşkil edir. Normal ilə üst-üstə düşür və təyyarə üçün bələdçidir. Ümumi tənliyi müəyyən etmək üçün bu vektorun hara yönəldiyinin əhəmiyyəti yoxdur. Yəni n¯ və -n¯ vektorları üzərində qurulan təyyarələr eyni olacaq.

Yuxarıdakı şəkildə müstəvi, ona normal vektor və müstəviyə perpendikulyar xətt göstərilir.

Oxlarda təyyarə ilə kəsilmiş seqmentlər və müvafiq tənlik

Ümumi tənlik, müəyyən etmək üçün sadə riyazi əməliyyatlardan istifadə etməyə imkan verirtəyyarə koordinat oxlarını hansı nöqtələrdə kəsəcək. Təyyarənin kosmosdakı mövqeyi, eləcə də onu çertyojlarda təsvir edərkən təsəvvürə malik olmaq üçün bu məlumatı bilmək vacibdir.

Adlı kəsişmə nöqtələrini təyin etmək üçün seqmentlərdəki tənlik istifadə olunur. (0; 0; 0) nöqtəsindən sayarkən koordinat oxlarında müstəvi ilə kəsilmiş seqmentlərin uzunluqlarının dəyərlərini açıq şəkildə ehtiva etdiyi üçün belə adlanır. Gəlin bu tənliyi əldə edək.

Təyyarə üçün ümumi ifadəni aşağıdakı kimi yazın:

Ax + By + Cz=-D

Sol və sağ hissələr bərabərliyi pozmadan -D ilə bölünə bilər. Bizdə:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 və ya

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Hər terminin məxrəclərini yeni simvolla tərtib edin, biz əldə edirik:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C sonra

x/p + y/q + z/r=1

Bu, yuxarıda seqmentlərdə qeyd olunan tənlikdir. Buradan belə çıxır ki, hər bir terminin məxrəcinin qiyməti təyyarənin müvafiq oxu ilə kəsişmənin koordinatını göstərir. Məsələn, y oxunu (0; q; 0) nöqtəsində kəsir. Sıfır x və z koordinatlarını tənlikdə əvəz etsəniz, bunu başa düşmək asandır.

Qeyd edək ki, seqmentlərdə tənlikdə dəyişən yoxdursa, bu, təyyarənin müvafiq oxu kəsməməsi deməkdir. Məsələn, ifadəni nəzərə alaraq:

x/p + y/q=1

Bu o deməkdir ki, təyyarə müvafiq olaraq x və y oxlarında p və q seqmentlərini kəsəcək, lakin o, z oxuna paralel olacaq.

Təyyarənin davranışı ilə bağlı nəticəonun tənliyində bəzi dəyişənin olmaması aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi ümumi tipli ifadə üçün də doğrudur.

Vektor parametrik tənliyi

Kosmosda müstəvini təsvir etməyə imkan verən üçüncü növ tənlik var. O, müstəvidə yerləşən iki vektor və ixtiyari müstəqil qiymətlər qəbul edə bilən iki parametr tərəfindən verildiyi üçün parametrik vektor adlanır. Gəlin bu tənliyin necə əldə oluna biləcəyini göstərək.

Fərz edək ki, bir neçə tanınmış vektor var u ¯(a₁; b₁; c₁) və v¯(a₂; b₂; c₂). Əgər onlar paralel deyillərsə, onda bu vektorlardan birinin başlanğıcını M(x₀; y_{0) nöqtəsində fiksasiya etməklə xüsusi müstəvi təyin etmək üçün istifadə edilə bilər.}; z_{0). Əgər ixtiyari MP¯ vektorunu u¯ və v¯ xətti vektorlarının kombinasiyası kimi təqdim etmək olarsa, bu o deməkdir ki, P(x; y; z) nöqtəsi u¯, v¯ ilə eyni müstəviyə aiddir. Beləliklə, bərabərliyi yaza bilərik:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Və ya bu bərabərliyi koordinatlar baxımından yazsaq, əldə edirik:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Təqdim olunan bərabərlik müstəvi üçün parametrik vektor tənliyidir. ATu¯ və v¯ müstəvisində vektor fəzasına generatorlar deyilir.

Sonra, məsələni həll edərkən, bu tənliyin təyyarə üçün ümumi formaya necə endirilə biləcəyi göstəriləcək.

