Üçbucaq müstəvidə qapalı ən sadə fiqurdur və yalnız üç bir-birinə bağlı seqmentdən ibarətdir. Həndəsə problemlərində tez-tez bu rəqəmin sahəsini təyin etmək lazımdır. Bunun üçün nə bilmək lazımdır? Məqalədə üç tərəfdən üçbucağın sahəsini necə tapmaq sualına cavab verəcəyik.
Ümumi düstur
Hər bir tələbə bilir ki, üçbucağın sahəsi seçilmiş tərəfə endirilmiş hər hansı bir tərəfinin uzunluğunun - a yarım hündürlüyünün h məhsulu kimi hesablanır. Aşağıda müvafiq düstur verilmişdir: S=ah/2.
Bu ifadə ən azı iki tərəf və onların arasındakı bucağın qiyməti məlum olduqda istifadə edilə bilər. Bu halda h hündürlüyünü sinus kimi triqonometrik funksiyalardan istifadə etməklə hesablamaq asandır. Ancaq hər kəs üçbucağın üç tərəfindəki sahəni necə tapacağını bilmir.
Heron Formulu
Bu düstur necə sualına cavabdırüç tərəf üçbucağın sahəsini tapır. Onu yazmazdan əvvəl ixtiyari fiqurun seqmentlərinin uzunluqlarını a, b və c kimi qeyd edək. Heronun düsturu aşağıdakı kimi yazılır: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Burada p rəqəmin yarım perimetridir, yəni: p=(a+b+c)/2.
Görünən çətinliyə baxmayaraq, S sahəsi üçün yuxarıdakı ifadəni yadda saxlamaq asandır. Bunu etmək üçün əvvəlcə üçbucağın yarım perimetrini hesablamalı, sonra ondan rəqəmin tərəfinin bir uzunluğuna çıxarmalı, alınan bütün fərqləri və yarım perimetrin özünü çox altmalısınız. Nəhayət, məhsulun kvadrat kökünü götürün.
Bu düstur eramızın əvvəllərində yaşamış İsgəndəriyyə Heronunun adını daşıyır. Müasir tarix hesab edir ki, müvafiq hesablamaları yerinə yetirmək üçün bu ifadəni ilk dəfə məhz bu filosof tətbiq etmişdir. Bu düstur eramızın 60-cı illərinə aid olan “Metrica” kitabında dərc edilmişdir. Qeyd edək ki, Herondan iki əsr əvvəl yaşamış Arximedin bəzi əsərlərində yunan filosofunun artıq düsturu bildiyinə dair işarələr var. Bundan əlavə, qədim Çinlilər də üç tərəfi bilən üçbucağın sahəsini necə tapmağı bilirdilər.
Qeyd etmək vacibdir ki, problem Heron düsturunun mövcudluğunu bilmədən də həll edilə bilər. Bunu etmək üçün üçbucaqda bir neçə hündürlük çəkin və müvafiq tənliklər sistemini tərtib edərək əvvəlki abzasdakı ümumi düsturdan istifadə edin.
Heron ifadəsi ixtiyari çoxbucaqlıların sahələrini, onları bölündükdən sonra hesablamaq üçün istifadə edilə bilərüçbucaqlar və yaranan diaqonalların uzunluqlarının hesablanması.
Problemin həlli nümunəsi
Üç tərəfdə olan üçbucağın sahəsini necə tapmağı bilməklə, aşağıdakı məsələni həll etməklə biliklərimizi möhkəmləndirək. Fiqurun tərəfləri 5 sm, 4 sm və 3 sm olsun. Sahəni tapın.
Üçbucağın üç tərəfi məlumdur, ona görə də Heron düsturundan istifadə edə bilərsiniz. Yarım perimetri və lazımi fərqləri hesablayırıq, bizdə:
- p=(a+b+c)/2=6 sm;
- p-a=1sm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 sm.
Sonra sahəni alırıq: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 sm2.
Məsələ şərtində verilən üçbucaq düzbucaqlıdır, Pifaqor teoremindən istifadə edib-etmədiyinizi yoxlamaq asandır. Belə bir üçbucağın sahəsi ayaqların məhsulunun yarısı olduğundan, alırıq: S=43/2=6 sm2.
Nəticədəki dəyər sonuncunun etibarlılığını təsdiq edən Heron düsturu ilə eynidir.
