Çoxluqlar timsalında əlaqələrin geniş diapazonu onların təriflərindən başlayaraq paradoksların analitik təhlili ilə bitən çoxlu sayda anlayışlarla müşayiət olunur. Setdəki məqalədə müzakirə olunan konsepsiyanın müxtəlifliyi sonsuzdur. Baxmayaraq ki, ikili tiplərdən danışarkən bu, bir neçə dəyər arasında ikili əlaqələr deməkdir. Həm də obyektlər və ya ifadələr arasında.
Bir qayda olaraq, ikili münasibətlər R simvolu ilə işarələnir, yəni R sahəsindən hər hansı x dəyəri üçün xRx varsa, belə bir xassə refleksiv adlanır, burada x və x qəbul edilmiş düşüncə obyektləridir, və R fərdlər arasında əlaqənin olub-olmamasının və ya digər formasının əlaməti kimi xidmət edir. Eyni zamanda, əgər siz xRy® və ya yRx ifadə edirsinizsə, bu, simmetriya vəziyyətini göstərir, burada ® “əgər… onda…” birləşməsinə bənzər implikasiya işarəsidir. Və nəhayət, dekodlaşdırma yazısı (xRy Ùy Rz) ®xRz keçid əlaqəsindən bəhs edir, Ù işarəsi isə bağlayıcıdır.
Həm refleksiv, həm simmetrik, həm də keçidli olan ikili əlaqəyə ekvivalent münasibət deyilir. f münasibəti funksiyadır və y=z bərabərliyi Î f və Î f-dən əmələ gəlir. Sadə ikili funksiya asanlıqla tətbiq oluna bilərmüəyyən ardıcıllıqla iki sadə arqumentə və yalnız bu halda ona konkret halda götürülmüş bu iki ifadəyə yönəlmiş məna verir.
Demək lazımdır ki, f x-i y-yə xəritələşdirir,
əgər f x diapazonu və y diapazonlu funksiyadırsa. Bununla belə, f x-dən y-yə və y Í z-ə ekstrapolyasiya etdikdə, bu, f-nin z-də x-i göstərməsinə səbəb olur. Sadə bir misal: əgər f(x)=2x hər hansı x tam ədədi üçün doğrudursa, o zaman f deyilir ki, bütün məlum tam ədədlərin işarəli çoxluğunu eyni tam ədədlər, lakin bu dəfə cüt ədədlər çoxluğuna uyğunlaşdırır. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, həm refleksiv, həm simmetrik, həm də keçidli olan ikili münasibətlər ekvivalentlik əlaqələridir.
Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, ikili münasibətlərin ekvivalentlik əlaqələri xassələrlə müəyyən edilir:
- reflektorluq - nisbət (M ~ N);
- simmetriyalar - bərabərlik M ~ N olarsa, N ~ M olacaq;
- keçidlik - əgər iki bərabərlik M ~ N və N ~ P olarsa, nəticədə M ~ P.
İkili münasibətlərin elan edilmiş xassələrini daha ətraflı nəzərdən keçirək. Refleksivlik müəyyən əlaqələrin xüsusiyyətlərindən biridir, burada öyrənilən çoxluğun hər bir elementi özünə verilmiş bərabərlikdədir. Məsələn, a=c və a³ c ədədləri arasında refleksiv əlaqələr var, çünki həmişə a=a, c=c, a³ a, c³ c. Eyni zamanda, a>a bərabərsizliyinin mövcudluğunun qeyri-mümkün olması səbəbindən a>c bərabərsizliyinin əlaqəsi antireflekslidir. Bu xüsusiyyətin aksioması işarələrlə kodlanır: aRc®aRa Ù cRc, burada ® simvolu “daxil edir” (və ya “iştirir”) sözünü bildirir, Ù işarəsi isə “və” (yaxud birləşmə) birləşməsidir. Bu ifadədən belə çıxır ki, aRc mühakiməsi doğrudursa, aRa və cRc ifadələri də doğrudur.
Simmetriya, zehni obyektlər bir-birini əvəz etsə belə, əlaqənin mövcudluğunu nəzərdə tutur, yəni simmetrik əlaqə ilə, obyektlərin yenidən qurulması "ikili münasibətlər" tipli bir transformasiyaya səbəb olmur. Məsələn, a=c bərabərlik əlaqəsi c=a münasibətinin ekvivalentliyinə görə simmetrikdir; a¹c təklifi də eynidir, çünki¹a ilə əlaqəyə uyğundur.
Keçidli çoxluq aşağıdakı tələbi ödəyən xassədir: y н x, z н y ® z н x, burada ® sözləri əvəz edən işarədir: “əgər …, onda …”. Düstur şifahi olaraq belə oxunur: "Əgər y x-dən asılıdırsa, z y-ə aiddirsə, z də x-dən asılıdır".