Kosmosdakı təyyarələr arasındakı bucaq

İntuitiv olaraq, 3D məkanında təyyarələr ya kəsişə bilər, ya da kəsişməyə bilər. Birinci halda, onların arasındakı bucağı tapmaq maraqlıdır. Bu bucağın hesablanması xətlər arasındakı bucaqdan daha çətindir, çünki söhbət dihedral həndəsi obyektdən gedir. Bununla belə, təyyarə üçün artıq qeyd olunan bələdçi vektoru xilasetmə işinə gəlir.

Həndəsi olaraq müəyyən edilmişdir ki, kəsişən iki müstəvi arasındakı dihedral bucaq onların istiqamətləndirici vektorları arasındakı bucağa tam bərabərdir. Bu vektorları n₁¯(a₁; b₁; c_{1 kimi işarə edək.) və n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Aralarındakı bucağın kosinusu skalyar hasildən müəyyən edilir. Yəni təyyarələr arasındakı boşluqdakı bucağın özü düsturla hesablana bilər:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Burada məxrəcdəki modul küt bucağın qiymətini atmaq üçün istifadə olunur (kəsişən təyyarələr arasında həmişə 90o-dən kiçik və ya ona bərabərdir).

Koordinat formasında bu ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Perpendikulyar və paralel təyyarələr

Müstəvilər kəsişirsə və onların yaratdığı dihedral bucaq 90o olarsa, onda onlar perpendikulyar olacaqlar. Belə təyyarələrə misal olaraq düzbucaqlı prizmanı və ya kubu göstərmək olar. Bu rəqəmlər altı təyyarə ilə formalaşır. Adlandırılmış fiqurların hər təpəsində bir-birinə perpendikulyar olan üç müstəvi var.

Baxılan müstəvilərin perpendikulyar olub-olmadığını öyrənmək üçün onların normal vektorlarının skalyar hasilini hesablamaq kifayətdir. Təyyarələrin fəzasında perpendikulyarlıq üçün kifayət qədər şərt bu məhsulun sıfır dəyəridir.

Paralel kəsişməyən müstəvilər adlanır. Bəzən paralel təyyarələrin sonsuzluqda kəsişdiyi də deyilir. Təyyarələr fəzasında paralellik şərti n₁¯ və n_{2¯ istiqamət vektorları üçün həmin şərtlə üst-üstə düşür. Bunu iki yolla yoxlaya bilərsiniz:}

Skayar hasildən istifadə edərək dihedral bucağın kosinusunu (cos(φ)) hesablayın. Təyyarələr paraleldirsə, dəyər 1 olacaq.

Hər hansı bir ədədə vurmaqla bir vektoru digəri vasitəsilə təmsil etməyə çalışın, yəni n₁¯=kn_{2¯. Bunu etmək olarsa, müvafiq təyyarələrdirparalel.}

Şəkil iki paralel müstəvi göstərir.

İndi isə əldə edilmiş riyazi biliklərdən istifadə etməklə iki maraqlı məsələnin həllinə dair nümunələr verək.

Vektor tənliyindən ümumi formanı necə əldə etmək olar?

Bu, təyyarə üçün parametrik vektor ifadəsidir. Əməliyyatların gedişatını və istifadə olunan riyazi fəndləri başa düşməyi asanlaşdırmaq üçün xüsusi bir nümunəyə nəzər salın:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Bu ifadəni genişləndirin və naməlum parametrləri ifadə edin:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Sonra:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Son ifadədəki mötərizələri açsaq, əldə edirik:

z=2x-2 + 3y - 6 və ya

2x + 3y - z - 8=0

Vektor formasında problem bəyanatında göstərilən müstəvi üçün tənliyin ümumi formasını əldə etdik

Üç nöqtədən təyyarəni necə qurmaq olar?

Bu nöqtələr hansısa tək düz xəttə aid deyilsə, üç nöqtədən bir müstəvi çəkmək olar. Bu problemi həll etmək üçün alqoritm aşağıdakı hərəkətlər ardıcıllığından ibarətdir:

iki vektorun koordinatlarını cüt-cüt məlum nöqtələri birləşdirərək tapın;
onların çarpaz hasilini hesablayın və təyyarəyə normal vektor alın;
tapılmış vektordan istifadə edərək ümumi tənliyi yazın vəüç nöqtədən hər hansı biri.

Konkret misal götürək. Verilən xallar: