Kosmosda həndəsi məsələlərin həlli zamanı yaranan fiqurlardan biri konusdur. O, çoxüzlülərdən fərqli olaraq fırlanma fiqurları sinfinə aiddir. Məqalədə onun həndəsədə nə nəzərdə tutulduğunu nəzərdən keçirək və konusun müxtəlif hissələrinin xüsusiyyətlərini araşdıraq.
Həndəsə konus
Fərz edək ki, təyyarədə hansısa əyri var. Bu, parabola, dairə, ellips və s. ola bilər. Göstərilən müstəviyə aid olmayan bir nöqtə götürün və əyrinin bütün nöqtələrini ona birləşdirin. Yaranan səth konus və ya sadəcə konus adlanır.
Əgər ilkin əyri qapalıdırsa, o zaman konusvari səth maddə ilə doldurula bilər. Bu şəkildə əldə edilən rəqəm üç ölçülü bədəndir. Buna konus da deyilir. Bir neçə kağız konusları aşağıda göstərilmişdir.
Konik səthə gündəlik həyatda rast gəlinir. Məsələn, dondurma çubuqları və ya zolaqlı yol konusu bu forma malikdir və sürücülərin diqqətini cəlb etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur.piyadalar.
Konus növləri
Təxmin etdiyiniz kimi, nəzərdən keçirilən rəqəmlər bir-birindən formalaşdıqları əyri növünə görə fərqlənir. Məsələn, dəyirmi konus və ya elliptik bir konus var. Bu əyri fiqurun əsası adlanır. Bununla belə, əsasın forması konusları təsnif etməyə imkan verən yeganə xüsusiyyət deyil.
İkinci vacib xüsusiyyət hündürlüyün bazaya nisbətən mövqeyidir. Konusun hündürlüyü fiqurun yuxarısından baza müstəvisinə endirilən və bu müstəviyə perpendikulyar olan düz xətt seqmentidir. Əgər hündürlük baza ilə həndəsi mərkəzdə (məsələn, dairənin mərkəzində) kəsişirsə, onda konus düz olacaq, perpendikulyar seqment təməlin hər hansı digər nöqtəsinə və ya ondan kənara düşərsə, rəqəm belə olacaqdır. əyri.
Məqalənin sonrakı hissəsində nəzərdən keçirilən fiqurlar sinfinin parlaq nümayəndəsi kimi yalnız dairəvi düz konusları nəzərdən keçirəcəyik.
Konus elementlərinin həndəsi adları
Yuxarıda deyilmişdi ki, konusun əsası var. Konusun bələdçisi adlanan bir dairə ilə məhdudlaşır. Bələdçini baza müstəvisində olmayan bir nöqtəyə birləşdirən seqmentlərə generatorlar deyilir. Generatorların bütün nöqtələrinin çoxluğuna fiqurun konik və ya yanal səthi deyilir. Dairəvi sağ konus üçün bütün generatorlar eyni uzunluğa malikdir.
Generatorların kəsişdiyi nöqtəyə fiqurun yuxarı hissəsi deyilir. Çoxüzlülərdən fərqli olaraq, konusun tək təpəsi var və yoxdurkənar.
Şəklin yuxarısından və dairənin mərkəzindən keçən düz xəttə ox deyilir. Ox düz konusun hündürlüyünü ehtiva edir, buna görə də bazanın müstəvisi ilə düz bucaq yaradır. Bu məlumat konusun eksenel hissəsinin sahəsini hesablayarkən vacibdir.
Dəyirmi düz konus - fırlanma rəqəmi
Baxılan konus kifayət qədər simmetrik fiqurdur və onu üçbucağın fırlanması nəticəsində əldə etmək olar. Tutaq ki, düz bucaqlı üçbucaq var. Konus əldə etmək üçün bu üçbucağı aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi ayaqlardan birinin ətrafında çevirmək kifayətdir.
Görmək olar ki, fırlanma oxu konusun oxudur. Ayaqlardan biri rəqəmin hündürlüyünə bərabər olacaq, ikinci ayaq isə təməlin radiusu olacaq. Fırlanma nəticəsində üçbucağın hipotenuzası konusvari səthi təsvir edəcəkdir. Konusun generatrisi olacaq.
Dəyirmi düz konusun alınmasının bu üsulu fiqurun xətti parametrləri arasında riyazi əlaqəni öyrənmək üçün istifadə etmək rahatdır: hündürlük h, dairəvi əsasın radiusu r və bələdçi g. Müvafiq düstur düzbucaqlı üçbucağın xassələrindən irəli gəlir. Aşağıda verilmişdir:
g2=h2+ r2.
Bir tənlik və üç dəyişənə malik olduğumuz üçün bu o deməkdir ki, dəyirmi konusun parametrlərini unikal şəkildə təyin etmək üçün hər hansı iki kəmiyyəti bilməlisiniz.
Şəklin təpəsini ehtiva etməyən müstəvi ilə konusun kəsikləri
Fiqurun hissələrinin qurulması məsələsi deyiləhəmiyyətsiz. Məsələ burasındadır ki, konusun səthlə kəsişməsinin forması fiqurun və sekantın nisbi mövqeyindən asılıdır.
Fərz edək ki, konusunu müstəvi ilə kəsirik. Bu həndəsi əməliyyatın nəticəsi nə olacaq? Bölmə forması seçimləri aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Çəhrayı hissə dairədir. Fiqurun konusun əsasına paralel olan müstəvi ilə kəsişməsi nəticəsində əmələ gəlir. Bunlar fiqurun oxuna perpendikulyar olan hissələrdir. Kəsmə müstəvisinin üstündə formalaşan fiqur orijinala bənzər konusdur, lakin əsasda daha kiçik dairəyə malikdir.
