Piramidanın sahəsini necə hesablamaq olar: əsas, yan və tam?

2024 Müəllif: Angel Austin | [email protected]. Son dəyişdirildi: 2023-12-17 05:16

Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşarkən tələbələr cəbr və həndəsə biliklərini sistemləşdirməli olurlar. Bütün məlum məlumatları birləşdirmək istərdim, məsələn, bir piramidanın sahəsini necə hesablamaq olar. Üstəlik, əsas və yan üzlərdən başlayaraq bütün səth sahəsinə qədər. Yan üzlərlə vəziyyət aydındırsa, çünki onlar üçbucaqdır, o zaman əsas həmişə fərqlidir.

Piramidanın əsasının sahəsini necə tapmaq olar?

Bu, tamamilə hər hansı bir forma ola bilər: ixtiyari üçbucaqdan n-bucaqlıya qədər. Və bu əsas, bucaqların sayındakı fərqə əlavə olaraq, müntəzəm bir rəqəm və ya səhv ola bilər. Məktəbliləri maraqlandıran USE tapşırıqlarında yalnız əsasda düzgün rəqəmlər olan tapşırıqlar var. Ona görə də biz yalnız onlar haqqında danışacağıq.

Daimi Üçbucaq

Bu, bərabərtərəflidir. Bütün tərəflərin bərabər olduğu və "a" hərfi ilə işarələnən biri. Bu halda, piramidanın əsasının sahəsi düsturla hesablanır:

S=(a2√3) / 4.

Kvadrat

Sahəsini hesablamaq üçün düstur ən sadədir,burada "a" yenə tərəfdir:

S=a2.

İxtiyari nizamlı n-qonaq

Çoxbucaqlının tərəfi eyni təyinata malikdir. Künclərin sayı üçün Latın hərfi n istifadə olunur.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Yanal və ümumi səth sahəsini necə hesablamaq olar?

Əsas düz fiqur olduğundan piramidanın bütün tərəfləri bərabərdir. Üstəlik, yan kənarları bərabər olduğundan hər biri ikitərəfli üçbucaqdır. Sonra, piramidanın yanal sahəsini hesablamaq üçün eyni monomialların cəmindən ibarət bir düstur lazımdır. Terminlərin sayı bazanın tərəflərinin sayı ilə müəyyən edilir.

İkitərəfli üçbucağın sahəsi təməlin məhsulunun yarısının hündürlüyə vurulduğu düsturla hesablanır. Piramidadakı bu yüksəkliyə apotem deyilir. Onun təyinatı "A"dır. Yan səth sahəsi üçün ümumi formula belədir:

S=½ PA, burada P piramidanın əsasının perimetridir.

Bazanın tərəfləri məlum olmayan, lakin yan kənarları (c) və onun təpəsindəki düz bucaq (α) verildiyi vəziyyətlər var. Sonra piramidanın yan sahəsini hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə etmək lazımdır:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Vəziyyət. Əsası tərəfi 4 sm, apotem isə √3 sm olan bərabərtərəfli üçbucaqdırsa, piramidanın ümumi sahəsini tapın.

Qərar. OnunBaza perimetrini hesablayaraq başlamaq lazımdır. Bu müntəzəm üçbucaq olduğundan, P \u003d 34 \u003d 12 sm. Apotem məlum olduğundan, dərhal bütün yanal səthin sahəsini hesablaya bilərsiniz: ½12√3=6 √3 sm 2.

Əsasdakı üçbucaq üçün aşağıdakı sahə dəyərini alırsınız: (4²√3) / 4=4√3 sm^2.

Ümumi sahəni müəyyən etmək üçün nəticədə iki dəyəri əlavə etməlisiniz: 6√3 + 4√3=10√3 sm2.

Cavab. 10√3sm2.

Problem 2

Vəziyyət. Daimi dördbucaqlı piramida var. Bazanın yan hissəsinin uzunluğu 7 mm, yan kənarı 16 mm-dir. Siz onun səthinin sahəsini bilməlisiniz.

Qərar. Çoxüzlü dördbucaqlı və nizamlı olduğundan onun əsası kvadratdır. Baza və yan üzlərin sahələrini öyrəndikdən sonra piramidanın sahəsini hesablamaq mümkün olacaq. Kvadrat üçün düstur yuxarıda verilmişdir. Yan üzlərdə isə üçbucağın bütün tərəfləri məlumdur. Buna görə də, onların sahələrini hesablamaq üçün Heron düsturundan istifadə edə bilərsiniz.

İlk hesablamalar sadədir və bu rəqəmə gətirib çıxarır: 49 mm². İkinci dəyər üçün yarım perimetri hesablamalısınız: (7 + 162): 2=19,5 mm. İndi siz ikitərəfli üçbucağın sahəsini hesablaya bilərsiniz: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Yalnız dörd belə üçbucaq var, ona görə də son rəqəmi hesablayarkən onu 4-ə vurmalı olacaqsınız.}

Belə çıxır: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Cavab. İstədiyiniz dəyər 267, 576mm2.

Problem 3

Vəziyyət. Daimi dördbucaqlı piramida üçün sahəni hesablamalısınız. Kvadratın tərəfini - 6 sm və hündürlüyünü - 4 sm bilir.

Qərar. Ən asan yol, perimetr və apotem məhsulu ilə düsturdan istifadə etməkdir. Birinci dəyəri tapmaq asandır. İkincisi bir az daha çətindir.

Biz Pifaqor teoremini xatırlamalı və düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirməli olacağıq. O, piramidanın hündürlüyündən və hipotenuza olan apotemdən əmələ gəlir. İkinci ayaq kvadratın yan tərəfinin yarısına bərabərdir, çünki çoxüzlü hündürlüyü onun ortasına düşür.

İstədiyiniz apotem (düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası) √(3² + 4^{2)=5 (sm).}

İndi tələb olunan dəyəri hesablaya bilərsiniz: ½(46)5+6²=96 (bax ^2).

Cavab. 96 sm2.

Problem 4

Vəziyyət. Müntəzəm altıbucaqlı piramida verilir. Onun əsasının kənarları 22 mm, yan qabırğaları 61 mm-dir. Bu polihedronun yanal səthi nə qədərdir?

Qərar. Buradakı əsaslandırma 2 nömrəli məsələdə təsvir edilən kimidir. Yalnız bazasında kvadrat olan bir piramida verilmişdi və indi o, altıbucaqlıdır.

İlk növbədə, təməlin sahəsi yuxarıdakı düsturla hesablanır: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 sm^2.

İndi yan üzü olan ikitərəfli üçbucağın yarım perimetrini tapmaq lazımdır. (22 + 612): 2 \u003d 72 sm. Hər birinin sahəsini hesablamaq qalırüçbucağı çəkin, sonra onu altıya vurun və əsas üçün çıxana əlavə edin.

Heron düsturu ilə hesablama: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 sm² . Yan səth sahəsini verəcək hesablamalar: 6606=3960 sm². Bütün səthi tapmaq üçün onları əlavə etmək qalır: 5217, 47≈5217 sm^2.

Cavab. Əsas - 726√3sm², yan səth - 3960sm², ümumi sahə - 5217sm^2.