Yaşıl hissə ellipsdir. Kəsmə müstəvisi bazaya paralel deyilsə, ancaq konusun yan səthi ilə kəsişirsə əldə edilir. Təyyarənin üstündə kəsilmiş fiqur elliptik əyri konus adlanır.
Mavi və narıncı hissələr müvafiq olaraq parabolik və hiperbolikdir. Şəkildən göründüyü kimi, kəsici müstəvi eyni vaxtda fiqurun yan səthini və əsasını kəsərsə, onlar əldə edilir.
Nəzərə alınan konusun kəsiklərinin sahələrini təyin etmək üçün müstəvidə müvafiq rəqəm üçün düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Məsələn, çevrə üçün bu, radiusun kvadratına vurulan Pi ədədidir və ellips üçün bu, Pi ilə kiçik və böyük yarımoxların uzunluğunun məhsuludur:
dairə: S=pir2;
ellips: S=piab.
Konusun yuxarı hissəsini ehtiva edən bölmələr
İndi kəsici müstəvi olduqda yaranan bölmələr üçün variantları nəzərdən keçirinkonusun yuxarı hissəsindən keçir. Üç hal mümkündür:
- Bölmə tək nöqtədən ibarətdir. Məsələn, təpədən keçən və təmələ paralel olan təyyarə məhz belə bir kəsiyi verir.
- Bölmə düz xəttdir. Bu vəziyyət təyyarə konusvari səthə toxunan zaman baş verir. Bu halda bölmənin düz xətti konusun generatrix olacaq.
- Aksial bölmə. Təyyarə yalnız fiqurun yuxarı hissəsini deyil, həm də bütün oxunu ehtiva etdikdə yaranır. Bu halda, təyyarə dəyirmi bazaya perpendikulyar olacaq və konusu iki bərabər hissəyə böləcək.
Aydındır ki, ilk iki növ bölmənin sahələri sıfıra bərabərdir. 3-cü növ üçün konusun kəsik sahəsinə gəldikdə, bu məsələ növbəti paraqrafda daha ətraflı müzakirə olunur.
Aksial bölmə
Yuxarıda qeyd olundu ki, konusun ox kəsimi konusun öz oxundan keçən müstəvi ilə kəsişməsi zamanı yaranan fiqurdur. Bu bölmənin aşağıdakı şəkildə göstərilən rəqəmi əks etdirəcəyini təxmin etmək asandır.
Bu, ikitərəfli üçbucaqdır. Konusun eksenel hissəsinin təpəsi eyni tərəflərin kəsişməsindən əmələ gələn bu üçbucağın təpəsidir. Sonuncular konusun generatrixinin uzunluğuna bərabərdir. Üçbucağın əsası konusun əsasının diametridir.
Bir konusun eksenel hissəsinin sahəsinin hesablanması, yaranan üçbucağın sahəsini tapmaq üçün azaldılır. Başlanğıcda r əsasının radiusu və konusun hündürlüyü h məlumdursa, onda nəzərdən keçirilən hissənin S sahəsi olacaq:
S=hr.
Buifadə üçbucağın sahəsi üçün standart düsturun tətbiqinin nəticəsidir (hündürlüyün hasilinin yarısı əsas ilə).
Qeyd edək ki, konusun generatrisi onun dairəvi əsasının diametrinə bərabərdirsə, konusun ox hissəsi bərabərtərəfli üçbucaqdır.
Kəsici müstəvi konusun əsasına perpendikulyar olduqda və onun oxundan keçdikdə üçbucaqlı kəsik yaranır. Adı çəkilən birinə paralel olan hər hansı digər müstəvi bölmədə hiperbola verəcəkdir. Bununla belə, əgər müstəvi konusun təpə nöqtəsini ehtiva edirsə və onun əsasını diametri ilə deyil, kəsişirsə, nəticədə yaranan hissə də ikitərəfli üçbucaq olacaq.
Konusun xətti parametrlərinin təyini problemi
Gəlin həndəsi məsələni həll etmək üçün eksenel bölmənin sahəsi üçün yazılmış düsturdan necə istifadə edəcəyimizi göstərək.
Məlumdur ki, konusun ox hissəsinin sahəsi 100 sm2-dir. Yaranan üçbucaq bərabərtərəflidir. Konusun hündürlüyü və əsasının radiusu nə qədərdir?
Üçbucaq bərabərtərəfli olduğundan onun hündürlüyü h a tərəfinin uzunluğu ilə aşağıdakı kimi əlaqələndirilir:
h=√3/2a.
Üçbucağın tərəfinin konusun əsasının radiusundan iki dəfə böyük olduğunu nəzərə alsaq və bu ifadəni kəsik sahəsinin düsturunda əvəz etsək, alırıq:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Onda konusun hündürlüyü:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Sahənin dəyərini problemin vəziyyəti ilə əvəz etmək qalırvə cavabı alın:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 sm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 sm.
Hansı sahələrdə nəzərdən keçirilən bölmələrin parametrlərini bilmək vacibdir?
Müxtəlif növ konus kəsiklərinin tədqiqi təkcə nəzəri maraq kəsb etmir, həm də praktik tətbiqlərə malikdir.
İlk olaraq aerodinamika sahəsini qeyd etmək lazımdır, burada konik kəsiklərin köməyi ilə bərk cisimlərin ideal hamar formalarını yaratmaq mümkündür.
İkincisi, konik kəsiklər kosmik cisimlərin qravitasiya sahələrində hərəkət etdiyi trayektoriyalardır. Sistemin kosmik cisimlərinin hərəkət trayektoriyasını hansı xüsusi bölmə növü təmsil etməsi onların kütlələrinin, mütləq sürətlərinin və aralarındakı məsafələrin nisbəti ilə müəyyən edilir.
